Bài tập cuối chương 3 lớp 9 (có lời giải)

a) Ta có $\sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}} :\sqrt {3\frac{1}{8}} = \sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}:\frac{{25}}{8}} = \frac{3}{4}:\frac{5}{6} - \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{5} = - \frac{1}{2}.$

b) $\sqrt {{{45{,}8}^2} - {{44{,}2}^2}} - \sqrt {6\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2} + {{(\sqrt 2 - 1)}^2}} \right]} = \sqrt {1{,}6.90} - \sqrt {6.6} = 4.3 - 6 = 6.$

Lời giải

$\begin{array}{l}a)\;\frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{{{165}^2} - {{124}^2}}}{{164}}} + 4\sqrt {\frac{{32}}{{{{176}^2} - {{112}^2}}}} = \frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{41.289}}{{164}}} + 4\sqrt {\frac{{32}}{{64.288}}} = \frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{289}}{4}} + 4\sqrt {\frac{1}{{576}}} \\ = \frac{1}{{34}} \cdot \frac{{17}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}}\end{array}$

b) $\frac{{5\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{5{{(\sqrt 6 - 1)}^2}}}{{6 - 1}} + \frac{{{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )}^2}}}{{2 - 3}} = 7 - 2\sqrt 6 - 5 + 2\sqrt 6 = 2.$

a) Ta có $\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }} = \frac{{3\left( {1 + \sqrt 5 } \right) - \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 5 }}.$
b) $\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }} = \frac{{x\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) - y\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}}$

$= \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}} = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y + y}}$. Điều kiện $x \ge 0;y \ge 0;x \ne y$.

Điều kiện : $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Khi đó ta có

$P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$

a) Điều kiện : $x \ge 0;x \ne 9$. Khi đó ta có

$P = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

b) Ta có $x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}$.
Do đó ${\rm{P}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - 3}} = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 - 4}}$$= \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 4}} = \frac{{\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 4} \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}\; = \frac{{6\sqrt 3 + 24 + 9 + 12\sqrt 3 }}{{3 - 16}} = \frac{{ - \left( {33 + 18\sqrt 3 } \right)}}{{13}}\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{}&\;\\{}&.\end{array}$

a) Điều kiện : $x \ge 0;x \ne 9$. Khi đó ta có

$P = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right) + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 15 + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6}$

$= \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}$

Ta có $P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 3}}$.
P có giá trị nguyên $\Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 3}}$ có giá trị nguyên$\Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in U\left( 5 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}$

Ta có bảng sau :

Vậy khi $x \in \left\{ {4{,}16{,}64} \right\}$ thì $P$ có giá trị nguyên.

Điều kiện : $x,y > 0;x \ne y$. Khi đó ta có

$P = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}:{\left( {\frac{{\sqrt y - \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}} \right)^2} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}$$= \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \cdot \frac{{{{(\sqrt {xy} )}^2}}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}$

$= \frac{{2\sqrt {xy} }}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}\frac{{ - \left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} = - \frac{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} = - 1$

Vậy giá trị của của $P$ không phụ thuợc vào $x$ và $y$.

a) Điều kiện : $x > 0;x \ne 9$. Khi đó ta có

$P = \frac{{x + 3 + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$
b) Xét hiệu$P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 3}}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}$

Do đó ${\rm{P}} > \frac{1}{3}$.

a) Điều kiện : $x > 0$. Khi đó ta có $P = \frac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{ - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{2} = \frac{{ - \sqrt x }}{{2\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}$

Ta có $x > 0$ nên $- \sqrt x < 0$,$x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.$ Do đó ${\rm{P}} < 0$ với mọi ${\rm{x}} > 0$.

a) Điều kiện : $x \ge 1$. Khi đó ta có $P = \frac{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x + \sqrt {x - 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt x } \right)}} + \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{ - 1}} + x = x - 2\sqrt {x - 1}$

Ta có $P = x - 2\sqrt {x - 1} = \left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 1} + 1 = {(\sqrt {x - 1} - 1)^2} \ge 0$

Vậy P luôn luôn không âm với mọi $x \ge 1$.

a) Điều kiện : $x > 0$. Khi đó ta có $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Ta có $:P = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$.
Xét biểu thức ở mẫu $\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + 1 \ge 2\sqrt {\sqrt {\rm{x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }}} + 1 = 3$.
Ta có $P = \frac{1}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \le \frac{1}{3}$.

Do đó max $P = \frac{1}{3}$, đạt được khi $\sqrt {\rm{x}} = \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1$.

a) Ta có $\sqrt {25{{(3x - 1)}^2}} = 10$

$5\left| {3x - 1} \right| = 10$

$\left| {3x - 1} \right| = 2$

$3x - 1 = 2$ hoặc $3x - 1 = - 2$

$x = 1$ $x = - \frac{1}{3}$

b) $\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 2}}\left( {\rm{*}} \right)$
Điều kiện : $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Khi đó ta có

$\begin{array}{l}\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\rm{*}} \right)\\x + \sqrt x - 6 = x + 2\sqrt x - 15\end{array}$

$\begin{array}{l} - \sqrt x = - 9\\\sqrt x = 9\end{array}$

$x = 81{\rm{\;}}$(thỏa mãn điều kiện)

a) $5x - \sqrt {{{(2x - 1)}^2}} = 2\;$ hay $5x - \left| {2x - 1} \right| = 2$ (1)

Nếu $x \ge \frac{1}{2}$ thì phương trình (1) trở thành $5x - \left( {2x - 1} \right) = 2{\rm{\;}}$ hay $3x = 1$ nên $x = \frac{1}{3}$ (loại).

Nếu $x < \frac{1}{2}$ thì thì phương trình (1) trở thành $5x + \left( {2x - 1} \right) = 2{\rm{\;}}$ hay $7x = 3$ nên $x = \frac{3}{7}$ (thoả mãn)

b) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = x.{\rm{\;}}$ ĐK: $x \ge 1$

$\begin{array}{l}\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} = x\\\sqrt {{{(\sqrt {x - 1} + 1)}^2}} = x\end{array}$

$\begin{array}{l}\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| = x\\\sqrt {x - 1} + 1 - x = 0\;\\\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right) = 0\end{array}$

$\sqrt {x - 1} = 0$ hoặc $\sqrt {x - 1} = 1$

$x = 1$ hoặc $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện).