Bài tập cuối chương 2 lớp 9 (có đáp án)

Ta có $\frac{5}{8} = \frac{{35}}{{56}};\quad \frac{4}{7} = \frac{{32}}{{56}}\quad$ mà $\quad \frac{{35}}{{56}} > \frac{{32}}{{56}} \Rightarrow \frac{5}{8} > \frac{4}{7}$

5,678 và 5,6775 có phần nguyên bằng nhau, phần thập phân chữ số thập hân thứ nhất và thứ hai bằng nhau. Chữ số thập phân thứ ba

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\begin{array}{llllllllllllllllllll}{8 > 7}\end{array}{\rm{ \,nên }}}&{5{,}678 > 5{,}6775}\\{\frac{9}{{20}} = 0{,}45;}&{ - 17 > - 19}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rm{a) }}2\frac{1}{2}:\frac{3}{4} - 2\frac{1}{3} = \frac{5}{2}:\frac{3}{4} - \frac{7}{3} = \frac{{20}}{6} - \frac{7}{3} = \frac{{10}}{3} - \frac{7}{3} = 1\\\left( {1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3}} \right) \cdot 4 = \left( {\frac{3}{2} - \frac{4}{3}} \right) \cdot 4 = \frac{2}{3}{\rm{ m\`a }}1 > \frac{2}{3}\end{array}$

Nên có bất đẳng thức (hay nói khác đi bất đẳng thức trên là đúng)

b) $- 7{,}65 + 4{,}35 = - 3{,}30$

$4{,}5 - 8{,}35 = - 3{,}85{\rm{ m\`a }} - 3{,}30 > - 3{,}85$

Nên bất đẳng thức trên là sai. (không có bất đẳng thức)

a) ${\rm{a}} - 5 > {\rm{b}} - 5$ suy ra ${\rm{a}} > {\rm{b}}$ mà ${\rm{b}} > 6$ vậy ${\rm{a}} > 6$ nên ${\rm{a}},{\rm{b}}$ dều là số dương

b) ${\rm{a}} - 10 > {\rm{b}} - 10$ suy ra ${\rm{a}} > {\rm{b}}$ mà ${\rm{a}} < - 12$, nên ${\rm{b}} < - 12$ vậy ${\rm{a}},{\rm{b}}$ đều là số âm.

a) $6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.3 > - 4.3$ nên $18 > - 12$

$\begin{array}{l}6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.( - 1) < - 4.( - 1) \Rightarrow - 6 < 4\\6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.2 > - 4.2 \Rightarrow 12 > - 8\\6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.( - 4) < - 4.( - 4) \Rightarrow - 24 < 16\end{array}$

b) $6 > - 4$ thì $6 \cdot \frac{1}{2} > - 4 \cdot \frac{1}{2}$ nên $3 > - 2$

Tương tự ta có $- 3 < 2;\quad - 6 < 4$

a) ${\rm{c}} \le {\rm{d}}$ nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $- 5$ thì ta có: $- 5 \cdot {\rm{c}} \ge - 5 \cdot d$ hay $- 5c \ge - 5d$.

b) $c \le d$ nên $0{,}05{\rm{c}} \le 0{,}05\;{\rm{d}} \Rightarrow 0{,}05{\rm{c}} - 1{,}7 \le 0{,}05\;{\rm{d}} - 1{,}7$

c) ${\rm{c}} \le {\rm{d}}$ nên $\,\frac{1}{{10}} \cdot {\rm{c}} \le \frac{1}{{10}} \cdot {\rm{d}} \Rightarrow \frac{{\rm{c}}}{{10}} \le \frac{{\rm{d}}}{{10}}$

e) ${\rm{c}} \le {\rm{d}}$ nên $( - 1).{\rm{c}} \ge ( - 1){\rm{d}} \Rightarrow - {\rm{c}} \ge - {\rm{d}}$ nên $4 - {\rm{c}} \ge 4 - {\rm{d}}$

h) Tương tự ta có bất đẳng thức $0.8 - \frac{{\rm{c}}}{5} \ge 0{,}8 - \frac{{\rm{d}}}{5}$

Vì $a > 0$ và $b > 0$ nên $ab > 0$, suy ra $\frac{1}{{ab}} > 0$

Nhân cả hai vế của bất phương trình ${\rm{a}} > {\rm{b}}$ với $\frac{1}{{{\rm{ab}}}} > 0$ ta có: ${\rm{a}} \cdot \frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}$ nên $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$

$\begin{array}{l}12 < a + b < 20\\6 < a - b < 14\end{array}$;

$\begin{array}{l}20 < a.b < 64\\\frac{5}{2} < a:b < 8\end{array}$

$40{,}5 \le a.b \le 41{,}8$

Như vậy có thể xây dựng căn nhà có diện tích không nhỏ hơn $41\;{{\rm{m}}^2}$. Đó là căn nhà với chiều dài ${\rm{a}} = 7{,}6\;{\rm{m}}$ và chiều rộng ${\rm{b}} = 5{,}5\;{\rm{m}}$.

a)${x^2} - 9 = 2(x + 3)$

$(x - 3)(x + 3) - 2(x + 3) = 0$

$(x + 3)(x - 3 - 2) = 0$

$(x + 3)(x - 5) = 0$

$x + 3 = 0$ hoặc $x - 5 = 0$

$x = - 3$ hoặc $x = 5$

Vậy $S = \{ - 3;5\}$.

b)$(x - 1)(3x + 10) = {x^3} - {x^2}$

$(x - 1)(3x + 10) - {{\rm{x}}^2}({\rm{x}} - 1) = 0$$(x - 1)\left( {3x + 10 - {x^2}} \right) = 0$

$(x - 1)\left( {{x^2} - 3x - 10} \right) = 0$

$(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0$

$x = 1$ hoặc $x = - 2$ $x = 5$

Vậy $S = \{ - 2;1;5\}$.

a) $\frac{{5x - 8}}{7} - \frac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{{14}} = \frac{{4x - 5}}{{21}} - 1{,}5$

$6\left( {5x - 8} \right) - 9\left( {2x + 1} \right) = 2\left( {4x - 5} \right) - 63$

$30x - 48 - 18x - 9 = 8x - 10 - 63$

$\begin{array}{l}30x - 18x - 8x = - 10 - 63 + 48 + 9\\4x = - 16\\x = - 4\end{array}$

b) $\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{10}} = \frac{{29{x^2} - 22}}{{30}} - \frac{{x\left( {6x - 19} \right)}}{{15}}$

$\begin{array}{l}5\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 29{x^2} - 22 - 2x\left( {6x - 19} \right)\\20{x^2} + 20x + 5 - 3{x^2} + 18x - 27 = 29{x^2} - 22 - 12{x^2} + 38x\\{\rm{\;}}0x = 0.\end{array}$

Phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.

a) $\frac{x-2}{x-5}+\frac{x+13}{{x}^{2}-25}=1(1)$

ĐKХĐ: $x \ne \pm 5$.

$\frac{{x - 2}}{{x - 5}} + \frac{{x + 13}}{{{x^2} - 25}} = 1$

$\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) + x + 13 = {x^2} - 25\\{\rm{\;}}{x^2} + 3x - 10 + x + 13 = {x^2} - 25\end{array}$

$4x = - 28$

$x = - 7$ (TMĐK)

Vậy $S = \left\{ { - 7} \right\}$.

b) $\frac{{3x + 2}}{{x + 4}} + \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 5 - \frac{{x - 32}}{{{x^2} + 2x - 8}}$ (2)

Ta có: ${\rm{\;}}{x^2} + 2x - 8 = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)$

ĐKХĐ: $x \ne - 4;x \ne 2$.

$\begin{array}{l}\left( 2 \right)\; \Rightarrow {\rm{\;}}\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 5\left( {{x^2} + 2x - 8} \right) - \left( {x - 32} \right)\\3{x^2} - 6x + 2x - 4 + 2{x^2} + 8x + x + 4 = 5{x^2} + 10x - 40 - x + 32\end{array}$

$- 4x = - 8$

$x = 2$ (không thoả mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $\frac{{10 - x}}{{51}} + \frac{{9 - x}}{{52}} + \frac{{8 - x}}{{53}} + 3 = 0$

$\begin{array}{l}\left( {\frac{{10 - x}}{{51}} + 1} \right) + \left( {\frac{{9 - x}}{{52}} + 1} \right) + \left( {\frac{{8 - x}}{{53}} + 1} \right) = 0\\\frac{{61 - x}}{{51}} + \frac{{61 - x}}{{52}} + \frac{{61 - x}}{{53}} = 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\left( {61 - {\rm{x}}} \right)\left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}}} \right) = 0\\61 - {\rm{x}} = 0\left( {{\rm{\;v\`i \;}}\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} \ne 0} \right)\\{\rm{\;}}x = 61\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 61$.

$$\begin{array}{l}{\rm{b)\;}}\frac{{2x + 5}}{{195}} + \frac{{2x + 7}}{{197}} = \frac{{2x}}{{95}}\\\left( {\frac{{2x + 5}}{{195}} - 1} \right) + \left( {\frac{{2x + 7}}{{197}} - 1} \right) = \frac{{2x}}{{95}} - 2\\\frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{195}} + \frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{197}} = \frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{95}}\\\left( {2x - 190} \right)\left( {\frac{1}{{195}} + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{95}}} \right) = 0\end{array}$$

$\begin{array}{l}2x - 190 = 0\left( {{\rm{v\`i }}\frac{1}{{195}} + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{95}} \ne 0} \right)\\2x = 190\\x = 95\end{array}$

Vạy $S = \left\{ {95} \right\}$.

ĐKXĐ: $x = \pm 3$

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {x + 2m} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - m} \right)\left( {x + 3} \right) = mx\left( {x + 1} \right)\\{x^2} - 3x + 2mx - 6m + {x^2} + 3x - mx - 3m = m{x^2} + mx\\2{x^2} - m{x^2} = 9m \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right){x^2} = 9m\end{array}$

Khi $m = 1$ ta được ${x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ (loại).

Khi $m = 2$ ta được $0{x^2} = 18$, vô nghiệm.

Khi ${\rm{m}} = 1{,}6$ ta được $0{,}4{{\rm{x}}^2} = 14{,}4$ hay ${x^2} = 36$ nên $x = \pm 6$ (thoả mãn ĐKXĐ).

Vậy khi $m = 1$ hoặc $m = 2$ thì phương trình vô nghiệm

khi ${\rm{m}} = 1{,}6$ thì phương trình có nghiệm ${\rm{x}} = \pm 6$.

1. Với $m = 1$, ta có phương trình $2x + 3y = 3$.

i) Thay $x = 3,y = - 2$ vào phương trình, ta có $2 \cdot 3 + 3 \cdot ( - 2) = 6 \ne 3$ nên $(\,3\,; - 2)$ không là nghiệm của phương trình.

ii) Thay $x = 0,y = 1$ vào phương trình, ta có $2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$ nên $(0\,;1)$ là nghiệm của phương trình.

iii) Thay $x = - 1,y = 0$ vào phương trình, ta có $2 \cdot ( - 1) + 3 \cdot 0 = - 2 \ne 3$ nên $( - 1\,;0)$ không là nghiệm của phương trình.

2. Tìm nghiệm tổng quát.

i) Với $m = - 1$ ta có phương trình $- 1 \cdot x + ( - 1 + 1)y = 3 \Leftrightarrow x = - 3$.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 3}\\{y \in \mathbb{R}{\rm{ }}}\end{array}.} \right.$

ii) Với $m = 2$ ta có phương trình $2x + 3y = 3$$\Leftrightarrow y = - \frac{2}{3}x + 1$.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \in \mathbb{R}}\\{y = - \frac{2}{3}x + 1{\rm{ }}}\end{array}} \right..$

Hoặc: $2x + 3y = 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}$. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}}\\{y \in \mathbb{R}}\end{array}} \right..$

3. Tìm giá trị $m$ tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.

i) Thay $x = 3,y = 1$ vào phương trình, ta có $3m + (m + 1) \cdot 1 = 3$ hay $m = \frac{1}{2}$.

ii) Thay $x = 2,y = 3$ vào phương trình, ta có $2m + (m + 1) \cdot 3 = 3$ hay $m = 0$.

a) $\frac{{9 - 3x}}{8} > \frac{{5x - 9}}{{16}}$

$\begin{array}{l}2\left( {9 - 3x} \right) > 5x - 9\\18 - 6x > 5x - 9\end{array}$

$\begin{array}{l} - 6x - 5x > - 9 - 18\\ - 11x > - 27\\x < \frac{{27}}{{11}}\end{array}$

b) $\frac{{5 + 2x}}{3} > \frac{{3{,}5 + 3x}}{6}$

$\begin{array}{l}2\left( {5 + 2x} \right) > 3{,}5 + 3x\\10 + 4x > 3{,}5 + 3x\end{array}$

$\begin{array}{l}4x - 3x > 3{,}5 - 10\\x > - 6{,}5\end{array}$

c) $7x + 1 < \frac{{3x + 2}}{3}$

$\begin{array}{l}21x + 3 < 3x + 2\\18x < - 1\\x < - \frac{1}{{18}}\end{array}$

d) $\frac{{17 - 2x}}{3} < x + 4$

$\begin{array}{l}17 - 2x < 3x + 12\\ - 5x < - 5\\x > 1\end{array}$

Lời giải

a) $x$ là nghiệm của bất phương trình

$\frac{{3x - 1}}{4} + \frac{{x - 1}}{5} > 0$

$\begin{array}{l}5(3x - 1) + 4(x - 1) > 0\\19x > 9\\x > \frac{9}{{19}}\end{array}$

b) y là nghiệm của bất phương trình

$\begin{array}{l}\frac{{5y + 1}}{3} - \frac{{3 - y}}{5} < 0\\y < \frac{1}{7}\end{array}$

Ta làm như sau: Đặt $P(x) = \left( {x - {a_1}} \right)\left( {x - {a_2}} \right)\left( {x - {a_3}} \right)$

- Nếu $x = {x_0} > {a_3}$ thì ${x_0} - {a_1} > 0,{x_0} - {a_2} > 0,{x_0} - {a_3} > 0$ nên $P(x) > 0$.

${{\rm{a}}_1} < {{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_2}$ thì ${{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_1} > 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_2} < 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_3} < 0$ nên ${\rm{P}}({\rm{x}}) > 0$

- Nếu ${a_2} < {x_0} < {a_3}$ thì ${x_0} - {a_1} > 0,{x_0} - {a_2} > 0,{x_0} - {a_3} < 0$ nên $P(x) < 0$

- Nếu ${{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_1}$ thì ${{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_1} < 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_2} < 0,{{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_3}$ nên ${\rm{P}}({\rm{x}}) < 0$.

Từ đó ta có thể kết luận tập hợp nghiệm của phương trình (1): $\left\{ {x|x > {a_3}} \right\} \cup \left\{ {x|{a_1} < x < {a_2}} \right\}$

Tập hợp nghiệm của phương trình (2):$\left\{ {x|{a_2} < x < {a_3}} \right\} \cup \left\{ {x|x < {a_1}} \right\}$

Lời giải

a) Biến đổi bất phương trình a) trở thành:$(x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0$

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là $x > 3$ và $1 < x < 2$ hay${\rm{ }}{S_a} = \left\{ {x\left| {x > 3} \right.\} \cup \{ x\left| {1 < x < 2} \right.} \right\}$

b) Biến đổi bất phương trình b) trở thành:$(x - ( - 2))(x - 5)(x - 6) < 0$

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là: $\left\{ {x\left| x \right. < - 2} \right\} \cup \left\{ {x\left| {5 < x < 6} \right.} \right\}$

Ta có $\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge \frac{1}{3}$

$\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{3} \ge 0$

$\frac{{3{x^2} - 3x + 3 - {x^2} - x - 1}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0$

$\frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0$

$\frac{{2{{(x - 1)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0.$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi $x = 1$ ).

Ta có ${(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$

${(ax + by)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 0$

${a^2}{x^2} + 2abxy + {b^2}{y^2} - {a^2}{x^2} - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} - {b^2}{y^2} \le 0$

$\left( {{a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2}} \right) \le 0$

${(ay - bx)^2}{\rm{ }} \ge 0$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi ${\rm{ay}} = {\rm{bx}})$.

Áp dụng: ${(3x + 4y)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$; ${5^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$.

Do đó ${x^2} + {y^2} \ge 1$ (dấu "=" khi và chỉ khi $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ ).

a)$A = {x^2} - 3x + 2$$= {x^2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4}$$\; = {\left( {{\rm{x}} - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\rm{x}} = \frac{3}{2}{\rm{ )}}{\rm{. }}$

Vậy $\min A = - \frac{1}{4}$ khi $x = \frac{3}{2}$.

b) $B = {(x + y)^4} - 8{(x + y)^2} + 17$$= {\left[ {{{(x + y)}^2} - 4} \right]^2} + 1 \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${(x + y)^2} = 4$ hay $x + y = \pm 2$.

Vậy $\min A = 1$ khi $x + y = \pm 2$.

a) Ta có: $C = - {x^2} + 14x - 70$$= - {x^2} + 14x - 49 - 21$ $= - {(x - 7)^2} - 21 \le - 21$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = 7.$

Vậy $\max C = - 21$ khi $x = 7$.

b) Ta có $D = - {x^4} + 2{x^2} + 9$$= - {x^4} + 2{x^2} - 1 + 10$$= - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 10 \le 10$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${x^2} = 1$ hay $x = \pm 1$.

Vậy max ${\rm{D}} = 10$ khi ${\rm{x}} = \pm 1$.

a) Ta có : $\frac{{x - 5}}{{14}} \le \frac{{3(1{,}5 - 2x)}}{{35}}$

$5(x - 5) \le 6(1{,}5 - 2x)$

$5x - 25 \le 9 - 12x$

$17x \le 34$ hay $x \le 2$.

b) Ta có $\frac{{2x - 5}}{4} > \frac{{x + 1}}{2}$

$2x - 5{\rm{ }} > 2x + 2$

$0x > 7.$

Bất phương trình này vô nghiệm.

a) Khi ${\rm{a}} = 2$ thì (1) trở thành $4{\rm{x}} - 2{\rm{x}} > 3 - {\rm{x}}$

$4x - 2x + x > 3$

$3x > 3$$hay\,x > 1$.

b) ${a^2}x - ax > 3 - x$

${a^2}x - ax + x > 3$

$\left( {{a^2} - a + 1} \right)x > 3.$

Vì ${a^2} - a + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi giá trị của a nên $x > \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}$.

Vậy bất phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

(1)$\Rightarrow {x^2} - 10x + 25 - {x^2} - x < 3$

$- 11x < 3 - 25$

$- 11x < - 22$$hay\,x > 2.$

(2) $\Rightarrow {x^2} - 3x + x - 3 > {x^2} - 4x$

$- 3x + x + 4x > 3$

$2x > 3$$hay\,x > \frac{3}{2}$

Kết hợp hai kết quả lại ta được nghiệm chung của (1) và (2) là $x > 2$.

Ta có $\frac{{5x + 1}}{4} \le \frac{{5x + 9}}{6}$

$3(5x + 1) \le 2(5x + 9)$

$15x + 3 \le 10x + 18$

$15x - 10x \le 18 - 3$

$5x \le 15$${\rm{hay}}\,{\rm{x}} \le 3$

Vì $x$ nguyên dương nên $x \in \{ 1;2;3\}$.

${\rm{ Ta c\'o }}\frac{{{x^2} - x + 5}}{{{x^2} + x + 3}} - 1 > 0$

$\frac{{{x^2} - x + 5 - \left( {{x^2} + x + 3} \right)}}{{{x^2} + x + 3}} > 0$

$\frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + x + 3}} > 0$

Vì ${x^2} + x + 3 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0$ với mọi $x$ nên ta có $- 2x + 2 > 0$ hay $x < 1$.