Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

a) Ta có P(1): "1 = 1$^{2}$". Mệnh đề này đúng vì 1$^{2}$ = 1.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k$^{2}$.

c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]

= k$^{2}$ + [2(k+1) – 1] = k$^{2}$ + (2k + 2 – 1) = k$^{2}$ + 2k + 1 = (k+1)$^{2}$

Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

a)

+) Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{1}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{{(\sqrt{2})}^{2}-{1}^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1=\sqrt{1+1}-1.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}=\sqrt{(k+1)+1}-1.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1.$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}})+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1})(\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1})}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}}{[(k+1)+1]-(k+1)}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}}{1}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+(\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1})$

$=\sqrt{(k+1)+1}-1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$.

b)

+) Khi n = 2, ta có:

$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}=\frac{7}{9}=\frac{2({2}^{2}+2+1)}{3\ .\ 2(2+1)}.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{{3}^{3}+1}\cdot \frac{{4}^{3}-1}{{4}^{3}+1}\cdots \frac{{(k+1)}^{3}-1}{{(k+1)}^{3}+1}=\frac{2[{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{3(k+1)[(k+1)+1]}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{{3}^{3}+1}\cdot \frac{{4}^{3}-1}{{4}^{3}+1}\cdots \frac{{k}^{3}-1}{{k}^{3}+1}=\frac{2({k}^{2}+k+1)}{3k(k+1)}.$

Khi đó:

$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{{3}^{3}+1}\cdot \frac{{4}^{3}-1}{{4}^{3}+1}\cdots \frac{{(k+1)}^{3}-1}{{(k+1)}^{3}+1}$

$=\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{{3}^{3}+1}\cdot \frac{{4}^{3}-1}{{4}^{3}+1}\cdots \frac{{k}^{3}-1}{{k}^{3}+1}.\frac{{(k+1)}^{3}-1}{{(k+1)}^{3}+1}$

$=(\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{{3}^{3}+1}\cdot \frac{{4}^{3}-1}{{4}^{3}+1}\cdots \frac{{k}^{3}-1}{{k}^{3}+1}).\frac{{(k+1)}^{3}-1}{{(k+1)}^{3}+1}$

$=\frac{2({k}^{2}+k+1)}{3k(k+1)}.\frac{{(k+1)}^{3}-1}{{(k+1)}^{3}+1}$

$=\frac{2({k}^{2}+k+1)}{3k(k+1)}.\frac{[(k+1)-1][{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{[(k+1)+1][{(k+1)}^{2}-(k+1)+1]}$

$=\frac{2({k}^{2}+k+1)}{3k(k+1)}.\frac{k[{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{[(k+1)+1][({k}^{2}+2k+1)-(k+1)+1]}$

$=\frac{2({k}^{2}+k+1)}{3k(k+1)}.\frac{k[{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{[(k+1)+1]({k}^{2}+k+1)}$

$=\frac{2}{3(k+1)}.\frac{[{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{[(k+1)+1]}$

$=\frac{2[{(k+1)}^{2}+(k+1)+1]}{3(k+1)[(k+1)+1]}.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$.

+) Khi n = 1, ta có:

${(1+\sqrt{2})}^{1}=1+\sqrt{2}=1+1\ .\ \sqrt{2}\Rightarrow$ a$_{1}$ = 1, b$_{1}$ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}$ viết được dưới dạng ${a}_{k+1}+{b}_{k+1}\sqrt{2},$ trong đó a$_{k + 1}$, b$_{k + 1}$là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1+\sqrt{2})}^{k}={a}_{k}+{b}_{k}\sqrt{2},$ với a$_{k}$, b$_{k}$là các số nguyên dương.

Khi đó:

${(1+\sqrt{2})}^{k+1}={(1+\sqrt{2})}^{k}(1+\sqrt{2})$

$=({a}_{k}+{b}_{k}\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$

$={a}_{k}\ .\ 1+{b}_{k}\sqrt{2}\ .\ 1+{a}_{k}\ .\ \sqrt{2}+{b}_{k}\sqrt{2}.\sqrt{2}$

$={a}_{k}+{b}_{k}\sqrt{2}+{a}_{k}\sqrt{2}+2{b}_{k}$

$=({a}_{k}+2{b}_{k})+({a}_{k}+{b}_{k})\sqrt{2}.$

Vì a$_{k}$, b$_{k}$là các số nguyên dương nên a$_{k}$ + 2b$_{k}$ và a$_{k}$ + b$_{k}$ cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$ thì ${(1+\sqrt{2})}^{n}={a}_{n}-{b}_{n}\sqrt{2}$ với a$_{n}$, b$_{n}$là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$ thì ${(1-\sqrt{2})}^{n}={c}_{n}-{d}_{n}\sqrt{2}$ với c$_{n}$, d$_{n}$là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a$_{n}$ = c$_{n}$ và b$_{n}$ = d$_{n}$ với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$.

Ta có: ${(1+\sqrt{2})}^{n}{(1-\sqrt{2})}^{n}={[(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})]}^{n}={(-1)}^{n}$

$\Rightarrow ({a}_{n}+{b}_{n}\sqrt{2})({c}_{n}-{d}_{n}\sqrt{2})={(-1)}^{n}$

$\Rightarrow ({a}_{n}{c}_{n}-2{b}_{n}{d}_{n})+({b}_{n}{c}_{n}-{a}_{n}{d}_{n})\sqrt{2}={(-1)}^{n}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}{a}_{n}{c}_{n}-2{b}_{n}{d}_{n}={(-1)}^{n}\ (1) \\ {b}_{n}{c}_{n}-{a}_{n}{d}_{n}=0\ (2)\end{matrix}.$

Từ (2) ta suy ra ${a}_{n}{d}_{n}={b}_{n}{c}_{n}\Rightarrow \frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}=\frac{{b}_{n}}{{d}_{n}}=k$ với k > 0 (vì a$_{n}$, b$_{n}$, c$_{n}$, d$_{n}$là các số nguyên dương)

$\Rightarrow {a}_{n}=k{c}_{n},\ {b}_{n}=k{d}_{n}.$ Thế vào (1) ta được:

$(k{c}_{n}){c}_{n}-2(k{d}_{n}){d}_{n}={(-1)}^{n}\Rightarrow k({c}_{n}^{2}-2{d}_{n}^{2})={(-1)}^{n}$

$\Rightarrow 1\ ⋮\ k\Rightarrow k=1\Rightarrow$a$_{n}$ = c$_{n}$ và b$_{n}$ = d$_{n}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

+) Khi n = 1, ta có: 16$^{1}$ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16$^{k + 1}$ – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16$^{k}$ – 15k – 1 chia hết cho 225.

Khi đó:

16$^{k + 1}$ – 15(k + 1) – 1

= 16 . 16$^{k}$ – 15k – 16

= 16 . 16$^{k}$ – (240k – 225k) – 16

= 16 . 16$^{k}$ – 240k + 225k – 16

= 16 . 16$^{k}$ – 240k – 16 + 225k

= 16 (16$^{k}$ – 15k – 1) + 225k

Vì (16$^{k}$ – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16$^{k}$ – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16$^{k + 1}$ – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ$^{*}$.

a) S$_{1}$ = 1 + 2$^{1}$ = 3, S$_{2}$ = 1 + 2 + 2$^{2}$ = 7, S$_{3}$ = 1 + 2 + 2$^{2}$ + 2$^{3}$ = 15.

T$_{1}$ = 2$^{1 + 1}$ – 1 = 3, T$_{2}$ = 2$^{2 + 1}$ – 1 = 7, T$_{3}$ = 2$^{3 + 1}$ – 1 = 15.

Vậy S$_{1}$ = T$_{1}$; S$_{2}$ = T$_{2}$; S$_{3}$ = T$_{3}$.

b) Ta dự đoán S$_{n}$ = T$_{n}$ với n ℕ$^{*}$.

+) Khi n = 1, ta có: S$_{1}$ = T$_{1}$.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S$_{k + 1}$ = T$_{k + 1}$.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S$_{k}$ = T$_{k}$.

Khi đó:

S$_{k + 1}$ = 1 + 2 + 2$^{2}$ +... + 2$^{k}$ + 2$^{k + 1}$

= S$_{k}$ + 2$^{k + 1}$

= T$_{k}$ + 2$^{k + 1}$

= (2$^{k + 1}$ – 1) + 2$^{k + 1}$

= 2 . 2$^{k + 1}$ – 1

= 2$^{k + 2}$ – 1

= 2$^{(k + 1) + 1}$ – 1

=T$_{k + 1}$.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ$^{*}$. Vậy S$_{n}$ = T$_{n}$ = 2$^{n}$$^{+ 1}$ – 1 với n$\in$ℕ$^{*}$.