Bài tập Chuyên đề Hypebol có đáp án

a) Toạ độ hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ của hypebol (H) là: F$_{1}$(–c; 0) và F$_{2}$(c; 0) với $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}.$

b)

+) Vì A$_{1}$ thuộc trục Ox nên toạ độ của A$_{1}$ có dạng $({x}_{{A}_{1}};\ 0).$

Mà A$_{1}$ thuộc (H) nên $\frac{{x}_{{}_{{A}_{1}}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow {x}_{{}_{{A}_{1}}}^{2}={a}^{2}\Rightarrow [\begin{matrix}{x}_{{A}_{1}}=a \\ {x}_{{A}_{1}}=-a\end{matrix}.$

Ta thấy A$_{1}$ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên ${x}_{{A}_{1}}<0\Rightarrow {x}_{{A}_{1}}=-a\Rightarrow$A$_{1}$(–a; 0). Khi đó OA$_{1}$ = $\sqrt{{(-a-0)}^{2}+{(0-0)}^{2}}=\sqrt{{(-a)}^{2}}=a\$(vì a > 0).

Vậy OA$_{1}$ = a.

+) Vì A$_{2}$ thuộc trục Ox nên toạ độ của A$_{2}$ có dạng $({x}_{{A}_{2}};\ 0).$

Mà A$_{2}$ thuộc (H) nên $\frac{{x}_{{}_{{A}_{2}}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow {x}_{{}_{{A}_{2}}}^{2}={a}^{2}\Rightarrow [\begin{matrix}{x}_{{A}_{2}}=a \\ {x}_{{A}_{2}}=-a\end{matrix}.$

Ta thấy A$_{2}$ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên ${x}_{{A}_{2}}>0\Rightarrow {x}_{{A}_{2}}=a\Rightarrow$A$_{2}$(a; 0). Khi đó OA$_{2}$ = $\sqrt{{(a-0)}^{2}+{(0-0)}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}=a\$(vì a > 0).

Vậy OA$_{2}$ = a.

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

+) M$_{1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M$_{1}$ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{(-y)}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{1}$ cũng thuộc (H).

+) M$_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M$_{2}$ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{(-x)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{2}$ cũng thuộc (H).

+) M$_{3}$ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M$_{3}$ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{(-x)}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{(-y)}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{3}$ cũng thuộc (H).

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

Vì $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\ge 0$ nên $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}\ge 1\Rightarrow {x}^{2}\ge {a}^{2}\Rightarrow$ x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b)

+) Có P(–a; b), R(a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{PR}=(a-(-a);-b-b)=(2a;-2b).$

Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.

Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x.$

+) Có Q(a; b), S(–a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{QS}=(-a-a;-b-b)=(-2a;-2b).$

Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.

Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A$_{2}$(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow \frac{b}{a}=3\Rightarrow$b = 3a = 15.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{5}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{15}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{225}=1.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 $\Rightarrow$ 2b = 6 $\Rightarrow$ b = 3 $\Rightarrow$ b$^{2}$ = 9.

+) Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{{a}^{2}+{3}^{2}}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16({a}^{2}+{3}^{2})=25{a}^{2}\Rightarrow {a}^{2}=16.$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{{a}^{2}+{3}^{2}}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16({a}^{2}+{3}^{2})=25{a}^{2}\Rightarrow {a}^{2}=16.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

a) MF$_{1}$$^{2}$ = [x – (– c)]$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ = (x + c)$^{2}$ + y$^{2}$ = x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$.

b) MF$_{2}$$^{2}$ = (x – c)$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$.

c) MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = (x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$) – (x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$) = 4cx.

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF$_{1}$ > MF$_{2}$. Khi đó:

MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 2a.

Ta có: MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx $\Rightarrow$ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)(MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 4cx $\Rightarrow$ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)2a = 4cx

$\Rightarrow$ MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) + (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = $\frac{2c}{a}x$ + 2a $\Rightarrow$ 2MF$_{1}$ = $\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF$_{1}$ = a + $\frac{c}{a}$x $=|a+\frac{c}{a}x|=\ |a+ex|.$

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) – (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = $\frac{2c}{a}x$ – 2a $\Rightarrow$2MF$_{2}$ = $\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF$_{2}$ = $\frac{c}{a}$ x – a = $=|a-\frac{c}{a}x|=\ |a-ex|.$

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF$_{1}$ < MF$_{2}$. Khi đó:

MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = –|MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = –2a.

Ta có: MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx $\Rightarrow$ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)(MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 4cx $\Rightarrow$ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$ MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = $\frac{4cx}{2a}$ = – $\frac{2c}{a}x$. Khi đó:

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) + (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = – + (–2a) $\Rightarrow$ 2MF$_{1}$ = – $\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF$_{1}$ = $-(\frac{c}{a}x+a)=|a+\frac{c}{a}x|=\ |a+ex|.$

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) – (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = – $\frac{2c}{a}x$ – (–2a) $\Rightarrow$ 2MF$_{2}$ = – $\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF$_{2}$ = a –$\frac{c}{a}$x $=|a-\frac{c}{a}x|=\ |a-ex|.$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

$M{F}_{1}=|a+\frac{c}{a}x|=\ |a+ex|;\ M{F}_{2}=|a-\frac{c}{a}x|=\ |a-ex|.$

Có a$^{2}$ = 144, b$^{2}$ = 25 $\Rightarrow a=12,\ b=5,\ c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{144+25}=13.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

$M{F}_{1}=|a+\frac{c}{a}x|=\ |12+\frac{13}{12}.15|=\frac{113}{4}.$

$M{F}_{2}=|a-\frac{c}{a}x|=\ |12-\frac{13}{12}.15|=\frac{17}{4}.$

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ$_{1}$ ở dạng Δ$_{1}$: x + 0 . y + $\frac{a}{e}$ = 0.

Với mỗi điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc hypebol, ta có:

$d(M,{Δ}_{1})=\frac{|{x}_{0}+0.{y}_{0}+\frac{a}{e}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{|a+e{x}_{0}|}{e}=\frac{M{F}_{1}}{e}.$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{M{F}_{1}}{d(M,{Δ}_{1})}=e$.

Ta có: a$^{2}$ = 11, b$^{2}$ = 25 $\Rightarrow a=\sqrt{11},\ b=5,\ c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{11+25}=6.$

Do đó hai tiêu điểm là F$_{1}$(–6; 0) và F$_{2}$(6; 0).

Ta có: $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}}\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}.$

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F$_{1}$(–6; 0) là ${Δ}_{1}:\ x=-\frac{11}{6}.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F$_{2}$(6; 0) là ${Δ}_{2}:\ x=\frac{11}{6}.$

Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A$_{1}$(– 3; 0), A$_{2}$(3; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm $M(5;\frac{16}{3})$ thuộc (H). Do đó các điểm ${M}_{1}(5;-\frac{16}{3}),{M}_{2}(-5;\frac{16}{3}),{M}_{3}(-5;-\frac{16}{3})$ thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A$_{1}$(– 3; 0) và đi qua M$_{2}$, M$_{3}$; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A$_{2}$(3; 0) và đi qua M, M$_{1}$. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A$_{1}$(–4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 5$^{2}$ – 4$^{2}$ = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F$_{1}$(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3.

+) Hypebol có một đỉnh là A$_{2}$(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 3$^{2}$ – 2$^{2}$ = 5.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A$_{2}$(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 5$^{2}$ – 4$^{2}$ = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F$_{2}$(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{{a}^{2}}{9}=\frac{{b}^{2}}{7}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{9+7}=\frac{{c}^{2}}{16}=\frac{{4}^{2}}{16}=1\Rightarrow$a$^{2}$ = 9, b$^{2}$ = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1.$

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A$_{1}$(–2; 0), A$_{2}$(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F$_{(-\sqrt{5};0),}$ F$_{2(\sqrt{5};0).}$

Tiêu cự của hypebol là: 2c = $2\sqrt{5}.$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{1}{2}x$ và $y=\frac{b}{a}x=\frac{1}{2}x.$

Vẽ hypebol:

Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra:

Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: ${d}_{1}:y=-\frac{b}{a}x=-x$ và ${d}_{2}:y=\frac{b}{a}x=x.$

${d}_{1}:y=-x$ hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{1}}(1;1).$

${d}_{2}:y=x$ hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{2}}(1;-1).$

Có $\overrightarrow{{n}_{1}}\ .\ \overrightarrow{{n}_{2}}=1.1+1.(-1)=0.$ Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ cũng vuông góc với nhau.

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) $\Rightarrow c=10\Rightarrow {a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}=100\ (1).$

+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E) $\Rightarrow M(8;6)\in (E)$

$\Rightarrow \frac{{8}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{6}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow \frac{64}{{a}^{2}}+\frac{36}{{b}^{2}}=1\ (2).$

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{64}{{b}^{2}+100}+\frac{36}{{b}^{2}}=1\ \Rightarrow \frac{64{b}^{2}+36({b}^{2}+100)}{({b}^{2}+100){b}^{2}}=1$

$\Rightarrow 64{b}^{2}+36({b}^{2}+100)=({b}^{2}+100){b}^{2}$

$\Rightarrow 100{b}^{2}+3600={b}^{4}+100{b}^{2}\Rightarrow {b}^{4}=3600\Rightarrow {b}^{2}=60\Rightarrow {a}^{2}=160.$

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{160}+\frac{{y}^{2}}{60}=1.$

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10$^{8}$) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 325$^{2}$ – 180$^{2}$ = 73225.

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{{x}^{2}}{32400}-\frac{{y}^{2}}{73225}=1.$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t$_{1}$ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t$_{2}$ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì ${t}_{1}=\frac{PA}{v},\ {t}_{2}=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

t$_{1}$ – t$_{2}$ = $\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3\ .\ {8}^{10}}=0{,}0012\ (s).$

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.