Bài tập Chuyên đề Hypebol có đáp án

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ của hypebol (H).

b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A$_{1}$, A$_{2}$. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA$_{1}$ và OA$_{2}$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M$_{1}$, M$_{2}$, M$_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M$_{1}$, M$_{2}$, M$_{3}$ có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 2a, ở đó F$_{1}$F$_{2}$ = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F$_{1}$F$_{2}$. Trục Oy là đường trung trực của F$_{1}$F$_{2}$ và F$_{2}$ nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F$_{1}$(c; 0), F$_{2}$(c; 0) là các tiêu điểm của (H).

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:

a) MF$_{1}$$^{2}$ = x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$;

b) MF$_{2}$$^{2}$ = x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$;

c) MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx.

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx và |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 2a, chứng minh:

$M{F}_{1}=|a+\frac{c}{a}x|=\ |a+ex|;\ M{F}_{2}=|a-\frac{c}{a}x|=\ |a-ex|.$

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng ${Δ}_{1}:x=-\frac{a}{e}$.

Với mỗi điểm M (x$_{0}$; y$_{0}$)$\in$(H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ$_{1}$) từ điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) đến đường thẳng Δ$_{1}$.

b) Tỉ số $\frac{M{F}_{1}}{d(M,{Δ}_{1})}$.

Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết:

a) Tiêu điểm là F$_{1}$(– 3; 0) và đỉnh là A$_{2}$ (2; 0).

b) Đỉnh là A$_{2}$(4; 0) và tiêu cự bằng 10.

c) Tiêu điểm F$_{2}$ (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$.

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10$^{8}$ m/s.

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.