Bài tập Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là: x, y, z (con).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=100 \\ 5x+3y+\frac{1}{3}z=100\end{matrix}.$

a) Các ẩn của phương trình (1) là x, y, z.

b) Tất cả các ẩn đều là bậc nhất.

a) Mỗi phương trình của hệ (*) là một phương trình bậc nhất ba ẩn.

b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có là nghiệm của từng phương trình trong hệ (*).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

3 . (–2) + 2 . 1 – 5 . 0 = –4;

– (–2) + 3 . 1 + 5 . 0 = 5;

2 . (–2) + 7 . 1 – 3 . 0 = 3.

Để giải hệ phương trình (III), ta làm như sau:

– Từ phương trình (3), ta có: z = (–15) : (–5) = 3.

– Thế z = 3 vào phương trình (2), ta được:

4y – 3 . 3 = –13 4y – 9 = –13 4y = (–13) + 9 4y = –4 y = (–4) : 4 y = –1.

– Thế y = –1, z = 3 vào phương trình (1), ta được:

x + 2 . (–1) – 3 = –4 x – 5 = –4 x = (–4) + 5 x = 1.

Vậy hệ phương trình (III) có nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3).

Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu phương pháp Gauss thông qua việc giải hệ phương trình (IV).

Bước 1. Khử số hạng chứa x

– Trừ theo từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), rồi thay phuơng trình mới vào vị trí phuơng trình thứ hai $\rightarrow \{\begin{matrix}2x+2y-z=-4 \\ 4y-3z=-13 \\ 2x+y-z=-2\end{matrix}$

– Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 rồi trừ theo từng vế cho phương trình (3), sau đó thay phuơng trình mới vào vị trí phương trình thứ ba

$\rightarrow \{\begin{matrix}2y-z=-4 \\ x+4y-3z=-13\ (4) \\ 3y-z=-6\ (5)\end{matrix}$

Bước 2. Khử số hạng chứa y

Nhân hai vế của phương trình (4) với 3, nhân hai vế của phương trình (5) với 4, rồi trừ theo từng vế hai phương trình vùa tìm được và thay phương trình mới vào vị trí phương trình thứ ba. $\rightarrow \{\begin{matrix}x+2y-z=-4 \\ 4y-3z=-13 \\ -5z=-15\end{matrix}$ (V)

Bước 3. Giải hệ phương trình (V) có dạng tam giác, ta được nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3).

$\{\begin{matrix}4x+y-3z=11 \\ 2x-3y+2z=9 \\ x+y+z=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+y-3z=11 \\ 7y-7z=-7 \\ x+y+z=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+y-3z=11 \\ y-z=-1 \\ -3y-7z=23\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}4x+y-3z=11 \\ y-z=-1 \\ -10z=20\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+y-3z=11 \\ y-(-2)=-1 \\ z=-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+(-3)-3\ .\ (-2)=11 \\ y=-3 \\ z=-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2 \\ y=-3 \\ z=-2\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (4; 1; 2).

$\begin{matrix}\{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ -x+y-2z=3 \\ x-4y-2z=13\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ x-4y-2z=13\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 6y+8z=-8\end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 3y+4z=-4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 0=12\end{matrix}.\end{matrix}$

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

$\{\begin{matrix}x+y-3z=-1 \\ y-z=0 \\ -x+2y=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y-3z=-1\ (1) \\ y-z=0\ (2) \\ 3y-3z=0\ (3)\end{matrix}$

Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó,

hệ phương trình đưa về:

$\{\begin{matrix}x+y-3z=-1 \\ y-z=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y=-1+3z \\ y=z\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-1+2z \\ y=z\end{matrix}.$

Đặt z = t với t là số thực bất kì, ta có: x = –1 + 2t, y = t.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

(x ; y ; z) = (–1 + 2t; t; t) với t là số thực bất kì.

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = $\frac{22}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = $\frac{131}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = $-\frac{39}{101}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{22}{101};\ \frac{131}{101};-\frac{39}{101}).$

a)

+) Thay bộ số (0; 3; –2) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

0 + 3 . 3 + 2 . (–2) = 1 5 = 1 (sai). Vậy bộ số (0; 3; –2) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 3 . 5 + 2 . (–13) = 1 1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 – 5 + 3 . (–13) = 16 16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 12 + 7 . 5 + (–13) = –14 –14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

1 + 3 . (–2) + 2 . 3 = 1 1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 1 – (–2) + 3 . 3 = 16 16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 1 + 7 . (–2) + 3 = –14 –14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b)

+) Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . (–2) – 4 + 4 . 0 = –10 –10 = –10 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

– (–2) + 4 + 2 . 0 = 6 6 = 6 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

2 . (–2) – 4 + 0 = –8 –8 = –8 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (0; –3; 10) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 0 – (–3) + 4 . 10 = –10 43 = –10 (sai). Vậy bộ số (0; –3; 10) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (1; –1; 5) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 1 – (–1) + 4 . 5 = –10 24 = –10 (sai). Vậy bộ số (1; –1; 5) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

c)

+) Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

4 + 18 + 78 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 4 + 3 . 18 +$\frac{1}{3}$ . 78 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

8 + 11 + 81 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 8 + 3 . 11 + $\frac{1}{3}$ . 81 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 4 + 84 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 + 3 . 4 + $\frac{1}{3}$. 84 = 100 100 = 100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

a) $\{\begin{matrix}x-2y+4z & =4 \\ 3y-z & =2 \\ 2z & =-10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y+4z=4 \\ 3y-z=2 \\ z=-5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y+4z=4 \\ 3y-(-5)=2 \\ z=-5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y+4z=4 \\ y=-1 \\ z=-5\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2\ .\ (-1)+4\ .\ (-5)=4 \\ y=-1 \\ z=-5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=22 \\ y=-1 \\ z=-5\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (22; –1; –5).

b) $\{\begin{matrix}4x+3y-5z & =-7 \\ 2y & =4 \\ y+z & =3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+3y-5z=-7 \\ y=2 \\ y+z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+3y-5z=-7 \\ y=2 \\ 2+z=3\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+3y-5z=-7 \\ y=2 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+3\ .\ 2-5\ .\ 1=-7 \\ y=2 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-2 \\ y=2 \\ z=1\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (–2; 2; 1).

c) $\{\begin{matrix}x+y+2z & =0 \\ 3x+2y & =2 \\ x & =10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+2z=0 \\ 3\ .\ 10+2y=2 \\ x=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+2z=0 \\ y=-14 \\ x=10\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}10+(-14)+2z=0 \\ y=-14 \\ x=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}z=2 \\ y=-14 \\ x=10\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –14; 10).

a) $\{\begin{matrix}3x-y-2z=5 \\ 2x+y+3z=6 \\ 6x-y-4z=9\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-2z=5 \\ -5y-13z=-8 \\ 6x-y-4z=9\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-2z=5 \\ -5y-13z=-8 \\ -y=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-2z=5 \\ -5\ .\ (-1)-13z=-8 \\ y=-1\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-2z=5 \\ -5\ .\ (-1)-13z=-8 \\ y=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-(-1)-2\ .\ 1=5 \\ z=1 \\ y=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2 \\ z=1 \\ y=-1\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –1; 1)

b) $\{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ -x+y-2z=3 \\ x-4y-2z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 6y+8z=6\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 3y+4z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2y+6z=5 \\ 3y+4z=8 \\ 0=5\end{matrix}.$

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{matrix}x+4y-2z=2 \\ -3x+y+z=-2 \\ 5x+7y-5z=6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+4y-2z=2 \\ 13y-5z=4 \\ 5x+7y-5z=6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+4y-2z=2 \\ 13y-5z=4\ (2) \\ 13y-5z=4\ (3)\end{matrix}$

Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về:

$\{\begin{matrix}x+4y-2z=2 \\ 13y-5z=4\end{matrix}\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+4y=2z+2 \\ y=\frac{5z+4}{13}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{6z+10}{13} \\ y=\frac{5z+4}{13}\end{matrix}.$

Đặt z = t với t là số thực bất kì, ta có: $x=\frac{6t+10}{13},y=\frac{5t+4}{13}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

(x ; y ; z) = $(\frac{6t+10}{13};\frac{5t+4}{13};t)$ với t là số thực bất kì.

Gọi số đo góc thứ nhất, thứ hai, thứ ba của tam giác lần lượt là x, y, z (độ).

Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180$^{o}$ nên x + y + z = 180 (1)

Theo đề bài ta có: x + y = 2z (2) và x – z = 20 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=180 \\ x+y=2z \\ x-z=20\end{matrix}.$

$\{\begin{matrix}x+y+z=180 \\ x+y=2z \\ x-z=20\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=180 \\ x+y-2z=0 \\ x-z=20\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=180 \\ 3z=180 \\ y+2z=200\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=180 \\ z=60 \\ y+2\ .\ 60=200\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+80+60=180 \\ z=60 \\ y=80\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=40 \\ z=60 \\ y=80\end{matrix}.$

Vậy số đo ba góc của tam giác đã cho là 40$^{o}$, 80$^{0}$, 60$^{o}$.

Gọi số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 1000 (1)

Số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba, do đó: x = y + z hay x – y – z = 0 (2)

Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng nên 6%x + 8%y + 15%z = 84 hay 6x + 8y + 15z = 8400 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=1000 \\ x-y-z=0 \\ 6x+8y+15z=8400\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 500, y = 300, z =200.

Vậy số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 500 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Theo đề bài ta có:

t = 0,5 thì h = 6,075 $\frac{1}{2}a{(0{,}5)}^{2}+{v}_{0}.0{,}5+{h}_{0}=6{,}075\Rightarrow \frac{1}{8}a+\frac{1}{2}{v}_{0}+{h}_{0}=6{,}075\ (1)$

t = 1 thì h = 8,5 $\frac{1}{2}a{.1}^{2}+{v}_{0}.1+{h}_{0}=8{,}5\Rightarrow \frac{1}{2}a+{v}_{0}+{h}_{0}=8{,}5\ (2)$

t = 2 thì h = 6 $\frac{1}{2}a{.2}^{2}+{v}_{0}.2+{h}_{0}=6\Rightarrow 2a+2{v}_{0}+{h}_{0}=6\ (3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}{v}_{0}+{h}_{0}=6{,}075 \\ \frac{1}{2}a+{v}_{0}+{h}_{0}=8{,}5 \\ 2a+2{v}_{0}+{h}_{0}=6\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = –9,8; v$_{0}$ = 12,2; h$_{0}$ = 1,2.

Gọi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12 580 000 đồng nên 22x + 12y + 18z = 12580 (1)

Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10 800 000 đồng nên 16x + 10y + 20z = 10800 (2)

Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12 960 000 đồng nên 24x + 15y + 12z = 12960 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}22x+12y+18z=12580 \\ 16x+10y+20z=10800 \\ 24x+15y+12z=12960\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 250, y =320, z =180.

Vậy giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông lần lượt là 250 nghìn đồng, 320 nghìn đồng, 180 nghìn đồng.

Gọi lượng bánh quy nhãn hiệu A, B, C mà khách hàng đó mua lần lượt là x, y, z (cái).

Theo đề bài ta có:

Khách hàng mua tổng cộng 224 cái bánh quy nên x + y + z = 224 (1)

Lượng protein trong mỗi loại bánh A, B, C lần lượt là: 20%x, 28%y, 30%z.

Vì lượng protein trung bình là 25% nên $\frac{20\%x+28\%y+30\%z}{x+y+z}=25\%$

$\Rightarrow 20\%x+28\%y+30\%z=25\%(x+y+z)$

$\Rightarrow 20x+28y+30z=25(x+y+z)$

$\Rightarrow -5x+3y+5z=0\ (3)$

Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đôi lượng bánh nhãn hiệu C nên x = 2z hay x – 2z = 0.

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=224 \\ -5x+3y+5z=0 \\ x-2z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 96, y = 80, z = 48.

Vậy lượng bánh quy nhãn hiệu A, B, C mà khách hàng đó mua lần lượt là 96, 80, 48 cái.

a) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = –4.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra $y=\frac{11}{7}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra $z=\frac{12}{7}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(-4;\ \frac{11}{7};\frac{12}{7}).$

b) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra No-Solution

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra Infinite Sol.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.