Bài tập Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Theo đề OH ⊥ a tại H và OH = R nên OH tiếp xúc với (O).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:

AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25 = 5$^{2}$ = BC$^{2}$.

Suy ra tam giác ABC vuông tại A hay CA ⊥ AB.

Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm), khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4 cm.

Đáp án đúng là: D

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = $\frac{{DC}}{2}$ hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R.

Đáp án đúng là: B

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = $\frac{{DC}}{2}$ hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R = 10 cm.

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng OA ⊥ a tại A cắt b tại B thì OB ⊥ b tại B vì a ∕∕ b.

Vì (O) tiếp xúc với cả a, b nên OA = OB.

Lại có AB = h suy ra OA = OB = $\frac{h}{2}$.

Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{h}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Suy ra BH = HC.

Do BK là đường cao của tam giác ABC.

Suy ra BK ⊥ AC.

Tam giác BKC vuông tại K có H là trung điểm của BC

nên KH = BH = HC = $\frac{1}{2}$BC.

Suy ra tam giác BKH cân tại H nên $\widehat {KBH} = \widehat {HKB}$ (1)

Có K ∈ (O) đường kính AI nên KO = OI = R.

Suy ra tam giác KOI cân tại O nên $\widehat {OKI} = \widehat {OIK}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {OKB} + \widehat {HKB} = \widehat {OIK} + \widehat {IBH} = \widehat {HIB} + \widehat {IBH}$ = 90°.

Suy ra HK ⊥ OK tại K.

Do đó HK là tiếp tuyến của (O).

Đáp án đúng là: C

Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN.

Vì AM.BN = R$^{2}$ = OA.OB nên $\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}$.

Xét ∆AOM và ∆BNO có: $\widehat {MAO} = \widehat {NBO} = 90^\circ$; $\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}$.

Do đó ∆AOM ∽ ∆BNO (c.g.c)

Suy ra $\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}};\widehat {{O_2}} = \widehat {{N_2}}$. Do đó $\widehat {MON} = 90^\circ$.

Ta có: $\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{OM}}{{ON}}$ suy ra $\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{OA}}{{ON}}$ và $\widehat {MAO} = \widehat {MON} = 90^\circ$.

Nên ∆AOM ∽ ∆ONM (c.g.c) suy ra $\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}$.

∆AOM = ∆HOM (ch-gn) suy ra AO = OH hay OH = R do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đáp án đúng là: D

Kẻ IA

⊥ Oy, IB ⊥ Ox tại A, B.

Vì (I) tiếp xúc với cả Ox, Oy nên IA = IB suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy (I ≠ O) (tính chất tia phân giác của một góc)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì điểm B thuộc đường tròn (O; R) nên OB = R.

Vì đường thẳng a vuông góc với OB tại B, B thuộc đường tròn (O; R) nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Do đó, đường thẳng a và đường tròn (O; R) có 1 điểm chung và đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại tiếp điểm B. Vậy câu sai là B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì FD ^ FO tại F thuộc đường tròn (O; FO) nên DF là tiếp tuyến của đường tròn (O; FO).

Vì GD ^ GO tại G thuộc đường tròn (O; FO) nên DG là tiếp tuyến của đường tròn (O; FO).

Vậy có 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; FO).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tiếp tuyến tại điểm M của đường tròn (O; OM) là đường thẳng qua M và vuông góc với OM.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì A thuộc đường tròn (O; OA) và AC ^ OA tại A nên AC là là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) tại tiếp điểm A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì A là hình chiếu vuông góc của F trên GH nên FA ^ GH tại A hay IA ^ GH tại A.

Mà A thuộc đường tròn (A; IA) nên GH là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Tam giác ABC có $\widehat {\rm{B}} + \widehat {{\rm{ACB}}} = 90^\circ$ nên $\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$.

Vậy AB ^ AC.

b) Đúng.

Ta có: AB ^ AC, d // AB.

Vậy d ^ AC.

c) Đúng.

Vì AB ^ AC tại A.

Lại có A thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

d) Sai.

Vì d ^ AC tại C. Lại có C thuộc đường tròn đường kính AC nên d là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

Vì HB cắt đường tròn đường kính AC tại hai điểm H và C nên HB không là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

Theo c) ta có có AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

Vậy trong các đường thẳng d, HB, AB có 2 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Ta có: ${\rm{AB}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \;\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\;\,{\rm{AC}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\;\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\;\,{\rm{AB}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Vậy ${\rm{AB}} = \sqrt 5 \;\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\;\,{\rm{AC}} = 5\;\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\;\,{\rm{AB}} = 2\sqrt 5 \;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

b) Sai.

Nhận thấy, AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 25 = {5^2}$ hay AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = AC$^{2}$

Nên tam giác ABC vuông tại B (định lý Pythagore đảo).

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

c) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ^ BC tại B.

Lại có B thuộc đường tròn đường kính BC.

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

d) Sai.

Vì AB ^ BC tại B. Lại có B thuộc đường tròn đường kính AB.

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì IC ^ OC tại C.

Lại có C thuộc đường tròn (O; OC).

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OC).

b) Sai.

Vì OA = OC nên DOAC cân tại O.

Do đó, OI là đường cao đồng thời là đường trung trực của DOAC.

Do đó, OI là đường trung trực của AC.

Suy ra IA = IC.

Xét DAIO và DCIO có: OA = OC; IA = IC; OI chung.

Vậy DAIO = DCIO (c.c.c).

c) Đúng.

Vì DAIO = DCIO nên $\widehat {{\rm{OAI}}} = \widehat {{\rm{OCI}}} = 90^\circ$.

Vậy tam giác AOI vuông tại A.

d) Sai.

Vì tam giác AOI vuông tại A nên AO ^ AI tại A.

Lại có A thuộc đường tròn (O; OC).

Vậy IA là tiếp tuyến của đường tròn (O; OC).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Ta có: GE ^ Ob tại E và E thuộc đường tròn (G; GE).

Vậy Ob là tiếp tuyến của đường tròn (G; GE).

b) Sai.

Vì OG là tia phân giác của góc aOb nên $\widehat {{\rm{GOI}}} = \widehat {{\rm{GOE}}}$.

DGIO và DGEO có: OI = OE, $\widehat {{\rm{GOI}}} = \widehat {{\rm{GOE}}}$, OG chung.

Vậy DGIO = DGEO (c.g.c).

c) Đúng.

Vì DGIO = DGEO (cmt) nên GI = GE.

Vậy I thuộc đường tròn (G; GE).

d) Sai.

Vì DGIO = DGEO (cmt) nên $\widehat {{\rm{GIO}}} = \widehat {{\rm{GEO}}} = 90^\circ$.

Suy ra GI ^ Oa tại I.

Mà I thuộc đường tròn (G; GE).

Vậy Oa là tiếp tuyến của đường tròn (G; GE).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì AB = AC nên DABC cân tại A.

Do đó, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

b) Đúng.

Vì B, C thuộc đường tròn (O; OA) nên OB = OC.

Do đó, O thuộc đường trung trực của BC (1).

Vì DABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác đó.

Suy ra AM là đường trung trực của BC (2).

Từ (1) và (2) ta có: AM đi qua O.

Vậy AM đi qua O.

c) Đúng.

Vì AM là đường cao của DABC nên AM ^ BC.

Lại có d // BC. Vậy AM ^ d.

d) Đúng.

Vì AO ^ d tại A và A thuộc đường tròn (O; OA).

Vậy d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đặt $\frac{{{\rm{AB}}}}{3} = \frac{{{\rm{BC}}}}{4} = \frac{{{\rm{AC}}}}{5} = {\rm{k}}\;\,\left( {{\rm{k}} > 0} \right)$ , khi đó AB = 3k, BC = 4k, AC = 5k.

Vì AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = (3k)$^{2}$ + (4k)$^{2}$ = 25k$^{2}$ = AC$^{2}$ nên DABC vuông tại B (định lý Pythagore đảo).

Do đó, AB ^ BC tại B.

Lại có B thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Vậy đường tròn đường kính BC và AB có 1 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Gọi D là giao điểm của AG và BC.

Vì DABC đều nên G là trọng tâm đồng thời là giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó. Suy ra DG ^ BC tại D.

Vì G là trọng tâm của DABC nên GD = $\frac{{{\rm{GA}}}}{2}$.

Do đó, D thuộc đường tròn $\left( {{\rm{G}};\;\,\frac{{{\rm{GA}}}}{2}} \right)$.

Vì DG ^ BC tại D và D thuộc đường tròn $\left( {{\rm{G}};\;\,\frac{{{\rm{GA}}}}{2}} \right)$ nên BC là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {{\rm{G}};\;\,\frac{{{\rm{GA}}}}{2}} \right)$.

Vậy đường tròn $\left( {{\rm{G}};\;\,\frac{{{\rm{GA}}}}{2}} \right)$ và đường thẳng BC có 1 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Vì DABC vuông cân tại A nên $\widehat {{\rm{FAE}}} = 90^\circ$ và AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.

Suy ra AD là tia phân giác của $\widehat {{\rm{FAE}}}$.

Vì DF ^ AC tại F nên $\widehat {{\rm{DFA}}} = 90^\circ$, DE ^ AB tại E nên $\widehat {{\rm{DEA}}} = 90^\circ$.

Tứ giác AEDF có: $\widehat {{\rm{DFA}}} = \widehat {{\rm{DEA}}} = \widehat {{\rm{FAE}}} = 90^\circ$ nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Mà AD là tia phân giác của $\widehat {{\rm{FAE}}}$ nên tứ giác AEDF là hình vuông.

Suy ra DF = DE.

Do đó, E thuộc đường tròn (D; DF).

Vì DF ^ AC tại F, F thuộc đường tròn (D; DF) nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (D; DF).

Vì DE ^ AB tại E, E thuộc đường tròn (D; DF) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (D; DF).

Vì CB và đường tròn (D; DF) có hai điểm chung nên CB không là tiếp tuyến của (D; DF).

Vậy trong ba cạnh của DABC, có tất cả 2 cạnh tiếp xúc với đường tròn (D; DF).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Gọi E là trung điểm của AB.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB và AC ^ BD tại O.

Do đó, DAOB vuông cân tại O.

Mà OE là đường trung tuyến của DAOB nên OE = $\frac{1}{2}{\rm{AB}}$ = 1 cm.

Do đó, E thuộc đường tròn (O; 1 cm) (1).

Vì tam giác AOB cân tại O nên OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra OE ^ AB tại E (2).

Từ (1) và (2) ta có: AB là tiếp tuyến của đường tròn (O; 1 cm).

Chứng minh tương tự ta có: BC, CD, DA là các tiếp tuyến của đường tròn (O; 1 cm).

Vậy cả 4 đường thẳng AB, BC, CD, DA đều tiếp xúc với đường tròn (O; 1 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và $\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

Do đó, AB ^ AD tại A, AB ^ BC tại B.

Lại có, A, B thuộc đường tròn đường kính AB nên AD, BC là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của DC.

Suy ra AE = EB = DI = IC = $\frac{1}{2}$AB.

Mà AB = 2BC nên EB = BC.

Tứ giác EBCI có: EB // IC, EB = IC nên tứ giác EBCI là hình bình hành.

Lại có: $\widehat {{\rm{EBC}}} = 90^\circ$ nên tứ giác EBCI là hình chữ nhật.

Mà EB = BC nên tứ giác EBCI là hình vuông.

Do đó, $\widehat {{\rm{EIC}}} = 90^\circ$ và IE = EB.

Suy ra ${\rm{IE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ và EI ^ CD tại I.

Vì ${\rm{IE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ nên I thuộc đường tròn đường kính AB.

Mà EI ^ CD tại I nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Vậy trong 4 cạnh của hình chữ nhật ABCD, có 3 cạnh tiếp xúc với đường tròn đường kính AB.