TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Chứng minh bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2023 < 2024.

Cộng hai vế với −19 ta được 2023 + (−19) < 2024 + (−19).

b) Ta có: 4 = 2 + 2 > 2 + 2\sqrt 2 nên 4 > 2 + 2\sqrt 2.

c) Có −3 < −2 nên cộng hai vế với 2350^{50} ta được −3 + 2350^{50} < −2 + 2350^{50}.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: a2^{2} > b2^{2} nên 5a2^{2} > 5b2^{2}.

Mà 5b2^{2} > 4b2^{2} nên 5a2^{2} > 4b2^{2}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: m2^{2} < n2^{2}nên nhân cả hai vế với 2 ta được 2m2^{2} < 2n2^{^{2}}

Mà 2m2^{2} > 32\frac{3}{2}m2^{2} nên 32\frac{3}{2}m2^{2} < 2n2^{2}

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có:

P = x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − xy − yz − zx

2P = 2x2^{2} + 2y2^{2} + 2z2^{2} − 2xy − 2yz − 2xz

2P = (x2^{2} – 2xy + y2^{2}) + (y2^{2} – 2yz + z2^{2}) + (z2^{2} – 2zx + z2^{2})

2P = (x – y)2^{2} + (y – z)2^{2} + (z – x)2^{2} ≥ 0

Suy ra P ≥ 0 hay x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – xy – yz – zx ≥ 0

Vậy x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} ≥ xy + yz + xz (đpcm).

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu (a2^{2} + b2^{2})2^{2} – ab(a + b)2^{2}

= a4^{4} + 2a2^{2}b2^{2} + b4^{4} – a3^{3}b – 2a2^{2}b2^{2} – ab3^{3}

= a4^{4} + b4^{4} – a3^{3}b – ab3^{3}

= a3^{3}(a – b) + b3^{3} (b – a)

= (a – b)(a3^{3} – b3^{3})

= (a – b)2^{2}(a2^{2} + ab + b2^{2}) ≥ 0.

Do đó, (a2^{2} + b2^{2})2^{2} – ab(a + b)2^{2} ≥ 0.

Vậy (a2^{2} + b2^{2})2^{2} ≥ ab.(a + b)2^{2}.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu A = a2^{2} + b2^{2} + 1 – ab – a – b

2A = 2a2^{2} + 2b2^{2} + 2 – 2ab – 2a – 2b

2A = (a2^{2} – 2ab + b2^{2}) + (a2^{2} – 2a + 1) + (b2^{2} – 2b + 1)

2A = (a – b)2^{2} + (a – 1)2^{2} + (b – 1)2^{2} ≥ 0

Suy ra A ≥ 0 hay a2^{2} + b2^{2} + 1 – ab – a – b ≥ 0.

Vậy a2^{2} + b2^{2} + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có: ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b)

= a2^{2}b + ab2^{2} – 2abc + b2^{2}c + bc2^{2} – 2abc + ac2^{2} + a2^{2}c – 2abc

= a(b2^{2} + c2^{2} – 2bc) + b(c2^{2} + a2^{2} – 2ac) + c(a2^{2}+ b2^{2} – 2ab)

= a(b – c)2^{2} + b(c – a)2^{2} + c(a – b)2^{2} ≥ 0

Suy ra ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b) ≥ 0 (đpcm).

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có: A = bca+cab+abc\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} − a – b – c

A = (bc)2+(ca)2+(ab)2−a2bc−ab2c−abc2abc\frac{{{{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2} - {a^2}bc - a{b^2}c - ab{c^2}}}{{abc}}

2A = 2(bc)2+2(ca)2+2(ab)2−2a2bc−2ab2c−2abc2abc\frac{{2{{\left( {bc} \right)}^2} + 2{{\left( {ca} \right)}^2} + 2{{\left( {ab} \right)}^2} - 2{a^2}bc - 2a{b^2}c - 2ab{c^2}}}{{abc}}

2A = (ab−bc)2+(bc−ca)2+(ca−ab)2abc\frac{{{{\left( {ab - bc} \right)}^2} + {{\left( {bc - ca} \right)}^2} + {{\left( {ca - ab} \right)}^2}}}{{abc}} ≥ 0 với a, b, c là các số thực dương.

Suy ra A ≥ 0 hay bca+cab+abc\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} − a – b – c ≥ 0.

Vậy bca+cab+abc≥a+b+c\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu 35\frac{3}{5} − 2aba2+4b2−b23a2+2b2\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}

= 25\frac{2}{5} − 2aba2+4b2\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + 15\frac{1}{5} − b23a2+2b2\frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}

= 2a2−10ab+8b25(a2+4b2)\frac{{2{a^2} - 10ab + 8{b^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}} + 3a2+2b2−5b25(3a2+2b2)\frac{{3{a^2} + 2{b^2} - 5{b^2}}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= 2(a−b)(a−4b)5(a2+4b2)\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}+ 3(a−b)(a+b)5(3a2+2b2)\frac{{3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= 2(a−b)(a−4b)(3a2+2b2)+3(a−b)(a+b)(a2+4b2)5(a2+4b2)(3a2+2b2)\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= (a−b)[2(a−4b)(3a2+2b2)+3(a+b)(a2+4b2)]5(a2+4b2)(3a2+2b2)\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= (a−b)[2(a−4b)(3a2+2b2)+3(a+b)(a2+4b2)]5(a2+4b2)(3a2+2b2)\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= (a−b)[9a3−21a2b+16ab2−4b3]5(a2+4b2)(3a2+2b2)\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {9{a^3} - 21{a^2}b + 16a{b^2} - 4{b^3}} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}

= (a−b)2(3a−2b)25(a2+4b2)(3a2+2b2)\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {3a - 2b} \right)}^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}} ≥ 0.

Do đó 35\frac{3}{5} − 2aba2+4b2−b23a2+2b2\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} ≥ 0.

Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc 3a = 2b.

Vậy 2aba2+4b2+b23a2+2b2≤35\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5} (đpcm).

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Xét hiệu của bất đẳng thức, ta có:

1a2+1+1b2+1−21+ab\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}}

= 1a2+1−11+ab+1b2+1−11+ab\frac{1}{{{a^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}}

= (a−b)2(ab−1)(a2+1)(b2+1)(ab+1)≥0\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0

Suy ra 1a2+1+1b2+1−21+ab\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}} ≥ 0 .

1a2+1+1b2+1≥21+ab\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \frac{2}{{1 + ab}} với a,b ≥ 1.

Câu 11

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Đúng

  • c) Sai

  • d) Đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì x, y là hai số dương nên x + y > 0.

b) Đúng

Ta có: N = (x + y)3^{3} = x3^{3} + 3x2^{2}y + 3xy2^{2} + y3^{3}.

c) Sai.

M – N = 4(x3^{3} + y3^{3} ) – x3^{3} − 3x2^{2}y − 3xy2^{2} − y3^{3}

= 3x3^{3} – 3x2^{2}y – 3xy2^{2} + 3y3^{3}

= 3x2^{2}(x – y) – 3y2^{2} (x – y)

= 3(x − y)(x2^{2} – y2^{2})

= 3(x − y)2^{2}(x + y).

d) Đúng.

Vì x, y là hai số dương nên 3(x – y)2^{2}(x + y) ≥ 0 hay M – N ≥ 0.

Suy ra M ≥ N.

Câu 12

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Sai

  • c) Đúng

  • d) Sai

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì a ≥ b > 0 nên a + b > 0.

b) Sai.

Vì a ≥ b > 0 nên a.b > 0.

c) Đúng.

Ta có: S=1a+1b−4a+bS = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}

=b(a+b)+a(a+b)−4abab(a+b)= \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}

=ba+b2+a2+ab−4abab(a+b)= \frac{{ba + {b^2} + {a^2} + ab - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}

=b2+a2−2abab(a+b)= \frac{{{b^2} + {a^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}

=(a−b)2ab(a+b)= \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}.

d) Sai.

Nhận thấy S=(a−b)2ab(a+b)≥0S = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 với mọi a ≥ b > 0 .

Do đó, 1a+1b−4a+b≥0\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} \ge 0 nên 1a+1b≥4a+b\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.

Câu 13

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Sai

  • b) Sai

  • c) Đúng

  • d) Sai

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì A = a2^{2} ≥ 0 với mọi a.

b) Sai.

Có B = ab – b2^{2} = b(a – b).

Do với a, b bất kì, nên chưa thể đánh giá được B.

c) Đúng.

A – B = a2^{2} – ab + b2^{2} = a2−2.12ab+b24+3b24=(a−b2)2+3b24{a^2} - 2.\frac{1}{2}ab + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4}

d) Sai.

Vì A – B = (a−b2)2+3b24≥0{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0 với mọi a, b nên A – B ≥ 0 suy ra A ≥ B.

Câu 14

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Sai

  • c) Đúng

  • d) Sai

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với a > b nên a – b > 0. Do đó, ý i) đúng

b) Sai.

Với a > b, cộng hai vế với −1 được a – 1 > b – 1.

c) Đúng.

Xét hiệu: a3^{3} + a2^{2}b – (b3^{3} + ab2^{2}) − (a – b)(a + b)2^{2}

= a3^{3} + a2^{2}b – b3^{3} – ab2^{2} – a3^{3} – a2^{2}b + ab2^{2} + b3^{3}

= 0.

Do đó, a3^{3} + a2^{2}b – (b3^{3} + ab2^{2}) = (a – b)(a + b)2^{2}.

d) Sai.

Xét hiệu a3^{3} + a2^{2}b − b3^{3} − ab2^{2} = (a – b)(a2^{2} + ab + b2^{2}) + ab(a – b)

= (a – b)(a2^{2} + 2ab + b2^{2})

= (a – b)(a + b)2^{2} > 0 với mọi a > b.

Câu 15

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Sai

  • b) Đúng

  • c) Sai

  • d) Đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vì x, y là hai số dương nên xy > 0.

b) Đúng.

Ta có: M.N = (x+y)(1x+1y)=xy+yx+2\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2.

c) Sai.

Ta có: M.N=xy+yx+2M.N = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2.

Vì x, y là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy được:

M.N=xy+yx+2≥2xy⋅yx+2=4M.N = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} + 2 = 4.

Vậy M.N ≥ 4.

d) Đúng.

Biểu thức M.N đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi xy=yx\frac{x}{y} = \frac{y}{x} hay x = y.

Câu 16

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 1

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

a) Ta có:

(x+y)(1x+1y)=1+xy+yx+1=2+xy+yx\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số x, y dương có: xy+yx≥2xy⋅yx=2\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2

Do đó, (x+y)(1x+1y)≥4\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4.

Dấu “=” xảy ra khi x = y.

b) Vì, x, y > 0 nên x2^{2} + y3^{3} > 0.

Do đó, khẳng định này sai.

Vậy có khẳng định a) là đúng.

Câu 17

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: -2

Hướng dẫn giải

Đáp án: −2

Ta có: A = −9x2^{2} + 24x – 18

= −(9x2^{2} – 24x + 18)

= −(9x2^{2} – 24x + 16 + 2)

= −(3x – 4)2^{2} – 2.

Nhận thấy −(3x – 4)2^{2} ≤ 0 với mọi x

−(3x – 4)2^{2} – 2 ≤ −2

A ≤ 2.

Vậy giá trị lớn nhất của A = −2 khi x = 43.\frac{4}{3}.

Câu 18

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 2

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Ta có: A = 4x – x2^{2} – 1

= −x2^{2} + 4x – 4 + 3

= −(x – 2)2^{2} + 3

Ta có: −(x – 2)2^{2} ≤ 0 với mọi x

−(x – 2)2^{2} + 3 ≤ 3

A ≤ 3

Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 khi x = 2.

Câu 19

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 12

Hướng dẫn giải

Đáp án: 12

Ta có: A = 2x2^{2} + 2xy – 6x + y2^{2} + 21

= x2^{2} – 6x + 9 + x2^{2} + 2xy + y2^{2} + 12

= (x – 3)2^{2} + (x + y)2^{2} + 12

Nhận thấy (x – 3)2^{2} + (x + y)2^{2} ≥ 0 với mọi x, y

(x – 3)2^{2} + (x + y)2^{2} + 12 ≥ 12

A ≥ 12

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 12 khi x = 3, y = −3.

Câu 20

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: -3

Hướng dẫn giải

Đáp án: −3

Ta có: A = 4 – 16x2^{2} – 8x

= −16x2^{2} – 8x – 4

= −(16x2^{2} + 8x + 1) – 3

= −(4x + 1)2^{2} – 3

Nhận thấy −(4x + 1)2^{2} – 3 ≤ −3 hay A ≤ −3

Do đó, giá trị lớn nhất của A = −3 khi x = −14- \frac{1}{4}.