Bài tập Cách làm các bài tập giải tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Từ định lí tổng 3 góc trong tam giác, ta có $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 70^\circ$.

Theo định lí sin, ta có $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10.\sin 50^\circ }}{{\sin 70^\circ }} \approx 8{,}15}\\{c = \frac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{10.\sin 60^\circ }}{{\sin 70^\circ }} \approx 9{,}22}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{8^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.8.9}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \widehat A \approx 48^\circ 11'$.

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{7^2} + {9^2} - {8^2}}}{{2.7.9}} = \frac{{11}}{{21}} \Rightarrow \widehat B \approx 58^\circ 24'$.

Do đó $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 73^\circ 25'$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo định lý côsin ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$.

Thay số ta được: ${a^2} = {12^2} + {15^2} - 2.12.15.\cos 140^\circ \approx 644{,}76$

⇒ a ≈ 25,4.

Lại có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} \approx \frac{{{{25{,}4}^2} + {{15}^2} - {{12}^2}}}{{2.25{,}4.15}} \approx 0{,}95$

$\Rightarrow \widehat B \approx 17{,}64^\circ$.

Từ đó, $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 180^\circ - \left( {140^\circ + 17{,}64^\circ } \right) = 22{,}36^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin, ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {7^2} - {3^2}}}{{2.5.7}} = \frac{{13}}{{14}}$

$\Rightarrow \widehat A \approx 21{,}79^\circ$

Ta có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{3^2} + {7^2} - {5^2}}}{{2.3.7}} = \frac{{11}}{{14}}$.

$\Rightarrow \widehat B \approx 38{,}21^\circ$.

Do đó: $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 180^\circ - \left( {21{,}79^\circ + 38{,}21^\circ } \right) = 120^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Áp dụng định lý côsin ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{{b^2} + {{12}^2} - {{16}^2}}}{{2.b.12}}$$\Leftrightarrow 2{b^2} - 224 = 24b$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 6 + 2\sqrt {37} }\\{b = 6 - 2\sqrt {37} \,\,\,(loai)}\end{array}} \right.$.

Vậy b = 6 + 2$\sqrt {37}$.

Lại có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}$$\Rightarrow \sin C = \frac{{\sin A.c}}{a} = \frac{{\sin 60^\circ .12}}{{16}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$.

$\Rightarrow \widehat C \approx 40{,}5^\circ$.

Vậy $\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 180^\circ - \left( {60^\circ + 40{,}5^\circ } \right) = 79{,}5^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Trong tam giác ABC:

$\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx 180^\circ - \left( {43^\circ 42' + 16^\circ 20'} \right) = 119^\circ 58'$.

Theo định lý sin ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} \approx \frac{{46.\sin 43^\circ 42'}}{{\sin 119^\circ 58'}} \approx 36{,}68$.

Và $c = \frac{{a.\sin C}}{{\sin A}} \approx \frac{{46.\sin 16^\circ 20'}}{{\sin 119^\circ 58'}} \approx 14{,}93$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 23^\circ } \right) = 67^\circ$.

Lại có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = 20.\sin 67^\circ \approx 18{,}41$.

Và $c = \frac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = 20.\sin 23^\circ \approx 7{,}81$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos 45^\circ$

$\Leftrightarrow {3^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} + B{C^2} - 2.BC.3\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow B{C^2} - 6BC + 9 = 0$

⇔ (BC – 3)$^{2}$ = 0

⇒ BC = 3.

Dễ thấy AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = AC$^{2}$ nên theo định lý đảo của định lý Pythagore suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Vậy $\widehat B = 90^\circ$, $\widehat A = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Từ AB : AC = 3 : 4$\Rightarrow \frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}$.

Đặt $\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = k$, k > 0 ⇒ AB = 3k; AC = 4k.

Ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{{24}^2}}} = \frac{1}{{9{k^2}}} + \frac{1}{{16{k^2}}}$$\Leftrightarrow$k = 10.

Suy ra: AB = 30; AC = 40, từ đó suy ra BC = 50 (định lí Pythagore).

Lại có: cos B = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}$$\Rightarrow \widehat B \approx 53{,}13^\circ$

$\Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 36{,}87^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: cos A = $\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$= $\frac{{{{17}^2} + {{20}^2} - {{16}^2}}}{{2.17.20}}$= $\frac{{433}}{{680}}$

$\Rightarrow \widehat A$= 50,45$^\circ$.

Tương tự: cos B = $\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$= $\frac{{{{16}^2} + {{20}^2} - {{17}^2}}}{{2.16.20}}$= $\frac{{367}}{{640}}$

$\Rightarrow \widehat B \approx 55^\circ$

Do đó: $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 180^\circ - \left( {50{,}45^\circ + 55^\circ } \right) = 74{,}55^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác ABC có: $\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 45^\circ } \right) = 105^\circ$.

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Do đó: a = $\frac{{c.sinA}}{{\sin C}}$= $\frac{{7{,}2.\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }}$= $\frac{{18\sqrt 2 }}{5}$.

Và b = $\frac{{c.\sin B}}{{\sin C}}$= $\frac{{7{,}2.\sin 105^\circ }}{{\sin 45^\circ }}$= $\frac{{18 + 18\sqrt 3 }}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên $\widehat {BAD} = 120^\circ$.

Ta có ABCD là hình thoi nên AB = AD = 2 cm.

Lại có BD là tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ$.

Mà AB = AD nên tam giác ABD cân tại A.

Do đó: $\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = 30^\circ$ và $\widehat {BAD} = 180^\circ - 2\widehat {ABD} = 180^\circ - 2.30^\circ = 120^\circ$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD ta có:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD}$

Thay số: $B{D^2} = {2^2} + {2^2} - 2.2.2.\cos 120^\circ = 12$$\Rightarrow BD = 2\sqrt 3$cm.