Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu có đáp án

Nhìn dãy điểm số của cả 2 tổ, ta chưa thể khẳng định được tổ nào có kết quả tốt hơn. Để biết được tổ nào có kết quả tốt hơn, ta tính điểm số trung bình của tổ.

Mỗi tổ có 6 bạn tương ứng với 6 điểm số, ta tính trung bình bằng cách tính tổng số điểm của cả tổ rồi chia cho số thành viên của tổ.

Điểm trung bình của Tổ 1:

${x}_{1}=\frac{6+10+6+8+7+10}{6}=\frac{47}{6}\approx 7{,}83$.

Điểm trung bình của Tổ 2:

${x}_{2}=\frac{10+6+9+9+8+9}{6}=\frac{51}{6}=8{,}5$.

Vì 7,83 < 8,5.

Vậy Tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn.

Ta tính thời gian chạy trung bình của mỗi nhóm:

+ Thời gian chạy trung bình của nhóm A là:

$\frac{12{,}2+13{,}5+12{,}7+13{,}1+12{,}5+12{,}9+13{,}2+12{,}8}{8}=12{,}8625$(giây)

+ Thời gian chạy trung bình của nhóm B là:

$\frac{12{,}1+13{,}4+13{,}2+12{,}9+13{,}7}{5}=13{,}06$ (giây)

Vì 12,8625 < 13,06 nên thời gian chạy 100 mét trung bình của nhóm A ít hơn nhóm B.

Điều đó có nghĩa là thành tích chạy của nhóm A tốt hơn.

Bảng số liệu trên được cho dưới dạng bảng tần số.

Số trận đấu trong toàn mùa giải hay chính là cỡ mẫu là:

n = 5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26 (trận)

Số bàn thắng trung bình của đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải là:

$\overline{x}=\frac{5.0+10.1+5.2+3.3+2.4+1.6}{26}\approx 1{,}65$.

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc số quyển sách ở thư viện trong tháng trên là:

$\frac{3+1+2+1+2+2+3+25+1}{9}=\frac{40}{9}\approx 4{,}4$

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc số quyển số ở thư viện trong tháng trên là:

$\frac{4+5+4+3+3+4+5+4}{8}=\frac{32}{8}=4$

b) Vì 4,4 > 4 nên theo số trung bình, các bạn Tổ 1 đọc sách chăm hơn.

Nếu dựa vào số trung bình để đánh giá xem tổ nào chăm đọc sách hơn trong bài này thì không phù hợp, do có một số liệu trong mẫu số liệu của Tổ 1 quá lớn so với các số liệu còn lại. Ta sử dụng trung vị để so sánh độ chăm học giữa hai tổ.

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 1:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu n$_{1}$ = 9 là số lẻ, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 1 là M$_{e1}$ = 2.

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 2:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5

Vì cỡ mẫu n$_{2}$ = 8 là số chẵn, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 2 là M$_{e2}$ = $\frac{1}{2}(4+4)=4$.

Do đó ta có: M$_{e2}$ > M$_{e1}$.

Vậy theo trung vị, các bạn Tổ 2 chăm đọc sách ở thư viện hơn Tổ 1.

+ Vận dụng 1:

- Sắp xếp các số liệu ở nhóm A theo thứ tự không giảm:

12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5

Vì cỡ mẫu của mẫu số liệu là 8 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu này là

M$_{eA}$ = $\frac{1}{2}(12{,}8+12{,}9)=12{,}85$

- Sắp xếp các số liệu ở nhóm B theo thứ tự không giảm:

12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7

Vì cỡ mẫu của mẫu số liệu là 5 là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu này là M$_{eB}$ = 13,2.

+ Vận dụng 2:

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm:

0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 6.

Vì cỡ mẫu là 26 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu là M$_{e}$ = $\frac{1}{2}(1+1)=1$.

Các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+ Vì cỡ mẫu là 20, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(58+59)=58{,}5$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó, Q$_{1}$ = $\frac{1}{2}(54+56)=55$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó, Q$_{3}$ = $\frac{1}{2}(64+65)=64{,}5$.

Vậy các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là: 55 kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

a) Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

+ Vì cỡ mẫu là n = 9, là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 10.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó, Q$_{1}$ = $\frac{1}{2}(2+5)=3{,}5$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó, Q$_{3}$ = $\frac{1}{2}(13+15)=14$.

b) Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

+ Vì cỡ mẫu là n = 10, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(9+10)=9{,}5$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó, Q$_{1}$ = 5.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó, Q$_{3}$ = 15.

Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10.

Điểm 6 có tần số là 2.

Điểm 7 có tần số là 1.

Điểm 8 có tần số là 1.

Điểm 10 có tần số là 2.

Vậy điểm 6 và điểm 10 có tần số lớn nhất, do đó mốt của mẫu số liệu này là 6 và 10.

a) Cỡ mẫu là n = 8.

Số trung bình:

$\overline{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46{,}25$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(41+45)=43$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 29; 41; 41. Do đó, Q$_{1}$ = $\frac{1}{2}(29+41)=35$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 45; 48; 71; 72. Do đó, Q$_{3}$ = $\frac{1}{2}(48+71)=59{,}5$.

Giá trị 41 có tần số lớn nhất (là 2), nên mốt của mẫu là M$_{o}$ = 41.

b) Cỡ mẫu là n = 9.

Số trung bình là:

$\overline{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9}\approx 49{,}9$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 54.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 12; 24; 32. Do đó, Q$_{1}$ = $\frac{1}{2}(12+24)=18$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 66; 78; 78; 93. Do đó, Q$_{3}$ = $\frac{1}{2}(78+78)=78$.

Các giá trị 12 và 78 đều có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là 12 và 78.

a) Bảng số liệu là bảng tần số.

Cỡ mẫu là n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37.

Số trung bình của mẫu là:

$\overline{x}=\frac{6.23+8.25+10.28+6.31+4.33+3.37}{37}\approx 28{,}3$.

Giá trị 28 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là M$_{o}$ = 28.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 28.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28. Do đó Q$_{1}$ = 25.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37. Do đó Q$_{3}$ = 31.

b) Bảng số liệu là bảng tần số tương đối.

Số trung bình là: $\overline{x}=0{,}6.0+0{,}2.2+0{,}1.4+0{,}1.5=1{,}3$.

Tần số tương đối là tỉ số của tần số với cỡ mẫu, do đó, giá trị có tần số tương đối lớn nhất thì có tần số lớn nhất, vậy giá trị 0 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là M$_{o}$ = 0.

Giả sử cỡ mẫu là n = 10, khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,6 . 10 = 6.

Tần số của giá trị 2 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 5 là 0,1 . 10 = 1.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 4; 5.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q$_{1}$ = 0.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 2; 2; 4; 5. Do đó Q$_{3}$ = 2.

Cỡ mẫu là n = 100.

Số trung bình là: $\overline{x}=\frac{10.0+30.1+40.2+20.3}{100}=1{,}7$.

Số lần lấy được 2 bóng đỏ là nhiều nhất (40 lần) nên mốt của mẫu số liệu là M$_{o}$ = 2.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(2+2)=2$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2. Do đó Q$_{1}$ = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3. Do đó Q$_{3}$ = 2.

a) Cỡ mẫu là n = 1 + 3 + 5 + 2 + 1 = 12.

Số trung bình là: $\overline{x}=\frac{1.5+3.6+5.7+2.8+1.35}{12}\approx 9{,}08$.

Số thí sinh là trong thời gian 7 phút là nhiều nhất nên mốt của mẫu là M$_{o}$ = 7.

Sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 35.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(7+7)=7$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; 7. Do đó Q$_{1}$ = 6.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35. Do đó Q$_{3}$ = 7,5.

b) Dựa theo số trung bình, vì 9,08 > 7 nên thời gian thi của các thí sinh năm nay nhiều hơn năm ngoái.

Dựa theo trung vị, thì cả hai năm trung vị đều bằng nhau và bằng 7 nên thời gian của các thí sinh trong hai năm là ngang nhau.

Vì trong mẫu số liệu của năm nay có số liệu 35 lớn hơn so với các số liệu còn lại rất nhiều, do đó ta dùng trung vị để so sánh sẽ phù hợp hơn.

Vậy thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là ngang nhau.

a)

+ Bác Dũng:

Cỡ mẫu là n$_{D}$ = 10.

Số trung bình: $\overline{{x}_{D}}=\frac{2+7+3+6+1+4+1+4+5+1}{10}=3{,}4$.

Giá trị 1 có tần số lớn nhất (là 3) nên mốt của mẫu số liệu này là 1. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2D}$ = $\frac{1}{2}(3+4)=3{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 1; 1; 2; 3. Do đó, Q$_{1D}$ = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 4; 4; 5; 6; 7. Do đó, Q$_{3D}$ = 5.

+ Bác Thu:

Cỡ mẫu là n$_{T}$ = 10.

Số trung bình: $\overline{{x}_{T}}=\frac{1+3+1+2+3+4+1+2+20+2}{10}=3{,}9$.

Giá trị 1 và 2 có tần số lớn nhất (đều bằng 3) nên mốt của mẫu là 1 và 2.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 20.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2T}$ = $\frac{1}{2}(2+2)=2$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 1; 1; 2; 2. Do đó Q$_{1T}$ = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 2; 3; 3; 4; 20. Do đó Q$_{3T}$ = 3.

b) So sánh theo số trung bình, ta có: 3,4 < 3, 9 hay $\overline{{x}_{D}}<\overline{{x}_{T}}$ nên bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn bác Dũng.

c) So sánh theo trung vị.

Trung vị của mẫu số liệu của bác Dũng là tứ phân vị thứ hai và là 3,5.

Trung vị của mẫu số liệu của bác Thu là tứ phân vị thứ hai và là 2.

Mà 3,5 > 2 nên bác Dũng có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn bác Thu.

d) Quan sát thấy ở mẫu số liệu của bác Thu có số liệu 20 lớn hơn nhiều so với các số liệu còn lại trong mẫu nên dùng số trung bình để so sánh không phù hợp.

Vậy ta nên dùng số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc điện thoại hơn mỗi ngày.

+ Trong giai đoạn từ năm 2001 đến năm 2010:

Cỡ mẫu là n$_{1}$ = 10.

Số trung bình:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{139+166+172+196+143+131+168+159+161+133}{10}=156{,}8$

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

131; 133; 139; 143; 159; 161; 166; 168; 172; 196.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên số trung vị là $\frac{1}{2}(159+161)=160$.

+ Trong giai đoạn từ năm 2011 đến năm 2020:

Cỡ mẫu là n$_{2}$ = 10.

Số trung bình: $\overline{{x}_{2}}=\frac{113+148+180+157+151+151+155+148+177+150}{10}=153$

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

113; 148; 148; 150; 151; 151; 155; 157; 177; 180.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên số trung vị là $\frac{1}{2}(151+151)=151$.

+ Nếu dựa theo số trung bình, ta có: 156,8 > 153 nên điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

+ Nếu dựa theo số trung vị, ta có: 160 > 151 nên điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

Vậy dựa vào cả số trung vị và số trung bình, ta thấy rằng ý kiến đã cho đúng.

a) Lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số

Lớp 10A

Lớp 10B

Lớp 10C

b)

+ Lớp 10A:

Cỡ mẫu là: 1 + 4 + 5 + 8 + 14 + 8 = 40.

Số trung bình: $\frac{1.5+4.6+5.7+8.8+14.9+8.10}{40}=8{,}35$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị mẫu là $\frac{1}{2}(9+9)=9$.

Điểm 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là 9.

+ Lớp 10B:

Cỡ mẫu là: 4 + 6 + 10 + 10 + 6 + 4 = 40.

Số trung bình: $\frac{4.5+6.6+10.7+10.8+6.9+4.10}{40}=7{,}5$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị mẫu là $\frac{1}{2}(7+8)=7{,}5$.

Điểm 7 và 8 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là 7 và 8.

+ Lớp 10C:

Cỡ mẫu là: 1 + 3 + 17 + 11 + 6 + 2 = 40.

Số trung bình là: $\frac{1.5+3.6+17.7+11.8+6.9+2.10}{40}=7{,}6$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên ttrung vị mẫu là $\frac{1}{2}(7+7)=7$.

Điểm 7 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là 7.

+ So sánh:

- Theo số trung bình, ta có: 8,35 > 7,6 > 7,5, do đó điểm số của học sinh lớp 10A cao nhất, tiếp đến lớp 10C và cuối cùng là lớp 10B.

- Theo trung vị, ta có: 9 > 7,5 > 7, do đó điểm của học sinh lớp 10A cao nhất, tiếp đến lớp 10B và cuối cùng là lớp 10C.

- Theo mốt, ta có: 9 > 8 > 7, do đó điểm số của học sinh lớp 10A cao nhất, tiếp đến lớp 10B và cuối cùng là lớp 10C.