Bài tập Các số đặc trưng. Đo độ phân tán có đáp án

Bài học này sẽ giới thiệu một vài số đặc trưng như :khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn và phương sai.

Ở đây ta sẽ sử dụng độ lệch chuẩn để so sánh

Điểm trung bình môn học kì I của An là: $\overline{{X}_{1}}=8{,}0$

$\Rightarrow {s}_{1}^{2}=\frac{{(9{,}2-8{,}0)}^{2}+{(8{,}7-8{,}0)}^{2}+...+{(7{,}3-8{,}0)}^{2}+{(6{,}5-8{,}0)}^{2}}{8}=1{,}045$

$\Rightarrow {s}_{1}=\sqrt{{s}_{1}^{2}}=\sqrt{1{,}045}\approx 1{,}02.$

Điểm trung bình môn học kì I của Bình là $\overline{{X}_{2}}=8{,}0$

$\Rightarrow {s}_{2}^{2}=\frac{{(8{,}2-8{,}0)}^{2}+{(8{,}1-8{,}0)}^{2}+...+{(7{,}6-8{,}0)}^{2}+{(8{,}1-8{,}0)}^{2}}{8}=0{,}045$

$\Rightarrow {s}_{2}=\sqrt{{s}_{2}^{2}}=\sqrt{0{,}36}\approx 0{,}21.$

Vì s$_{2}$ < s$_{1}$ nên độ phân tán của số liệu 2 nhỏ hơn độ phân tán của số liệu 1 hay bạn Bình học đều hơn bạn An.

Em đồng ý với nhận định này vì:

Ở mùa giải thứ nhất, thứ ba, thứ tư và thứ năm điểm số của Everton cao hơn của Leicester.

Chỉ ở mùa giải thứ hai điểm số của Leicester City cao hơn của Everton.

Về trực quan, thành tích của Everton ổn định hơn Leicester City.

Chiều cao cao nhất và thấp nhất tương ứng là 172 cm và 159 cm. Do đó khoảng biến thiên là R = 172 – 159 = 13 cm.

Vậy khoảng biến thiên R = 13cm.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất mỗi ngày trong tuần ở Hà Nội là:

Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất ở Hà Nội tương ứng là 35 và 23. Khi đó khoảng biến thiên là: R$_{1}$ = 35 – 23 = 12.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất mỗi ngày trong tuần ở Điện Biên là:

Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất ở Điện Biên tương ứng là 28 và 16. Khi đó khoảng biến thiên là: R$_{2}$ = 28 – 16 = 12.

Vậy R$_{1}$ = R$_{2}$.

b) Về trực quan nhiệt độ tại Điện Biên thay đổi khá ít, riêng một ngày có nhiệt độ thấp hẳn là 16 °C, giá trị 16 này đã ảnh hưởng rất nhiều đến khoảng biến thiên.

c)

∙ Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.

Vì n = 7 là số lẻ nên số trung vị là số chính giữa là Q$_{2}$ = 28.

Ta tìm Q$_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$:

23; 25; 28.

Do đó Q$_{1}$ = 25.

Ta tìm Q$_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$:

32; 33; 35.

Do đó Q$_{3}$ = 33.

Tứ phân vị cho mẫu số liệu này là: Q$_{1}$ = 25; Q$_{2}$ = 28, Q$_{3}$ = 33.

Suy ra Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 33 – 25 = 8.

∙ Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28.

Vì n = 7 là số lẻ nên số trung vị là số chính giữa là Q*'*$_{2}$ = 26.

Ta tìm Q*'$_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q'*$_{2}$:

16; 24; 26.

Do đó Q*'*$_{1}$ = 24.

Ta tìm Q*'$_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q'*$_{2}$:

26; 27; 28.

Do đó Q*'*$_{3}$ = 27.

Tứ phân vị cho mẫu số liệu này là Q*'$_{1}$ = 24; Q'$_{2}$ = 26, Q'*$_{3}$ = 27.

Suy ra Δ'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = 27 – 24 = 3.

Có thể dùng số liệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 7; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 12; 14.

Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên trung vị bằng trung bình cộng hai giá trị chính giữa: Q$_{2}$ = (10 + 10):2 = 10.

Nửa số liệu bên trái là 7; 9; 9; 10; 10 gồm 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là Q$_{1}$ = 9.

Nửa số liệu bên phải là 10; 11; 12; 12; 14 gồm 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là Q$_{3}$ = 12.

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{X}=\frac{0{,}398+0{,}399+0{,}408+0{,}410+0{,}406+0{,}405+0{,}402}{7}=0{,}404.$

Ta có bảng sau:

Mẫu số liệu gồm 7 giá trị nên n = 7.

Do đó phương sai là: ${s}^{2}=\frac{0{,}000122}{7}=0{,}000017.$

Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{0{,}000017}\approx 0{,}0042.$

Đối với số liệu này phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ nên độ phân tán của số liệu thấp.

Do đó phép đo trên khá chính xác.

Ta cố Q$_{1}$ = 56 và Q$_{3}$ = 84. Do đó, khoảng tứ phân vị là:

Δ$_{Q}$ = 84 – 56 = 28.

Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:

Ta có: Q$_{1}$ – 1,5.Δ$_{Q}$ = 56 – 1,5.28 = 14 và : Q$_{3}$ + 1,5.Δ$_{Q}$ = 84 + 1,5.28 = 126

Ta thấy 10 < 14 nên 10 là giá trị bất thường

14 < 100 < 126 nên 100 không là giá trị bất thường.

Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ phân tán nhỏ nên độ lệch chuẩn càng nhỏ. Do đó (1) sai.

Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất , bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại. Do đó (2) đúng.

Khoảng tứ phân vị là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất. Do đó (3) sai.

Về bản chất, khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó (4) sai.

∙ Khẳng định (5): Các số đo độ phân tán là:

Khoảng biến thiên R = Số lớn nhất – Số nhỏ nhất > 0

Trước khi tính khoảng tứ phân vị thì mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm

Þ Q$_{3}$> Q$_{1}$ Þ Δ$_{Q}$= Q$_{3}$− Q$_{1}$> 0

Phương sai: ${s}^{2}=\frac{{({x}_{1}-\overline{x})}^{2}+{({x}_{2}-\overline{x})}^{2}+...+{({x}_{n}-\overline{x})}^{2}}{n}>0$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{{s}^{2}}>0$

Do đó, các số đo độ phân tán đều không âm

Do đó (5) đúng.

a)

Ta có cả hai mẫu số liệu đều có giá trị nhỏ nhất là 3, giá trị lớn nhất là 9.

Do đó cả hai mẫu số liệu có cùng khoảng biến thiên.

Hai biểu đồ này có dạng đối xứng qua điểm 6 nên giá trị trung bình của hai mẫu số liệu A và B bằng nhau và bằng 6.

b) Từ biểu đồ, ta thấy các giá trị của dãy số liệu B tập trung nhiều hơn quanh giá trị trung bình nên mẫu số liệu B có phương sai nhỏ hơn. Vậy mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn.

Lời giải:

a) Gọi các giá trị dương của mẫu số liệu ban đầu theo thứ tự không giảm là:

Ta có n = 10 là số chẵn nên trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

Do đó Q$_{1}$ là số thứ 3 và Q$_{3}$ là số thứ 8.

a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì

+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần nên khoảng biến thiên R tăng 2 lần.

+ Q$_{1}$ và Q$_{3}$ tăng 2 lần nên khoảng tứ phân vị Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ tăng 2 lần.

+ Giá trị trung bình tăng 2 lần.

Nên độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình $|{x}_{i}-\overline{x}|$ cũng tăng 2 lần.

Suy ra ${({x}_{i}-\overline{x})}^{2}$tăng 4 lần.

Khi đó, phương sai tăng 4 lần.

Do đó độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng hai lần các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.

b) Khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì

+ Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị.

Suy ra khoảng biến thiên R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Q$_{1}$ và Q$_{3}$ tăng 2 đơn vị nên khoảng tứ phân vị Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị

Nên độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình $|{x}_{i}-\overline{x}|$ không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

Suy ra ${({x}_{i}-\overline{x})}^{2}$ không đổi

Khi đó, phương sai không đổi.

Do đó độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

a) Vì số các giá trị của số liệu n = 51 là số lẻ nên trung vị của số liệu là giá trị thứ 26.

Nửa bên trái số trung vị gồm 25 số liệu là số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ 13 có giá trị là 36.

Do đó có 51 – 13 = 38 thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36.

Suy ra tỉ lệ các thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là: $\frac{38}{51}\approx 74{,}51\%.$

Vậy tỉ lệ các thành phố có thuế thuốc là lớn hơn 36 khoảng 74,51%.

b)

Có nhiều phương án để lựa chọn trong bài này.

Chẳng hạn ta chọn hai giá trị là Q$_{1}$ và Q$_{3}$, vì khoảng giữa hai giá trị này là khoảng tứ phân vị và khoảng này là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Vậy giữa hai giá trị Q$_{1}$ = 36 và Q$_{3}$ = 100 có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 100 – 36 = 64.

Sắp xếp các giá trị của số liệu trên theo thứ tự từ bé đến lớn là:

2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387; 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236. .

Ta có giá trị lớn nhất là 4,236 kg và giá trị nhỏ nhất là 2,593 kg.

Khi đó khoảng biến thiên là: R = 4,236 – 2,593 = 1,643.

Vì n = 10 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: Q$_{2}$ = (3,387 + 3,412):2 = 3,3995.

Nửa số liệu bên trái gồm 5 số liệu là một số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là: Q$_{1}$ = 3,155.

Nửa số liệu bên phải gồm 5 số liệu là một số lẻ nên tứ phân vị thứ ba là: Q$_{3}$ = 3,920.

Khoảng tứ phân vị là: ${Δ}_{Q}={Q}_{3}-{Q}_{1}=3{,}920-3{,}155=0{,}765.$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{X}=\frac{2{,}593+2{,}977+3{,}155+3{,}270+3{,}387+3{,}412+3{,}813+3{,}920+4{,}042+4{,}236}{10}\ =3{,}4805$.

$\Rightarrow {s}^{2}=\frac{{(2{,}593-3{,}4805)}^{2}+{(2{,}977-3{,}4805)}^{2}+...+{(4{,}042-3{,}4805)}^{2}+{(4{,}236-3{,}4805)}^{2}}{10}$

$\approx 0{,}24$

$\Rightarrow s=\sqrt{{s}^{2}}\approx 0{,}49.$

Vậy khoảng biến thiên R = 1,643, khoảng tứ phân vị ${Δ}_{Q}=0{,}765;$ độ lệch chuẩn $s\approx 0{,}49.$

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0; 6,7; 7,0; 7,2; 7,7; 7,8; 8,4; 8,6; 8,7.

Vì n = 15 là số lẻ nên số trung vị là giá trị chính giữa Q$_{2}$ = 6,7.

Nửa số liệu bên trái có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ nhất là Q$_{1}$ = 4,5.

Nửa số liệu bên phải có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ ba là Q$_{3}$ = 7,8.

Khoảng tứ phân vị là: ${Δ}_{Q}={Q}_{3}-{Q}_{1}=7{,}8-4{,}5=3{,}3$.

Ta có: Q$_{1}$ – 1,5Δ$_{Q}$ = 4,5 – 4,95 = -0,45 và Q$_{3}$ + 1,5Δ$_{Q}$ = 7,8 + 4,95 = 12,75 nên trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.

Vậy mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.