Bài tập các khái niệm mở đầu có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta sẽ sử dụng vectơ để biểu diễn các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió.

Trong đó hướng của vectơ là hướng gió, độ dài vectơ là độ lớn của vận tốc gió.

Ta có hình vẽ sau:

Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 90$^{0}$ nên $\widehat{AHB}={90}^{0}$

Xét $ΔAHB$ vuông ở H, ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$ (định lí Py – ta – go)

AB$^{2}$ = 10$^{2}$ + 10$^{2}$ = 100 + 100 = 200

$\Leftrightarrow AB=10\sqrt{2}(km)$

$ΔAHB$ vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên $ΔAHB$ cân tại H

$\Rightarrow \widehat{HAB}={45}^{0}$

Tia Ax là hướng nam nên $\text{Ax}\perp AH\Rightarrow \widehat{HAx}={90}^{0}$

$\Rightarrow \widehat{HAx}={90}^{0}-\widehat{HAB}={45}^{0}$

Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam và đi quãng đường dài $10\sqrt{2}$ km.

Quan sát hình vẽ, ta có nhận xét sau:

Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó phát biểu a) đúng.

Có ba xe hướng từ trên xuống dưới, còn hai xe hướng từ dưới lên trên. Do đó phát biểu b) sai.

Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng hoặc chạy ngược hướng nhau. Do đó phát biểu c) đúng.

Theo quan sát hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ ta thấy hai vecto cùng hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và cùng hướng lên trên.

Do đó các vecto cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{y}$.

Theo quan sát hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}$ ta thấy hai vecto ngược hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và vecto $\overrightarrow{a}$ hướng lên trên còn vecto $\overrightarrow{x}$ lại hướng xuống dưới.

Do đó các vecto ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ .

- Cặp vectơ và :

+ Độ dài: cùng độ dài vì $|\overrightarrow{AD}|=AD;|\overrightarrow{BC}|=BC$ mà AD = BC (tính chất hình thang cân);

+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;

+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

- Cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$ :

+ Độ dài: không cùng độ dài do mà AB < CD;

+ Phương: cùng phương do hai vectơ có giá song song với nhau;

+ Hướng: ngược hướng.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.

- Cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$ :

+ Độ dài: cùng độ dài do $|\overrightarrow{AC}|=AC;|\overrightarrow{BD}|=BD$ mà AC = BD (tính chất hình thang cân);

+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;

+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Nếu hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng thì hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương

Do đó ba điểm M, A, B thẳng hàng.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B.

Suy ra điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là và ngược hướng.

a) Ta có vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h nên độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v}$ là 3 km/h.

Do ca nô A chạy xuôi dòng nên vận tốc thực tế của ca nô A bằng 15 + 3 = 18 km/h hay độ lớn của vectơ ${\overrightarrow{v}}_{a}$là 18 km/h.

Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế của ca nô B bằng 15 – 3 = 12 km/h hay độ lớn của vectơ ${\overrightarrow{v}}_{b}$là 12 km/h.

Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài giữa các vectơ là $|\overrightarrow{v}|\ :\ |\overrightarrow{{v}_{a}}|\ :\ |\overrightarrow{{v}_{b}}|$= 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.

Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, khi đó ca nô A chạy xuôi dòng từ trái qua phải và ca nô B chạy ngược dòng từ phải qua trái. Ta có sơ đồ như sau:

b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$và ${\overrightarrow{v}}_{a}$ cùng phương và cùng hướng, do ca nô B chạy ngược dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overset{⇀}{{v}_{b}}$ cùng phương và ngược hướng.

Vậy trong các vectơ có:

Các cặp vecto cùng phương là: $\overrightarrow{{v}_{a}}$ và $\overrightarrow{{v}_{b}};\overrightarrow{{v}_{a}}và\overrightarrow{v};\overrightarrow{v}và\overrightarrow{{v}_{b}}$.

Các cặp vecto ngược hướng là: $\overrightarrow{{v}_{a}}và\overrightarrow{{v}_{b}};\overrightarrow{v}và\overrightarrow{{v}_{b}}$.

Mọi vecto đều cùng phương cùng hướng với vecto $\overrightarrow{0}$. Do đó a) đúng.

Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì hoặc $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ hoặc $\overrightarrow{b}$ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$. Do đó b) sai.

Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng $\overrightarrow{c}$:

Suy ra $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. Suy ra c) đúng.

Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$:

Theo quan sát hình vẽ, ta thấy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với nhau. Do đó d) đúng

Quan sát hình vẽ, ta thấy các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có giá song song với nhau nên các vec tơ cùng phương với nhau là: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

Các cặp vecto ngược hướng: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ .

+ Độ dài của vectơ $\overset{⇀}{a}$ là:$\sqrt{{(-2)}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$ ;

Độ dài của vectơ $\overset{⇀}{b}$ là $\sqrt{{(-1)}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$ ;

Độ dài của vectơ $\overset{⇀}{c}$ là $\sqrt{{2}^{2}+{(-4)}^{2}}=2\sqrt{5}$ ;

Độ dài của vectơ $\overset{⇀}{d}$ là $\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$ .

Do đó các vectơ có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).

Suy ra $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy cặp vectơ bằng nhau là $\overset{⇀}{a}$ và $\overset{⇀}{c}$ .

+) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành:

Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành) $\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

+ Giả sử tứ giác ABCD có $\overset{⇀}{BC}$ = $\overset{⇀}{AD}$ suy ra $\overset{⇀}{BC}và\overset{⇀}{AD}$ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.

Þ BC = AD (1) và AD, BC song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng, điều này không xảy ra vì ABCD là tứ giác. Vậy AD // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Các vecto khác , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:

$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CO},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$

Khi đó:

$S=\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CO},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}\}$

Hai vecto bằng nhau trong tập hợp S là:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC};\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC};\ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD};\ \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB};\ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO};\ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC};\ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{\text{​}BO};\ \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB};$

Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:

Nhóm 1: $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\};$

Nhóm 2: $\{\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\};$

Nhóm 3: $\{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}\};$

Nhóm 4: $\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB}\};$

Nhóm 5: $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{CO}\};$

Nhóm 6: $\{\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC}\};$

Nhóm 7: $\{\overrightarrow{OD},\overrightarrow{\text{​}BO}\};$

Nhóm 8: $\{\overrightarrow{DO},\overrightarrow{OB}\}.$

a) Dựng các điểm B(0; 2) và K(0; 5).

Khi đó OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = 3.

Suy ra hai tam giác OAB và MNK là các tam giác vuông đồng dạng.

Do đó $\widehat{BOA}=\widehat{KMN}$ .

Suy ra OA // MN và $\frac{MN}{OA}=\frac{KN}{BA}=\frac{MK}{OB}=3$ .

Như vậy, hai vectơ $\overrightarrow{OA}và\overset{⇀}{MN}$ là hai vectơ cùng hướng và vectơ $\overset{⇀}{MN}$ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ .

b) Vì $\overrightarrow{OA}và\overset{⇀}{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên khi vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$ thì vật thể đó sẽ đi qua điểm N.

Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng $|\overrightarrow{OA}|và|\overrightarrow{MN}|=3|\overrightarrow{OA}|$.

Vậy nếu coi độ lớn của OA là một đơn vị giờ thì sau khi khởi hành 3 giờ vật sẽ tới N.