Bài tập Các bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Trữ lượng gỗ sau 1 năm của khu rừng là:

${6.10^5} + {6.10^5}.\frac{{\rm{a}}}{{100}} = {6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)$

Trữ lượng gỗ sau 2 năm của khu rừng là:

${6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right) + {6.10^5}\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right).\frac{{\rm{a}}}{{100}} = = {6.10^5}{\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)^2}$

Trữ lượng gỗ sau 4 năm của khu rừng là:

${6.10^5}{\left( {1 + \frac{{\rm{a}}}{{100}}} \right)^4} = 6,{988.10^5}$

Từ đó tìm được a xấp xỉ 4.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là số tiền gửi ban đầu, sau n năm (n ∈ ℕ) số tiền thu được là:

A$_{n}$ = A(1 + 0,092)$^{n}$ = A(1,092)$^{n}$.

Từ đó theo đề bài ta có:

10 . (1,092)$^{n}$ = 45 ⇔ ${\left( {1{,}092} \right)^{\rm{n}}} = 4{,}5$ ⇔ n = log$_{1{,}092}$ 4,5 ≈ 17 (năm)

Đáp án đúng là: B

Do ban đầu có một tế bào nên ta có:

Sau phút sao chép thứ t số tế bào là:

2$^{t}$ = 200000

⇔ t = log$_{2}$200000

⇔ t ≈ 17,61 (phút).

Đáp án đúng là: A

Từ năm 2000 đến năm 2016 là 16 năm, trong đó 8 năm đầu chỉ số tăng m% và 8 năm sau chỉ số tăng n%.

Khi đó thể tích khí CO$_{2}$ năm 2016 là:

${{\rm{V}}_{2016}} = {\rm{V}}{\left( {1 + \frac{{\rm{m}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^8}{\left( {1 + \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^8} = \frac{{{\rm{V}}{{\left( {100 + {\rm{m}}} \right)}^8}{{\left( {100 + {\rm{n}}} \right)}^8}}}{{{{10}^{32}}}}$.

Đáp án đúng là: B

Giá xăng năm 2018 là: 20000 . (1 + 0,04).

Giá xăng năm 2019 là: 20000 . (1 + 0,04)$^{2}$.

Giá xăng năm 2023 là:

20000 . (1 + 0,04)$^{6}$ ≈ 25000 (đồng).

Đáp án đúng là: C

Nếu ban đầu khu rừng có A mét khối gỗ và tốc độ sinh trưởng là r% thì sau n năm khu rừng sẽ có ${\rm{A}}{\left( {1 + \frac{{\rm{r}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^{\rm{n}}}$ mét khối gỗ.

Vậy sau 7 năm khu rừng có:

${5.10^5}{\left( {1 + \frac{8}{{{\rm{100}}}}} \right)^7} = {5.10^5}.{\left( {1{,}08} \right)^7}$ (m$^{3}$)

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có L = 58 dB, I$_{0}$ = 10$^{-12}$ w/m$^{2}$.

Áp dụng công thức ${\rm{L}} = 10\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_{\rm{0}}}}}$ ta có:

$58 = 10\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}}$ ⇔ $\log \frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = 5{,}8$ ⇔ $\frac{{\rm{I}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = {10^{5{,}8}}$ ⇔ I = 10$^{5{,}8}$ . 10$^{-12}$ ≈ 6,3 . 10$^{-7}$ w/m$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Vào ngày 1 tháng 4 năm 2040 dân số của Việt Nam là:

90728900 . (1 + 0,0104)$^{26}$ = 118733268 (người).

Đáp án đúng là: A

Gọi A là số tiền mà ông Nghĩa đã đầu tư.

Ta có A(1 + r)$^{5}$ = 20000000.

⇒ ${\rm{A}} = \frac{{20000000}}{{{{(1 + 0{,}06)}^5}}} = 14945163{,}46$ (đồng).

Đáp án đúng là: B

Với T = 2000 năm và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn $\frac{1}{5}$ khối lượng chất phóng xạ ban đầu, ta có:

${\rm{m(t)}} = {{\rm{m}}_{\rm{0}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}{{\rm{m}}_{\rm{0}}}$

⇔ ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}$

⇔ $\frac{{\rm{t}}}{{{\rm{2000}}}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right)$

⇔ ${\rm{t}} > 2000.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 4643{,}85619$

Vậy cần ít nhất 4644 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn $\frac{1}{5}$ khối lượng chất phóng xạ ban đầu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có bất phương trình: 100 ∙ (1,06)$^{n}$ > 150

⇔ 1,06$^{n}$ > 1,5

⇔ n > ${\log _{1{,}06}}(1{,}5)$ ≈ 6,958.

Vì n là số nguyên nên ông A cần gửi ít nhất 7 năm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thay p = 25 vào công thức: $\ln \left( {\frac{{25}}{{100}}} \right) = - \frac{h}{7}$

⇔ ln(0,25) = $- \frac{h}{7}$

⇔ h = –7 ∙ ln(0,25) = 7 ∙ ln(4) ≈ 9,704 km.

Làm tròn đến hai chữ số thập phân ta được 9,70 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cần giải phương trình: 150(1,2)$^{t}$ = 300

⇔ 1,2$^{t}$ = 2 ⇔ t = ${\log _{1{,}2}}\left( 2 \right)$ ≈ 3,801.

Làm tròn đến một chữ số thập phân ta được 3,8 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi A$_{1}$ và A$_{2}$ lần lượt là biên độ rung chấn của trận động đất 6,5 độ Richter và 4,5 độ Richter.

Ta có:

$\log \left( {\frac{A}{{{A_0}}}} \right)$= 6,5 suy ra $\frac{{{A_1}}}{{{A_0}}}$ = 10$^{6{,}5}$ hay A$_{1}$ = 10$^{6{,}5}$ ∙ A$_{0}$

$\log \left( {\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}}} \right)$= 4,5 suy ra $\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}}$ = 10$^{4{,}5}$ hay A$_{2}$ = 10$^{4{,}5}$ ∙ A$_{0}$

Lập tỉ số: $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}$ = $\frac{{{{10}^{6{,}5}} \cdot {A_0}}}{{{{10}^{4{,}5}} \cdot {A_0}}} = {10^{6{,}5 - 4{,}5}} = {10^2} = 100$.

Vậy trận động đất 6,5 độ Richter có biên độ lớn gấp 100 lần trận 4,5 độ Richter.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có P$_{0}$ = 2, P(5) = 2,1.

Phương trình: 2 ∙ e$^{5r}$ = 2,1

⇔ e$^{5r}$ = 1,05 ⇔ 5r = ln(1,05) ≈ 0,04879.

Từ đó: r = $\frac{{0{,}04879}}{5}$ ≈ 0,009758 = 0,98%.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. –log[H+] = 7 ⇒ [H+] = 10$^{-7}$.

b) Sai. Nồng độ tăng 100 lần ⇒ pH mới là -log(100[H+]) = –2 – log[H+] = pH – 2. Độ pH giảm đi 2 đơn vị.

c) Đúng. – log[H+] < 5 ⇒ log[H+] > – 5, do đó [H+] > 10$^{-5}$.

d) Sai. Giảm nồng độ [H+] làm cho log[H+] nhỏ hơn, dẫn đến -log[H+] lớn hơn, nên độ pH phải tăng lên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Thay t = 0 vào ta được C(0) = 50(0,5)$^{0}$ = 50.

b) Sai. Để nồng độ giảm một nửa (còn 25 mg/L): 50(0,5)$^{t}$ = 25 ⇒ (0,5)$^{t}$ = 0,5 nên t = 1. Chu kì bán thải là 1 giờ.

c) Đúng. Thay t = 3 : C(3) = 50(0,5)$^{3}$ = 50 ∙ 0,125 = 6,25.

d) Sai. Giải bất phương trình 50(0,5)$^{t}$ ≤ 3,125 ⇒ (0,5)$^{t}$ ≤ $\frac{1}{{16}}$ ⇔ t ≥ 4.

Vậy chỉ cần chờ ít nhất 4 giờ đồng hồ để nồng độ thuốc trong máu giảm xuống mức an toàn dưới 3,125 mg/L.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. L = 10 ∙ log(1) = 0.

b) Đúng. 90 = 10 ∙ $\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right)$ ⇒ $\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right)$ = 9 hay I = 10$^{9}$ ∙ I$_{0}$.

c) Sai. L$_{1}$ – L$_{2}$ = 10 ∙ $\log \left( {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)$ = 20 ⇒ $\log \left( {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)$ = 2, vậy tỉ lệ chênh lệch $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ = 10$^{2}$ = 100 lần.

d) Sai. 100 dB ứng với I = 10$^{10}$ ∙ I$_{0}$; 50 dB ứng với I = 10$^{5}$∙ I$_{0}$. Cường độ âm đã giảm đi 10$^{5}$ lần (100000 lần) chứ không phải một nửa.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Thay t = 5730 vào công thức, ta được:

m(5730) = m$_{0}$ ⋅ ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{5730}}{{5730}}}}$ = m$_{0}$ ⋅ ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^1}$ = $\frac{{{m_0}}}{2}$

Vậy sau 5730 năm, lượng Carbon-14 còn lại bằng 50% lượng ban đầu. Do đó, chu kì bán rã của Carbon-14 là 5730 năm.

b) Đúng. Cơ số của hàm số mũ là $\frac{1}{2}$ < 1 nên đây là hàm nghịch biến.

c) Đúng. 12,5% = $\frac{1}{8}$. Giải phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}}$ = $\frac{1}{8}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$ ⇒ t = 3 ∙ 5730 = 17190.

d) Sai. Carbon-14 không bao giờ phân rã xuống mức tuyệt đối 0% trong mô hình hàm mũ cơ bản (tiệm cận).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. t = 0 ⇒ Q(0) = 10 + 30 ∙ log$_{2}$(1) = 10.

b) Đúng. t = 1 ⇒ Q(1) = 10 + 30 ∙ log$_{2}$(2) = 10 + 30 = 40.

c) Sai. Giải 10 + 30 ∙ log$_{2}$(t + 1) = 70 ⇒ 30 ∙ log$_{2}$(t + 1) = 60 hay log$_{2}$(t + 1) = 2 ⇒ t +1 = 4 ⇒ t = 3 (tháng).

Vậy cần 3 tháng để đạt năng suất 70 sản phẩm.

d) Sai. 10 + 30 ∙ log$_{2}$(t+1) = 100 ⇒ log$_{2}$ (t +1) = 3 ⇒ t = 7. Sau 7 tháng sẽ đạt mức 100 sản phẩm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có phương trình: e$^{-0{,}4x}$= 0,1 $\Leftrightarrow$ -0,4x = ln(0,1) $\Leftrightarrow$ x = $\frac{{\ln (0{,}1)}}{{ - 0{,}4}}$ ≈ 5,756.

Làm tròn đến phần nguyên ta được 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Cần giải phương trình: 20 + 80(0,5)$^{t}$ = 30

⇔ 80(0,5)$^{t}$ = 10 ⇔ (0,5)$^{t}$ = $\frac{1}{8}$

Vì $\frac{1}{8}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$ ⇒ t = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Ta có phương trình: 500 ∙ ${3^{\frac{t}{2}}}$= 40500

⇔ ${3^{\frac{t}{2}}}$ = 81

Do 81 = 3$^{4}$ nên $\frac{t}{2}$ = 4 ⇒ t = 8 (ngày).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10,8

Thay P = 6000, P$_{0}$ = 9000, t = 2 vào công thức đã cho, ta được:

6000 = 9000⋅10$^{–2α}$⇔ 10$^{–2α}$ = $\frac{{6000}}{{9000}}$ ⇔ 10$^{–2α}$ = $\frac{2}{3}$

Lấy lôgarit thập phân hai vế, ta có:

–2α = log$\frac{2}{3}$ ⇔ α = $- \frac{1}{2}$log$\frac{2}{3}$ ⇔ α = $\frac{1}{2}$log$\frac{3}{2}$

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000

⇒ 9000⋅10$^{–αt}$ ≤ 1000 ⇔ 10$^{–αt}$ ≤ $\frac{{1000}}{{9000}}$ ⇔ 10$^{–αt}$ ≤ $\frac{1}{9}$ ⇔ –αt ≤ log$\frac{1}{9}$ ⇔ t ≥ $- \frac{1}{\alpha }$ log$\frac{1}{9}$ (*)

Thay α = $\frac{1}{2}$log$\frac{3}{2}$ vào bất phương trình (*):

t ≥ $- \frac{1}{{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}}$ log$\frac{1}{9}$ ⇔ t ≥ $- \frac{2}{{\log \frac{3}{2}}}$ log$\frac{1}{9}$

Mà log$\frac{1}{9}$ = –2log3 nên t ≥ $- \frac{2}{{\log \frac{3}{2}}}$(–2log3) ⇔ t ≥ $\frac{{4\log 3}}{{\log \frac{3}{2}}}$ ≈ 10,8 (giờ)

Vậy sau 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2039

Thay A = 8,4; r = 1,04% = 0,0104 vào công thức (1), ta được:

S = 8,4 ⋅ e$^{0{,}0104t}$(triệu người)

Dân số của Hà Nội vượt quá 10 triệu người

⇔ 8,4 ⋅ e$^{0{,}0104t}$ > 10 ⇔ e$^{0{,}0104t}$> $\frac{{10}}{{8{,}4}}$

Lấy ln hai vế, ta có:

0,0104t > ln$\left( {\frac{{10}}{{8{,}4}}} \right)$ ⇔ 0,0104t > ln10 – ln8,4

⇔ t > $\frac{{\ln 10 - \ln 8{,}4}}{{0{,}0104}}$ ≈ 16,764 ≈ 17 (năm)

Vì t được tính theo số năm kể từ năm 2022, nên năm đầu tiên dân số Hà Nội vượt quá 10 triệu người là sau khoảng 17 năm kể từ năm 2022, tức là: 2022 + 17 = 2039

Vậy từ năm 2039 dân số Hà Nội được dự đoán sẽ vượt quá 10 triệu người.