Bài tập Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy các góc lượng giác (OA, OM) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và

+ quay theo chiều dương một góc $\frac{5π}{4}$ và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM) = $\frac{5π}{4}$ + k2π, k ∈ ℤ.

+ hoặc quay theo chiều âm một góc $-\frac{3π}{4}$ và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM) = $-\frac{3π}{4}$ + k2π, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khẳng định C, D đúng vì đây là các tính chất thừa nhận.

Khẳng định A đúng: ta có hình vẽ dưới đây

Khẳng định B sai vì góc α và góc – α đối xứng qua trục hoành như hình vẽ dưới đây:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{9π}{4}=\frac{π}{4}+2π.$

Do đó điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{9π}{4}$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{π}{4}.$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{9π}{4}$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ và là điểm M trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $30^{\circ}=\frac{π}{6}$ (rad).

Giả sử P là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OP) = $-\frac{7π}{6}.$

Như vậy (OA, OP) $=-\frac{7π}{6}=-π-\frac{π}{6}$ là góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{7π}{6}.$

Vậy điểm P trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OP) = $-\frac{7π}{6}.$ được biểu diễn trùng với điểm M trên hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $45^{\circ}=\frac{π}{4}$ (rad).

· Mệnh đề A đúng vì:

Góc lượng giác (OA, OC) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OC và khi quay theo chiều âm một góc $-(π+\frac{π}{4})=-\frac{5π}{4}$ nên ta nói điểm C biểu diễn cho góc $-\frac{5π}{4}$.

· Mệnh đề B sai vì:

Góc lượng giác (OA, OD) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OD và khi quay theo chiều âm một góc $-(2π-\frac{π}{4})=-\frac{7π}{4}$ nên ta nói điểm D biểu diễn cho góc $-\frac{7π}{4}.$

· Mệnh đề C sai vì:

Góc lượng giác (OA, OF) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OF và khi quay theo chiều dương một góc $(π+\frac{π}{4})=\frac{5π}{4}$ nên ta nói điểm F biểu diễn cho góc $\frac{5π}{4}.$

· Mệnh đề D sai vì:

Góc lượng giác (OA, OE) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OE và khi quay theo chiều dương một góc $(2π-\frac{π}{4})=\frac{7π}{4}$ nên ta nói điểm E biểu diễn cho góc $\frac{7π}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có (OA, OM) = – 135° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều âm (cùng chiều quay của kim đồng hồ) một góc 135°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = – 135° được biểu diễn như hình dưới đây:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có một góc lượng giác (OA, OM) = $\frac{π}{3}$ và cứ thêm một góc có số đo là π thì góc đó có điểm cuối lại quẹt đến điểm N và điểm M (do M, N đối xứng với nhau qua tâm O).

Vậy hai điểm M, N biểu diễn các góc lượng giác có số đo là $\frac{π}{3}+kπ,\ k\in ℤ.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì M$_{1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox với góc lượng giác (OA, OM) = $\frac{π}{3}$ nên góc lượng giác (OA, OM$_{1}$) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM$_{1}$ và

+ quay theo chiều dương một góc bằng $(2π-\frac{π}{3})=\frac{5π}{3}$ và chỉ có duy nhất một điểm M$_{1}$ trên đường tròn lượng giác (do M$_{1}$ đối xứng với M qua Ox) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM$_{1}$) = $\frac{5π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

+ quay theo chiều âm một góc $-\frac{π}{3}$ và chỉ có duy nhất một điểm M$_{1}$ trên đường tròn lượng giác (do M$_{1}$ đối xứng với M qua Ox) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM$_{1}$) = $-\frac{π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm M nằm trên đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}$, k ∈ ℤ nên ta có 3 điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo này:

· Với k = 0, ${x_1} = \frac{\pi }{6},$ được biểu diễn bởi điểm M$_{1}$ ở hình vẽ bên dưới.

· Với k = 1, ${x_2} = \frac{{5\pi }}{6},$ được biểu diễn bởi điểm M$_{2}$ ở hình vẽ bên dưới.

· Với k = 2, ${x_3} = \frac{{3\pi }}{2},$ được biểu diễn bởi điểm M$_{3}$ ở hình vẽ bên dưới.

(Với các giá trị k khác, các điểm biểu diễn lần lượt trùng với các điểm M$_{1}$, M$_{2}$, M$_{3}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\widehat {AOB} = 90^\circ \Leftrightarrow \widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {MOB} = 90^\circ - \widehat {AOM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .$

Vì OM = ON (vì cùng bằng bán kính) nên tam giác MON cân tại O.

Mà OB là đường cao nên OB cũng là đường phân giác của $\widehat {NOM}.$

Suy ra $\widehat {NOM} = 2\widehat {MOB} = 60^\circ .$

Do đó $\widehat {AON} = \widehat {AOM} + \widehat {MON} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .$

Ta có các góc lượng giác (OA, ON) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON khi quay theo chiều dương một góc bằng $\widehat {AON} = 120^\circ .$ Vì chỉ có duy nhất một điểm N trên đường tròn lượng giác (do điểm N là điểm đối xứng với M qua trục Oy) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, ON) = 120° + k360°, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: A

Điểm M' biểu diễn góc lượng giác $- \frac{\pi }{3}$.

Đáp án đúng là: C

Điểm biểu diễn góc −120° nằm ở góc phần tư thứ III.

Đáp án đúng là: B

Có 2 điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho họ các góc lượng giác có số đo $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ là M và M' (như hình).

Đáp án đúng là: C

Các điểm biểu diễn họ các nghiệm $x = k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ là 4 điểm A, B, A', B' như hình.

4 điểm này tạo thành một hình vuông ABA'B'.

Đáp án đúng là: C

Có điểm B và B' biểu diễn họ góc $y = \frac{\pi }{2} + k\pi$ trên đường tròn lượng giác như hình vẽ

Để họ góc $x = \alpha + k\frac{{2\pi }}{3}$ có điểm trùng với họ y thì góc xuất phát α phải có điểm mút trùng vào 1 trong hai vị trí B hoặc B' khi chọn giá trị nguyên phù hợp.

Với $\alpha = \frac{\pi }{2}$ ứng với k = 0 ta có ngay điểm đầu tiên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Dựa vào định nghĩa.

b) Đúng. Quy ước cố định điểm khởi đầu A(1; 0) nằm trên trục hoành làm gốc.

c) Sai. Họ góc $x = \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ chỉ có duy nhất 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

d) Sai. Các góc lượng giác sai khác nhau bội nguyên của 2π hoặc 360° đều có chung một điểm biểu diễn duy nhất trên đường tròn lượng giác.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có 405° = 45° + 360°.

Vì hai góc này sai khác nhau đúng 1 vòng quay nên hai góc này có cùng điểm biểu diễn.

b) Đúng. Có −180° < −135° < −90° nên góc α$_{2}$ = −135° nằm ở góc phần tư thứ III.

c) Đúng. Có ${\alpha _3} = \frac{{17\pi }}{4} = \frac{{17\pi }}{4} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ } = 765^\circ = 45^\circ + 2 \cdot 360^\circ$ nên góc này trùng điểm biểu diễn với góc α$_{1}$.

d) Đúng. Tia đầu và tia cuối của góc α$_{2}$ tạo với nhau một góc hình học bằng 135°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Họ này được biểu diễn bởi 3 điểm M, N, B như hình vẽ

b) Sai. Với k = 1 thì $x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2}$. Góc này không thuộc góc phần tư thứ III.

c) Đúng. Điểm biểu diễn họ nghiệm này là tam giác BMN có BM = BN = MN nên tam giá BMN đều.

d) Đúng. Với k = 0 thì $x = - \frac{\pi }{6}$. Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là điểm M.

Điểm đối xứng với M qua gốc O là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{{5\pi }}{6}$ không thuộc điểm biểu diễn của họ nghiệm này.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Họ lượng giác $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ có hai điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là M và N.

Họ lương giác $y = - \frac{\pi }{4} + n\pi$ có hai điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là P và Q.

b) Đúng. Tất cả các điểm biểu diễn của cả hai họ góc x và y tạo thành 4 đỉnh của hình vuông MQNP.

c) Đúng. Điểm biểu diễn nào của họ góc x không trùng với điểm biểu diễn của họ góc y.

d) Đúng. Do tính chất đối xứng của các góc ±45° và ±135° qua trục hoành và trục tung, nên 4 điểm biểu diễn này nhận các trục Ox, Oy làm các trục đối xứng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

4 điểm biểu diễn họ nghiệm x là M, N, P, Q.

6 điểm biểu diễn họ nghiệm y là M, B, C, P, B', D.

b) Sai. Có 2 điểm biểu diễn của hai họ nghiệm này trùng nhau là M và P.

c) Sai. Không có biểu thức gộp nghiệm tổng hợp của hai họ này.

d) Đúng. Tổng số điểm biểu diễn phân biệt trên đường tròn lượng giác khi kết hợp lại là 8.

Đáp án: 6

Có 6 điểm biểu diễn họ góc lượng giác $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ trên đường tròn lượng giác.

Đáp án: 1,37

Ta có x$_{0}$ = OMcos60° = $\frac{1}{2}$; ${y_0} = OM \cdot \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra ${x_0} + {y_0} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 1{,}37$.

Đáp án: 2

Họ góc lượng giác $x = \frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, A', B' trên đường tròn lượng giác.

Họ góc lượng giác $y = k\frac{\pi }{3}$ được biểu diễn bởi 6 điểm A, M, N, A', P, Q trên đường tròn lượng giác.

Vậy hai họ nghiệm này có 2 điểm trùng nhau hoàn toàn.

Đáp án: 6

Họ góc lượng giác $x = \frac{{k\pi }}{4}$ có tổng cộng 8 điểm biểu diễn tương ứng với k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Vì k là số nguyên không chia hết cho 4 nên loại hai vị trí ứng với k = 0 và k = 4.

Do đó có 6 điểm thỏa mãn yêu cầu của bài.

Đáp án: 60

Họ góc $x = - \frac{{2\pi }}{3} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ tương ứng với các điểm biểu diễn cách nhau một góc 90°.

Có $- \frac{{2\pi }}{3} = - 120^\circ$.

Các điểm biểu diễn của họ góc này lần lượt tương ứng các góc dương nhỏ nhất trong khoảng [0°; 360°).

Với k = 0, x = −120° ≡ 240°.

Với k = 1, x = −30° ≡ 330°.

Với k = 2, x = 60°.

Với k = 3, x = 150°.

Trong 4 điểm biểu diễn này, số đo góc lượng giác dương nhỏ nhất có giá trị 60°.