Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con nên ta có:

625 000 = s(0).2$^{3}$ Þ s(0) = 78125 (con vi khuẩn).

Tại thời điểm t số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con nên ta có:

$s(t)=s(0){.2}^{t}\Leftrightarrow {2}^{t}=\frac{s(t)}{s(0)}\Leftrightarrow {2}^{t}=\frac{10\ 000\ 000}{78\ 125}\Leftrightarrow {2}^{t}=128\Leftrightarrow t=7$.

Vậy sau 7 phút kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con.

Đáp án đúng là: A

Nhận xét: đây là bài toán lãi kép với chu kỳ là một tháng.

Áp dụng công thức: S = A . (1 + r)$^{n}$ với A = 50 triệu đồng, r% = 0,79% và n = 24 tháng.

Ta có:

S = 50 . (1 + 0,0079)$^{24}$ » 60,393 (triệu đồng) = 60 393 000 đồng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $n={\log }_{1{,}0058}(\frac{1300000}{1000000})\approx 45{,}3662737$(tháng).

Để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1 300 000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức: Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là ${S}_{kn}=Ak\frac{{(1+r)}^{k}-1}{r}$.

${S}_{36}={3.10}^{6}.12.\frac{{(1{,}07)}^{12}-1}{0{,}07}\approx 643984245{,}8\approx 644\ 000\ 000$ (đồng)

Vậy sau 36 năm người đó lĩnh được tất cả số tiền là 644 triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức lãi kép ta được:

$r\%=\sqrt[8]{\frac{61329000}{58000000}}-1\approx 0{,}7\%$

Vậy lãi suất hàng tháng là 0,7%.

Đáp án đúng là: A

Sau 6 tháng, tức là t = 6.

Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là

M(6) = 75 – 20ln(6 + 1) = 75 – 20ln7 ≈ 36,08%.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức lãi kép, theo giả thiết ta có:

$\begin{matrix}20000000=15000000.{(1+\frac{1{,}65}{100})}^{n} \\ \Leftrightarrow n={\log }_{1+\frac{1{,}65}{100}}(\frac{20000000}{15000000})\approx 17{,}58\end{matrix}$

Vậy sau ít nhất 18 quý tức 4 năm 2 quý thì người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $A=P.{(1-\frac{r}{100})}^{n}$ ta có:

$A=100.{(1-\frac{8}{100})}^{2}=84{,}64$ (triệu đồng)

Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm với tỉ lệ lạm phát là 8% một năm chỉ còn lại 84,64 triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Thay P = 100 triệu đồng, A = 90 triệu đồng, n = 2 vào công thức $A=P.{(1-\frac{r}{100})}^{n}$ ta có:

$90=100.{(1-\frac{r}{100})}^{2}\Rightarrow r\approx 5{,}13.$

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là khoảng 5,13%.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử ông An đã gửi tiết kiệm trong n năm.

Số tiền ông đã nhận được là 880 triệu.

Theo công thức lãi suất kép, ta có:

880.10$^{6}$ = 500.10$^{6}$ (1 + 0,1)$^{n}$ $\Leftrightarrow$ n = ${\log _{1{,}1}}\frac{{880}}{{500}}$ $\Leftrightarrow$ n $\approx$ 5,93.

Vậy ông A đã gửi tiết kiệm trong 6 năm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Lấy năm 2023 làm mốc, khi đó A = 1282000. Giả sử sau n năm thì dân số thành phố Cần Thơ đạt là 1,5 triệu người tức là 1500000 = 1282000×e$^{0{,}0103n}$ $\Rightarrow$ 0,0103n = $\ln \frac{{750}}{{641}}$ $\Rightarrow$ n $\approx$ 15,25.

Có nghĩa là theo tốc độ tăng dân số này thì sau 16 năm dân số thành phố đạt 1500000 người vào năm 2039.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Người đó có tổng số tiền cả vốn và lãi là 30 triệu đồng sau $y = {\log _{1{,}063}}\left( {\frac{{30}}{{20}}} \right)$ $\approx$ 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg nên ta có:

672,71 = 760×e$^{1000i}$ $\Leftrightarrow$ e$^{1000i}$ = $\frac{{672{,}71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{{\ln \frac{{672{,}71}}{{760}}}}{{1000}}$.

Áp suất không khí ở độ cao 3343 là: P = P$_{0}$.e$^{3343i}$ = 760.${e^{3343 \cdot \frac{{\ln \frac{{672{,}71}}{{760}}}}{{1000}}}}$ $\approx$ 505,45 mmHg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức: $m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}$

Với m$_{0}$ = 250, T = 24 giờ = 1 ngày đêm, t = 3,5 ngày đêm.

Ta có: $m\left( {3{,}5} \right) = 250 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3{,}5}}{1}}} \approx 22{,}097$ gam.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: pH = -log[H$^{+}$]. Đây là hàm số có dạng y = -logx, với biến số là [H$^{+}$]. Do đó, công thức trên biểu diễn một hàm số lôgarit.

b) Đúng. Thay [H$^{+}$] = 10$^{-}$$^{6}$ vào công thức ta được: pH = -log(10$^{-}$$^{6}$) = 6.

c) Đúng. Sau khi nồng độ giảm 100 lần: [H$^{+}$]$_{mới}$ = $\frac{{\left[ {{H^ + }} \right]}}{{100}}$.

Thay vào công thức, ta được:

$pH' = - \log \left( {\frac{{\left[ {{H^ + }} \right]}}{{100}}} \right) = - \left( {\log \left[ {{H^ + }} \right] - \log 100} \right) = - \log \left[ {{H^ + }} \right] + 2 = pH + 2$.

Vậy pH tăng thêm 2 đơn vị.

d) Sai. Ta có: [H$^{+}$]$_{mới}$ = 2[H$^{+}$].

Thay vào công thức, ta được:

pH' = -log(2[H$^{+}$]) = -(log2 + log[H$^{+}$]) = pH – log2 $\approx$ pH – 0,301

Vậy pH giảm khoảng 0,301 đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Theo công thức a = 15500(15 – log p)

Suy ra hàm số nghịch biến trên (0; +$\infty$).

Do đó, càng lên cao thì áp suất càng giảm.

b) Đúng. Với áp suất không khí là 2 Pa thì độ cao so với mực nước biển là:

a = 1550(15 – log p) = 15500(15 – log2) $\approx$ 227834,04 m.

c) Đúng. Ta có: a = 15500(15 – log p) $\Leftrightarrow$ 8850 = 15500×(5 – log p)

$\Leftrightarrow$ 5 – log p = $\frac{{177}}{{310}}$ $\Leftrightarrow$ p = ${10^{\frac{{1373}}{{310}}}} \approx 26855{,}4$.

Vậy áp suất không khí ở đỉnh núi có độ cao 8850 m so với mực nước biển khoảng 26855,4m.

d) Sai. a = 15500(15 – log p)

$\Rightarrow$ 15 – log p = $\frac{a}{{15500}} \Rightarrow \log p = 15 - \frac{a}{{15500}} \Rightarrow p = {10^{15 - \frac{a}{{15500}}}}$

Với a = 10000 $\Rightarrow$ p$_{1}$ $\approx$ 2,26×10$^{14}$.

Với a = 1000 $\Rightarrow$ p$_{2}$ $\approx$ 8,62×10$^{14}$.

Suy ra $\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = \frac{{113}}{{431}} \approx 0{,}26$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức: M(6) = 75 – 20ln(6 + 1) $\approx$ 36,08%.

b) Đúng. Hàm số y = t + 1 đồng biến trên [0; 12]

Hàm số y = lnx đồng biến trên (0; +$\infty$).

Vì t + 1 > 0, "t $\in$ [0; 12] nên hàm số y = ln(t + 1) đồng biến trên [0; 12].

Suy ra y = -20ln(t + 1) nên hàm số nghịch biến trên [0; 12].

c) Đúng. M = 75 – 20ln(t + 1) $\Leftrightarrow$ ln(t + 1) = $\frac{{75 - M}}{{20}}$$\Leftrightarrow$ $t + 1 = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} \Leftrightarrow t = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} - 1$.

d) Sai. Ta có: M(10) = 75 – 20ln11 $\approx$ 27,04%

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Điều kiện: 1,0245 – d > 0 $\Leftrightarrow$ d < 1,0245.

b) Sai. Theo công thức T = 7,9ln(1,0245 – 1,02) + 61,84 $\approx$ 19,15°C.

c) Đúng. Áp dụng công thức: T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84

$\Leftrightarrow$ ln(1,0245 – d) = $\frac{{T - 61{,}84}}{{7{,}9}}$ $\Leftrightarrow$ d = 1,0245 – ${e^{\frac{{T - 61{,}84}}{{7{,}9}}}}$.

d) Đúng. T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84

$\Leftrightarrow$ ln(1,0245 – d) = $\frac{{T - 61{,}84}}{{7{,}9}}$ $\Leftrightarrow$ d = 1,0245 – ${e^{\frac{{T - 61{,}84}}{{7{,}9}}}}$.

T = 30°C $\Rightarrow$ d$_{1}$ $\approx$ 1,007 (g/cm$^{3}$).

T = 60°C $\Rightarrow$ d$_{2}$ $\approx$ 0,232 (g/cm$^{3}$).

$\Rightarrow$ d$_{1}$ – d$_{2}$ = 0,775 (g/cm$^{3}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: $A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{6}{{100}}} \right)^1}$= 94 triệu đồng.

Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau 1 năm với tỉ lệ lạm phát là 6% một năm chỉ còn lại 94 triệu đồng.

b) Đúng. Ta có: $A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{8}{{100}}} \right)^2}$= 84,64 triệu đồng.

Vậy sức mua của 100 triệu đồng chỉ sau 2 năm với tỉ lệ lạm phát là 8% một năm chỉ còn lại khoảng 84,64 triệu đồng.

c) Đúng. Thay P = 100 triệu đồng, A = 90 triệu đồng, n = 2 vào phương trình ta có:

$90 = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^2} \Rightarrow r \approx 5{,}13\%$.

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó khoảng 5,13%.

d) Đúng. Thay P = 1 và A = $\frac{1}{2}$ vào phương trình

$\frac{1}{2} = {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) = n\ln \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) \Leftrightarrow n = \frac{{\ln \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{\ln \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}} = n = \frac{{\ln \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{\ln \left( {1 - \frac{5}{{100}}} \right)}} \approx 13{,}51$

Vậy sua khoảng 14 năm thì sức mua của số tiền ban đầu sẽ chỉ còn lại một nửa nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một sau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 499.

Theo đầu bài ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 100\\P\left( 1 \right) = 175\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{C}{{0{,}25 + {e^0}}} = 100\\\frac{C}{{0{,}25 + {e^{ - k}}}} = 175\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 125\\{e^{ - k}} = \frac{C}{{175}} - 0{,}25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 125\\{e^{ - k}} = \frac{{13}}{{28}}\end{array} \right.$$

Do đó P(t) = $\frac{{125}}{{0{,}25 + {{\left( {\frac{{13}}{{28}}} \right)}^t}}}$

Vậy sau 24 giờ, số lượng tế bào nấm men trong quần thể là:

P(24) = $\frac{{125}}{{0{,}25 + {{\left( {\frac{{13}}{{28}}} \right)}^{24}}}} \approx 499{,}99998$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{v_A} = c{\left( {\frac{{\pi {a^2}}}{{2\pi a}}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {0{,}01^{\frac{1}{2}}}\\{v_B} = c{\left( {\frac{{\pi {b^2}}}{{2\pi b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {0{,}04^{\frac{1}{2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{v_A}}}{{{v_B}}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {\frac{b}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}} \cdot \frac{{{{(0{,}01)}^{\frac{1}{2}}}}}{{{{(0{,}04)}^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 2$

$\Rightarrow$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4$

$\Leftrightarrow$$\frac{a}{b} = {2^3} = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 679.

Theo giả thiết, năm 2018 ứng với x = 0 nên C = 4080

Năm 2022 ứng với x = 4, ta có: 4080.e$^{k}$$^{.}$$^{4}$ = 22440 $\Leftrightarrow$ e$^{k}$$^{.}$$^{4}$ = 5,5

$\Leftrightarrow$ $k = \frac{1}{4}\ln 5{,}5$ $\approx$ 0,4262

Số lượt truy cập Web vào năm 2030 là: 4080.e$^{0{,}4262}$$^{.}$$^{12}$ $\approx$ 679000 lượt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 21.

Số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ.

Sau 1 tuần, số lượng bèo là 0,04.3 diện tích mặt hồ.

Sau 2 tuần, số lượng bèo là 0,04.3$^{2}$ diện tích mặt hồ.

Sau n tuần, số lượng bèo là 0,04.3$^{n}$ diện tích mặt hồ.

Để bèo phủ kín mặt hồ thì 0,04.3$^{n}$ = 1 $\Rightarrow$ 3$^{n}$ = 25 $\Rightarrow$ n = log$_{3}$ 25 (tuần).

Số ngày tương ứng là: 7n = 7log$_{3}$ 25 $\approx$ 20,51 (ngày).

Vậy sau ít nhất 21 ngày, bèo hoa dâu sẽ phủ kín mặt hồ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4,1.

Ta có: 80.(0,8)$^{t}$ = 32 $\Leftrightarrow$ (0,8)$^{t}$ = 0,4 $\Leftrightarrow$ t = log$_{0{,}8}$(0,4). Do đó, t $\approx$ 4,1 (giờ). Vậy sau khoảng 4,1 giờ thì nhiệt độ của khay nước là 32°F.