Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chu vi của bánh xe là: C = 2πR = πd = 40π (cm).

Đổi 30 km/h = $\frac{{3.10}^{6}}{3\ 600}$ = $\frac{2\ 500}{3}$ cm/s.

Một giây bánh xe quay được số vòng là: $\frac{2\ 500}{3}$ : 40π ≈ 6,63 (vòng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một giây bánh xe quay được số vòng là: $\frac{20}{4}=5$ vòng.

Vì 1 vòng bánh xe quay được góc có số đo là 2π.

Nên số đo góc mà bánh xe quay được trong một giây (5 vòng) là: 5.2π = 10π (rad).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì vệ tinh chuyển động hết một vòng quỹ đạo trong 2 giờ có nghĩa là trong 2 giờ vệ tinh chuyển động được một góc bằng 360° hay 2π (rad).

Suy ra trong vòng 1 giờ vệ tinh chuyển động được một góc là: 2π : 2 = π.

Gọi quãng đường mà vệ tinh đã chuyển động được sau 1 giờ là l

l = R. α = 9 000.π km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chu vi của bánh xe sau là: C$_{s}$ = π.184 (cm).

Khi đó, bánh xe sau đi mỗi vòng được quãng đường có độ dài là 184π (cm).

Vì vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/ phút nên trong 10 phút, bánh xe sau chuyển động được 80 . 10 = 800 (vòng).

Quãng đường đi được của máy kéo trong vòng 10 phút hay chính là quãng đường đi được khi bánh xe sau lăn 800 vòng là

800 . 184π = 147 200π (cm) = 1,472π (km) ≈ 4,62 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chu vi của bánh xe trước là: C$_{t}$ = π.100 (cm).

Khi đó, bánh xe sau đi mỗi vòng được quãng đường có độ dài là 100π (cm).

Vì vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 70 vòng/ phút nên trong 10 phút, bánh xe sau chuyển động được 70.10 = 700 (vòng).

Quãng đường đi được của máy kéo trong vòng 10 phút hay chính là quãng đường đi được khi bánh xe trước lăn 700 vòng là

700.100π = 70 000π (cm) = 0,7π (km).

Đổi 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ.

Vận tốc mà máy kéo đi được trong 10 phút là

v = $\frac{s}{t}$ = $\frac{0{,}7π}{\frac{1}{6}}\approx 13{,}2$ (km/giờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó

$B(t)=80+7\sin \frac{π.12}{12}$ = 80 + 7.sin π = 80 + 7.0 = 80 (mmHg).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: 72 răng có chiều dài là 2πR nên 10 răng có chiều dài l $=\frac{10.2πR}{72}=\frac{5π}{18}R.$

Theo công thức l = Rα $\Leftrightarrow α=\frac{l}{R}=\frac{\frac{5}{18}πR}{R}=\frac{5}{18}π$ (rad) = $\frac{5}{18}π\cdot (\frac{180}{π})\begin{matrix}^{\circ} \\ \end{matrix}=50^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đổi $(\frac{1}{60})\begin{matrix}^{\circ} \\ \end{matrix}$= $=\frac{1}{60}.\frac{π}{180}=\frac{π}{10\ 800}$ (rad).

Vậy 1 hải lí bằng số kilômét là

l = R . α = 6 371. $\frac{π}{10\ 800}$ ≈ 1,85 (km).

Vậy 1 hải lí bằng khoảng 1,85 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy và kẻ MH vuông góc với Ox như hình vẽ trên.

Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác α.

Ta có: $α=3\frac{1}{10}.360^{\circ}$ = 1 116°.

Khi đó M (15cos 1 116°; 5sin 1 116°)

Suy ra O'M' = OH = 15 . |cos 1 116°| ≈ 12,1.

Vậy độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là 12,1 cm.

Đáp án đúng là: B

Trong 2 giây bánh xe đạp quay được $\frac{{2.2}}{5} = \frac{4}{5}$ vòng tức là quay được cung có độ dài là $l = \frac{4}{5}.2\pi R = \frac{8}{5}\pi R.$

Ta có: l = Rα$\Leftrightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{\frac{8}{5}\pi R}}{R} = \frac{8}{5}\pi .$

Vậy trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc $\frac{8}{5}\pi$ radian.

Đáp án đúng là: C

Bánh xe quay theo chiều âm nên góc lượng giác mang dấu âm.

Quay được 2 vòng tương ứng góc $- 2 \cdot 2\pi = - 4\pi$.

Thêm một phần tư vòng tương ứng góc $- \frac{1}{4} \cdot 2\pi = - \frac{\pi }{2}$.

Góc quay tổng cộng là: $\alpha = - 4\pi - \frac{\pi }{2} = - \frac{{9\pi }}{2}{\rm{ rad}}$.

Đáp án đúng là: B

Kim giờ quay cùng chiều kim đồng hồ nên góc mang dấu âm.

Khoảng cách từ số 12 đến số 3 chiếm $\frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}$ mặt đồng hồ (tương ứng một phần tư vòng quay). Số đo góc lượng giác quét qua là: $\alpha = - \frac{1}{4} \cdot 2\pi = - \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}$.

Đáp án đúng là: B

$\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Tam giác vuông tạo bởi dốc có cạnh đối (độ cao) bằng $3{\rm{ m}}$, cạnh huyền (mặt dốc) bằng $5{\rm{ m}}$.

Áp dụng định lý Pitago, cạnh kề (chiều dài mặt sàn nằm ngang) là: $\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4{\rm{ m}}$.

Giá trị lượng giác: $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vì góc tổng hợp lọt vào góc phần tư thứ III (nơi cả sin và cos đều nhận giá trị âm) nên sinθ < 0. Do đó, $\sin \theta = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do góc mang dấu âm nên chuyển động cùng chiều kim đồng hồ.

b) Đúng. $- \frac{{7\pi }}{4} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ } = - 315^\circ$.

c) Đúng. Góc $- \frac{{7\pi }}{4} = - 2\pi + \frac{\pi }{4}$. Điểm biểu diễn góc này trùng với vị trí góc $\frac{\pi }{4}$ lọt vào góc phần tư thứ I.

d) Sai. Do thuộc góc phần tư thứ I nên $\sin \left( { - \frac{{7\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} > 0$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do α nhọn nên sinα > 0. Ta có $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{5}{{13}}$.

b) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{5}{{13}}}}{{\frac{{12}}{{13}}}} = \frac{5}{{12}}$.

c) Sai. Trong khoảng góc nhọn $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$, khi góc α tăng lên thì giá trị cosα sẽ giảm xuống (hàm số nghịch biến trên khoảng này).

d) Đúng. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ chính là góc phần tư thứ IV.

b) Sai. Góc phần tư thứ IV có cosα > 0.

Áp dụng hệ thức:

$1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}$.

c) Đúng. Góc phần tư thứ IV có sinα < 0. Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{3}{5}$.

d) Đúng. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{4}{3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khoảng $\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ tương ứng góc phần tư thứ III, nơi hoành độ và tung độ đều âm.

b) Đúng. Bình phương hai vế

${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\left( { - \frac{7}{5}} \right)^2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}$.

c) Sai. Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin \alpha + \cos \alpha = - \frac{7}{5}}\\{\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{\left( { - \frac{7}{5} - \cos \alpha } \right) \cdot \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{ - {{\cos }^2}\alpha - \frac{7}{5}\cos \alpha - \frac{{12}}{{25}} = 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{3}{5}\end{array} \right.}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{4}{5}\\\sin \alpha = - \frac{3}{5}\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{3}{5}\\\sin \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$

Vì hoành độ của điểm M có độ lớn nhỏ hơn tung độ của nó nên $\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{3}{5}\\\sin \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

d) Đúng. Tương ứng từ hệ nghiệm, giá trị $\tan \alpha = \frac{4}{3}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Trong hệ thống truyền động dây đai hoặc dây xích không bắt chéo (loại phổ thông của xe đạp), khi đĩa xích quay theo chiều nào thì dây xích sẽ kéo líp xe quay theo đúng chiều đó. Do đó, đĩa xích và líp xe luôn quay cùng chiều với nhau (cùng là chiều dương lượng giác).

b) Đúng. Độ dài quãng đường dịch chuyển của mắt xích trên vành đĩa xích là:

$s = {R_1} \cdot \alpha = 10 \cdot \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{40\pi }}{3}{\rm{ cm}}$.

c) Đúng. Vì dây xích không co giãn nên độ dài quãng đường dịch chuyển trên lip xe cũng phải bằng đúng độ dài trên đĩa xích.

Góc lương giác β mà líp xe quét được là $\beta = \frac{s}{{{R_2}}} = \frac{{\frac{{40\pi }}{3}}}{4} = \frac{{10\pi }}{3}$ rad.

d) Đúng. Khi đĩa xích quay được 2 vòng, góc quay của đĩa là α$_{1}$ = 4π rad.

Quãng đường dây xích dịch chuyển là S = R$_{1}$α$_{1}$ = 104π = 40π cm.

Góc quay tổng cộng của líp xe là ${\beta _1} = \frac{{40\pi }}{4} = 10\pi$ rad.

Số vòng quay của líp xe là $N = \frac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5$ vòng.

Đáp án: 13

Vệ tinh quay 1 vòng hết 100 phút, tương ứng góc quét 2π rad.

Tỉ lệ góc quét sau 15 phút là: $\alpha = \frac{{15}}{{100}} \cdot 2\pi = \frac{3}{{20}} \cdot 2\pi = \frac{{3\pi }}{{10}}{\rm{ rad}}$.

Suy ra a = 3; b = 10. Vậy a + b = 13.

Đáp án: −0,5

cos(−120°) = −0,5.

Đáp án: 0,38

Áp dụng hệ thức: $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {(2{,}4)^2} = 6{,}76 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{6{,}76}} = \frac{{25}}{{169}}$.

Vì máy bay bay dốc lên tạo góc nhọn nên $\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{{13}} \approx 0{,}38$.

Đáp án: 0,89

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {( - 2)^2} = 5 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}$.

Vì góc thuộc phần tư thứ II nên $\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \approx 0{,}89$.

Đáp án: 0,87

Ta có $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin 2\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Trong khoảng góc nhọn điều kiện $0 < \alpha < \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < 2\alpha < \frac{\pi }{2}$, suy ra $2\alpha = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{6}$.

Giá trị cần tìm: $\cos \alpha = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0{,}87$.