Bài tập Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)$^{2}$ = (c – b)$^{2}$

⇔ b$^{2}$ – 2ab + a$^{2}$ = c$^{2}$ – 2bc + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2ab – 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)$^{2}$ = (c – b)$^{2}$

⇔ b$^{2}$ – 2ab + a$^{2}$ = c$^{2}$ – 2bc + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2ab – 2bc

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2c$^{2}$ + 2ab – 2bc

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2ab + 2c(c – b)

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.

Đáp án đúng là: B

Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

a + c = 2b ⇔ – 2(a + c) = – 2.2b

⇔ (– 2a) + (– 2c) = 2.(– 2b)

⇔ – 2c, –2b, –2a lập thành một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

Ta có: a$^{2}$ – 2ab = a$^{2}$ – a(a + c) = – ac

= – c(2b – c) = c$^{2}$ – 2bc.

Vậy a$^{2}$ − 2ab = c$^{2}$ − 2bc ; a$^{2}$ − 2ab = − ac và − ac = c$^{2}$ − 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

Khi đó: a$^{2}$ + 8bc = (2b – c)$^{2}$ + 8bc = 4b$^{2}$ – 4bc + c$^{2}$ + 8bc

= 4b$^{2}$ + 4bc + c$^{2}$ = (2b + c)$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta chứng minh ba số: a$^{2}$ + ab + b$^{2}$; a$^{2}$ + ac + c$^{2}$ ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Thật vậy:

(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) + (b$^{2}$ + bc + c$^{2}$) = 2(a$^{2}$ + ac + c$^{2}$) (*)

⇔ 2b$^{2}$ + ab + bc = a$^{2}$ + 2ac + c$^{2}$

⇔ 2b$^{2}$ + b(a + c) = (a + c)$^{2}$

⇔ 2b$^{2}$ + 2b$^{2}$ = (2b)$^{2}$

⇔ 4b$^{2}$ = 4b$^{2}$ (luôn đúng) nên (*) đúng.

Do đó ba số: a$^{2}$ + ab + b$^{2}$; a$^{2}$ + ac + c$^{2}$ ; b$^{2}$ + bc + c$^{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Do $\cot \frac{A}{2},\,\cot \frac{B}{2},\,\cot \frac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} = 2\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \left[ {\cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)} \right] \cdot \cos \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin B$$

$$\Leftrightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{2}(\sin A + \sin C) \Leftrightarrow 2\sin {\rm{B}} = \sin {\rm{A}} + \sin {\rm{C}} \,\, (*)$$

Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:

$\sin {\rm{A}} = \frac{a}{{2R}}\,;\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\,;\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$ thay vào (*) ta được:

$$2 \cdot \frac{b}{{2R}} = \frac{a}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} \Leftrightarrow 2\;{\rm{b}} = {\rm{a}} + {\rm{c}}$$

Do đó, ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:

t – x = 2d và z – y = d

⇒ t – x = 2(z – y) ⇔ (t – x)$^{2}$ = 4( z – y)$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – 2tx + x$^{2}$ = 4(z$^{2}$ – 2zy+ y$^{2}$)

⇔ t$^{2}$ – 2tx + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ – 8zy + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ − 2(x+3d). x + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ − 8(x + 2d).(x + d) + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – 2x$^{2}$ – 6dx + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ – 8x$^{2}$ – 24dx – 16d + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – x$^{2}$ – 6dx = 4z$^{2}$ – 8x$^{2}$ – 24dx – 16d + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$+ 7x$^{2}$+ 18dx = 4z$^{2}$ – 16d + 4y$^{2}$

Đáp án đúng là: C

Do x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:

y + 3 = (x + 1) + d ⇔ y + 2 = x + d.

Đáp án đúng là: C

Do x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

x – 1 + z = 2(y + 1) ⇔ x + z – 1 = 2y + 2

⇔ z = 2y – x + 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số công nên $b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b$.

Đáp án đúng là: A

u$_{1}$ + u$_{10}$ = u$_{2}$ – d + u$_{9}$ + d = u$_{2}$ + u$_{9}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $x = \frac{{ - 3 + 15}}{2} = 6$.

Đáp án đúng là: B

Có u$_{5}$ + u$_{15}$ = u$_{10}$ – 5d + u$_{10}$ + 5d = 2u$_{10}$ $\Rightarrow {u_{10}} = \frac{{30}}{2} = 15$.

Đáp án đúng là: C

Giả sử phương trình có 3 nghiệm x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$ lập thành một cấp số cộng.

Theo tính chất ba số hạng của cấp số cộng, ta có: x$_{1}$ + x$_{3}$ = 2x$_{2}$.

Theo định lý Vi-ét dành cho phương trình bậc ba, ${x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{{ - 12}}{1} = 12$.

Thay hệ thức đối xứng x$_{1}$ + x$_{3}$ = 2x$_{2}$ vào biểu thức tổng nghiệm, ta thu được:

3x$_{2}$ = 12 ⇔ x$_{2}$ = 4.

Vì x$_{2}$ = 4 là một nghiệm của phương trình nên 4$^{3}$ – 124$^{2}$ + 414 – m = 0 ⇔ m = 36.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì x – 1; 4; x + 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên

(x – 1) + (x + 5) = 24.

b) Sai. Có (x – 1) + (x + 5) = 24 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

c) Đúng. Với x = 2, ta có bộ 3 số là 1; 4; 7.

d) Đúng. Tổng: 1 + 4 + 7 = 12.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. u$_{3}$ + u$_{18}$ = u$_{1}$ + 2d + u$_{20}$ – 2d = u$_{1}$ + u$_{20}$ = 50.

b) Đúng. u$_{3}$ + u$_{18}$ = u$_{7}$ − 4d + u$_{14}$ + 4d = u$_{7}$ + u$_{14}$ = 50.

c) Đúng. u$_{3}$ + u$_{18}$ = u$_{11}$ – 8d + u$_{10}$ + 8d = u$_{11}$ + u$_{10}$ = 50 mà u$_{11}$ = 25 nên u$_{10}$ = 25.

d) Sai. u$_{3}$ + u$_{18}$ = u$_{1}$ + 2d + u$_{1}$ + 17d = 2u$_{1}$ + 19d = 50.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ba số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b = d.

b) Sai. Ví dụ ba số 1; 2; 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nhưng 1; 4; 9 không lập thành cấp số cộng.

c) Đúng. b + 3 – (a + 3) = b – a = d;

c + 3 – (b + 3) = c – b = d.

Do đó bộ ba số a + 3; b + 3; c + 3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có a + c = 2b => a$^{2}$ + 2ac + c$^{2}$ = 4b$^{2}$ ⇔ (a – c)$^{2}$ + 4ac = 4b$^{2}$

⇔ (a – c)$^{2}$ = 4b$^{2}$ – 4ac ⇔ (a – c)$^{2}$ = 4(b$^{2}$ – ac).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do ba số góc α; β; γ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên α + γ = 2β.

b) Sai. $\sin (\alpha + \gamma ) \ne \sin \alpha + \sin \gamma$ nên $\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta$ sai.

c) Sai. Có $\tan 2\beta = \tan \left( {\alpha + \gamma } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }}$.

d) Đúng. $\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \left( {\frac{{\alpha + \gamma }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha - \gamma }}{2}} \right)$

Từ ý a ta có $\frac{{\alpha + \gamma }}{2} = \beta$. Mặt khác, từ $\alpha + \gamma = 2\beta \Rightarrow \gamma = 2\beta - \alpha$.

Khi đó $\frac{{\alpha - \gamma }}{2} = \frac{{\alpha - (2\beta - \alpha )}}{2} = \frac{{2\alpha - 2\beta }}{2} = \alpha - \beta$.

Do đó $\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta \cdot \cos (\alpha - \beta )$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. ${u_1} + {u_5} = 2{u_3} \Leftrightarrow 10 = 2{u_3} \Rightarrow {u_3} = 5$.

b) Đúng. ${u_2} = {u_3} - d = 5 - d$.

c) Sai. Thay ${u_2} = 5 - d$ và ${u_4} = 5 + d$ vào phương trình $u_2^2 + u_3^2 = 58$ ta được ${(5 - d)^2} + {(5 + d)^2} = 58 \Leftrightarrow 50 + 2{d^2} = 58 \Leftrightarrow 2{d^2} = 8$.

d) Sai. $2{d^2} = 8 \Leftrightarrow {d^2} = 4 \Rightarrow d = 2$ hoặc $d = - 2$.

Vì đề bài yêu cầu các số hạng nguyên dương (dãy tăng) nên ta chọn $d = 2$.

Suy ra u$_{1}$ = u$_{3}$ – 2d = 5 – 22 = 1.

Đáp án: 9

$x = \frac{{ - 5 + 23}}{2} = \frac{{18}}{2} = 9.$

Đáp án: 4

Ta có $(2x - 3) + (3x + 5) = 2 \cdot 11$

⇔$5x + 2 = 22 \Leftrightarrow 5x = 20 \Leftrightarrow x = 4.$

Đáp án: 80

${u_1} + {u_{20}} = {u_4} + {u_{17}} = 80$.

Đáp án: 40

Có ${u_3} + {u_{17}} = 2{u_{10}}\quad {\rm{và }}\quad {u_6} + {u_{14}} = 2{u_{10}}$

Khi đó $({u_3} + {u_{17}}) + ({u_6} + {u_{14}}) = 160 \Leftrightarrow 2{u_{10}} + 2{u_{10}} = 160$

$\Leftrightarrow 4{u_{10}} = 160 \Leftrightarrow {u_{10}} = 40.$

Đáp án: 12

Ta có $(x + 1) + ({x^2} + 2) = 2(2x + 3)$

⇔${x^2} + x + 3 = 4x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 3 = 0$ có = 21 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Do đó theo định lý viet có x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3.

Do đó $P = 4 \cdot ({x_1} + {x_2})$ = 12.