Bài tập Bài toán liên quan đến định luật phóng xạ (Khối lượng còn lại và khối lượng đã bị phân rã) lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải giải

a) Khối lượng $_6^{14}{\rm{C}}$ chứa trong mẫu than bùn sau 2000 năm là:

${m_{\rm{t}}} = {m_0}{2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}} = {980.2^{ - \frac{{2000}}{{5730}}}} \approx 769{,}4\mu {\rm{g}}$

b) Thời điểm mà khối lượng $_6^{14}{\rm{C}}$ trong mẫu than bùn này còn lại $100\mu {\rm{g}}$ là:

${m_{\rm{t}}} = {m_0}{2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}} \Rightarrow 100 = {980.2^{ - \frac{t}{{5730}}}} \Rightarrow t \approx 18867{,}64$ năm

Hướng dẫn giải giải

Đáp án đúng là B

Hướng dẫn giải giải

Đáp án đúng là B

Từ công thức ${\rm{m}} = {{\rm{m}}_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow 2 = {m_0}{.2^{ - \frac{9}{3}}} \Rightarrow {m_0} = 16$ kg.

Hướng dẫn giải giải

Đáp án đúng là B

Áp dụng công thức ${\rm{m}} = {{\rm{m}}_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} = 2,{4.10^{ - 2}}{.2^{ - \frac{{24}}{6}}} = 1,{5.10^{ - 4}}kg.$

Hướng dẫn giải giải

Đáp án đúng là D

Áp dụng công thức $m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow 0{,}25{m_0} = {m_0}{.2^{ - \frac{3}{T}}} \Rightarrow T = 1{,}5$ giờ.

Hướng dẫn giải giải

Đáp án đúng là C

Áp dụng công thức ${\rm{m}} = {{\rm{m}}_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow 10 = {40.2^{ - \frac{t}{{10}}}} \Rightarrow t = 20$giờ.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Khối lượng đã bị phân rã: ${m_p} = {m_0} - m$.

${m_p} = 640 - 40 = 600{\rm{\;g}}$.

b) Đúng. Số chu kì bán rã: $n = \frac{t}{T} = \frac{{20}}{5} = 4$.

c) Đúng. Tỉ lệ khối lượng còn lại: $\frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{40}}{{640}} = \frac{1}{{16}}$.

Sau 4 chu kì: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}$.

d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã: $m' = \frac{{40}}{2} = 20{\rm{\;g}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. ${m_p} = {m_0} - m$.

${m_p} = 2{,}4 - 0{,}15 = 2{,}25{\rm{\;kg}}$.

b) Đúng. Ta có: $\frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{0{,}15}}{{2{,}4}} = \frac{1}{{16}}$. Mà: $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$. Vậy có 4 chu kì bán rã.

c) Đúng. $t = 4T = 4 \times 8 = 32{\rm{\;}}$ ngày

d) Đúng. Cùng thời gian thì tỉ lệ còn lại không đổi: $m = 4{,}8 \times \frac{1}{{16}} = 0{,}3{\rm{\;kg}} = 300{\rm{\;g}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Tỉ lệ còn lại: $\frac{{100}}{{800}} = \frac{1}{8}$. Vậy: $\frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$.

b) Đúng. $T = \frac{{15}}{3} = 5{\rm{\;}}$ giờ.

c) Sai. Sau $30$giờ: $n = \frac{{30}}{5} = 6$.

Khối lượng còn lại: $m = 800{\left( {\frac{1}{2}} \right)^6} = 12{,}5{\rm{\;g}}$.

d) Sai. Khối lượng đã phân rã: ${m_p} = 800 - 12{,}5 = 787{,}5{\rm{\;g}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Sau 2 chu kì: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} = 25\%$.

b) Đúng. Khối lượng đã phân rã: $100\% - 25\% = 75\%$.

c) Đúng. $m = 1{,}2 \times 25\% = 0{,}3{\rm{\;kg}}$.

d) Sai. Sau thời gian $2t$, chất vẫn còn lại một phần.

Trong phóng xạ, về lý thuyết không có thời điểm chất bị phân rã hoàn toàn.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Khối lượng ban đầu: ${m_0} = 5{\rm{\;kg}} = 5000{\rm{\;g}}$. Tỉ lệ còn lại: $\frac{{312{,}5}}{{5000}} = \frac{1}{{16}}$.

b) Đúng. ${m_p} = 5000 - 312{,}5 = 4687{,}5{\rm{\;g}} = 4{,}6875{\rm{\;kg}}$.

c) Đúng. Giảm thêm một nửa: $312{,}5:2 = 156{,}25{\rm{\;g}}$.

Cần thêm một chu kì: $t = 6$ ngày.

d) Đúng. Sau $48$ ngày: $n = \frac{{48}}{6} = 8$.

$m = 5000{\left( {\frac{1}{2}} \right)^8} = 19{,}53{\rm{\;g}}$. Xấp xỉ $19{,}5{\rm{\;g}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Số chu kì bán rã: $n = \frac{t}{T} = \frac{{18}}{6} = 3$.

b) Đúng. Sau 3 chu kì: $m = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$. Do đó: $45 = {m_0}\frac{1}{8}$. Suy ra: ${m_0} = 360{\rm{\;g}}$.

c) Đúng. Khối lượng đã bị phân rã: ${m_p} = {m_0} - m$.

${m_p} = 360 - 45 = 315{\rm{\;g}}$.

d) Đúng. Sau $24$giờ: $n = \frac{{24}}{6} = 4$. Khối lượng còn lại: $m = 360{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 22{,}5{\rm{\;g}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\frac{m}{{{m_0}}} = \frac{4}{{128}} = \frac{1}{{32}}$

b) Đúng. Ta có: $\frac{1}{{32}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}$. Vậy có 5 chu kì bán rã.

c) Đúng. $T = \frac{{40}}{5} = 8$ giờ

d) Đúng. ${m_p} = {m_0} - m$

${m_p} = 128 - 4 = 124{\rm{\;mg}}$

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. ${m_p} = 2{,}0 - 0{,}25 = 1{,}75{\rm{\;kg}}$

b) Đúng. $\frac{{1{,}75}}{{2{,}0}} \times 100\% = 87{,}5\%$

c) Đúng. Sau $30$ ngày: $n = \frac{{30}}{{10}} = 3$

Khối lượng còn lại: $2{,}0{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = 0{,}25{\rm{\;kg}}$

d) Sai. Sau $40$ ngày: $n = 4$

$m = 2{,}0{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 0{,}125{\rm{\;kg}} = 125{\rm{\;g}}$

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Sau một chu kì bán rã, khối lượng còn lại giảm một nửa: $40\% \to 20\%$ nên khoảng thời gian đó đúng bằng một chu kì bán rã.

b) Đúng. Khối lượng đã phân rã: $100\% - 40\% = 60\%$

c) Đúng. Khối lượng đã phân rã: $100\% - 20\% = 80\%$

d) Đúng. Khối lượng còn lại: $m = 500 \times 20\% = 100{\rm{\;g}}$

Đáp án: hạt nhân khác.

Lời giải chi tiết

Phóng xạ là quá trình biến đổi tự phát của các hạt nhân không bền thành các hạt nhân mới.

Trong quá trình đó, một phần chất phóng xạ ban đầu bị biến đổi nên khối lượng chất ban đầu giảm dần theo thời gian.

Đáp án: ${m_p} = {m_0} - m$.

Lời giải chi tiết

Ban đầu khối lượng chất phóng xạ gồm phần đã bị phân rã và phần còn lại nên ta có ${m_0} = {m_p} + m$.

Suy ra khối lượng chất đã bị phân rã là ${m_p} = {m_0} - m$.

Đáp án: 560.

Lời giải chi tiết

Sau 18 ngày, số chu kì bán rã đã xảy ra là $n = \frac{t}{T} = \frac{{18}}{6} = 3$.

Sau 3 chu kì bán rã, khối lượng còn lại là $m = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = 640 \times \frac{1}{8} = 80{\rm{\;g}}$.

Khối lượng chất đã bị phân rã là ${m_p} = {m_0} - m = 640 - 80 = 560{\rm{\;g}}$.

Đáp án: 32 ngày.

Lời giải chi tiết

Khối lượng chất còn lại là $m = {m_0} - {m_p} = 1{,}28 - 1{,}20 = 0{,}08{\rm{\;kg}}$.

Tỉ lệ khối lượng còn lại so với ban đầu là $\frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{0{,}08}}{{1{,}28}} = \frac{1}{{16}}$.

Ta có $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$, do đó mẫu chất đã trải qua $4\;$chu kì bán rã.

Thời gian phân rã là $t = 4T = 4 \times 8 = 32$ ngày

Đáp án: 6 ngày

Lời giải chi tiết

Tỉ lệ khối lượng còn lại là $\frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{100}}{{800}} = \frac{1}{8}$.

Ta có $\frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$, vậy sau $18$ ngày đã xảy ra $3$ chu kì bán rã.

Chu kì bán rã của chất là $T = \frac{{18}}{3} = 6$ ngày.

Đáp án: 179,3 g; 4,844 kg.

Lời giải chi tiết

Đổi đơn vị: $5{\rm{\;kg}} = 5000{\rm{\;g}}$.

Sau $20$ ngày: $\frac{{625}}{{5000}} = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$.

Vậy $20$ ngày tương ứng với $3$ chu kì bán rã.

Suy ra chu kì bán rã là $T = \frac{{20}}{3}$ ngày.

Sau thêm $12$ ngày, số chu kì xảy ra thêm là $n = \frac{{12}}{{20/3}} = 1{,}8$ chu kì.

Khối lượng còn lại: $m = 625{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1{,}8}} \approx 179{,}3{\rm{\;g}}$.

Khối lượng đã phân rã: ${m_p} = 5000 - 179{,}3 = 4820{,}7{\rm{\;g}} \approx 4{,}821{\rm{\;kg}}$.

Đáp án: 5,33 ngày.

Lời giải chi tiết

Sau thời gian ${t_1}$: $\frac{{{m_1}}}{{{m_0}}} = 25\% = 0{,}25 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$.

Vậy ${t_1}$ ứng với $2$ chu kì bán rã.

Sau thời gian ${t_2}$: $\frac{{{m_2}}}{{{m_0}}} = 3{,}125\% = 0{,}03125 = \frac{1}{{32}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}$.

Vậy ${t_2}$ ứng với $5$ chu kì bán rã.

Khoảng thời gian giữa hai thời điểm là: ${t_2} - {t_1} = \left( {5 - 2} \right)T = 3T$.

Do đó: $16 = 3T$.

Suy ra: $T = \frac{{16}}{3} \approx 5{,}33$ ngày

Đáp án: 9,5.

Lời giải chi tiết

Sau giai đoạn đầu: ${m_1} = 20\% \times 10 = 2{\rm{\;kg}}$.

Sau thêm hai chu kì bán rã: ${m_2} = 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0{,}5{\rm{\;kg}}$.

Khối lượng đã bị phân rã trong toàn bộ quá trình: ${m_p} = 10 - 0{,}5 = 9{,}5{\rm{\;kg}}$.