Bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Tam thức f(x) = 3x$^{2}$ + 2(2m – 1)x + m + 4 có a = 3 > 0.

Do đó f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ khi ∆’ < 0

⇔ (2m – 1)$^{2}$ – 3(m + 4) < 0

⇔ 4m$^{2}$ – 7m – 11 < 0

$$\Leftrightarrow -1 < m < \frac{{11}}{4}.$$

Vậy $-1 < m < \frac{{11}}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Tam thức f(x) = –2x$^{2}$ + (m – 2)x – m + 4 có a = –2 < 0.

Do đó f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ (không dương với mọi x) khi Δ ≤ 0

⇔ (m – 2)$^{2}$ – 4.(–2).(–m + 4) ≤ 0

⇔ m$^{2}$ – 12m + 36 ≤ 0

⇔ (m – 6)$^{2}$ ≤ 0

⇔ m = 6 (do (m – 6)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Tam thức f(x) = x$^{2}$ – (m + 2)x + 8m + 1 có a = 1 > 0

Do đó f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ (không âm với mọi x) khi Δ ≤ 0

⇔ [–(m + 2)]$^{2}$ – 4(8m + 1) ≤ 0

⇔ m$^{2}$ + 4m + 4 – 32m – 4 ≤ 0

⇔ m$^{2}$ – 28m ≤ 0

⇔ 0 ≤ m ≤ 28.

Vậy 0 ≤ m ≤ 28 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: D

Tam thức f(x) = x$^{2}$ – mx – m có hệ số a = 1 > 0

Nên bất phương trình f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi Δ ≤ 0

⇔ (–m)$^{2}$ – 4.(–m) ≤ 0

⇔ m$^{2}$ + 4m ≤ 0

⇔ –4 ≤ m ≤ 0.

Vậy –4 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: D

Tam thức f(x) = –x$^{2}$ + (2m – 1)x + m có hệ số a = –1 < 0

Nên bất phương trình f(x) < 0 có tập nghiệm S = ℝ khi Δ < 0

⇔ (2m – 1)$^{2}$ – 4.(–m) < 0

⇔ 4m$^{2}$ – 4m + 1 + 4m < 0

⇔ 4m$^{2}$ + 1 < 0

⇔ m ∈ ∅.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình f(x) = x$^{2}$ – (m + 2)x + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Tam thức f(x) = x$^{2}$ – (m + 2)x + m + 2 có hệ số a = 1 > 0

Nên f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x khi Δ < 0

⇔ [–(m + 2)]$^{2}$ – 4(m + 2) < 0

⇔ m$^{2}$ + 4m + 4 – 4m – 8 < 0

⇔ m$^{2}$ – 4 < 0

⇔ –2 < m < 2.

Vậy m ∈ (–2; 2).

Đáp án đúng là: C

Đặt f(x) = (2m$^{2}$ – 3m – 2)x$^{2}$ + 2(m – 2)x – 1.

Trường hợp 1. Xét 2m$^{2}$ – 3m – 2 = 0 ⇔ m = $- \frac{1}{2}$ hoặc m = 2.

+ Khi m = $- \frac{1}{2}$ thì bất phương trình trở thành –5x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ $- \frac{1}{5}$, không nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ (loại).

+ Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành –1 ≤ 0, nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét 2m$^{2}$ – 3m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ $- \frac{1}{2}$ và m ≠ 2. Khi đó f(x) là tam thức bậc hai.

Để f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2}-3m-2 < 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 3m - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2}-3m-2 < 0\\3{m^2}-7m + 2 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < m < 2\\\frac{1}{3} \le m \le 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le m < 2.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\frac{1}{3} \le m \le 2$.

Mà m là số nguyên nên m ∈ {1; 2}. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

f(x) xác định với mọi x ∈ ℝ ⇔ g(x) = (m + 4)x$^{2}$ – (m – 4)x – 2m + 1 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 1. Xét m = –4 thì f(x) = 8x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ $- \frac{9}{8}$ (Không thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét m ≠ –4. Khi đó g(x) là một tam thức bậc hai.

Để g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\{\left[ { - \left( {m-4} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {-2m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\{m^2} - 8m + 16 + 8{m^2} + 28m - 16 \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > -4\\9{m^2} + 20m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > -4\\ - \frac{{20}}{9} \le m \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \frac{{ - 20}}{9} \le m \le 0.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $-4{x^2} + 5x-2 = -{\left( {2x-\frac{5}{4}} \right)^2}-\frac{7}{{16}} < 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Do đó $f\left( x \right) = \frac{{-{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1-4{m^2}}}{{-4{x^2} + 5x-2}} > 0$ với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi:

g(x) = –x$^{2}$ + 4(m + 1)x + 1 – 4m$^{2}$ < 0 với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = -1 < 0\\\Delta ' = {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( { - 1} \right).\left( {1-4{m^2}} \right) < 0\end{array} \right.$

⇔ 4m$^{2}$ + 8m + 4 + 1 – 4m$^{2}$ < 0

⇔ 8m + 5 < 0

⇔ m < $- \frac{5}{8}.$

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình –2x$^{2}$ + 2(m – 2)x + m – 2 < 0

Đặt f(x) = –2x$^{2}$ + 2(m – 2)x + m – 2.

f(x) có ∆’ = (m – 2)$^{2}$ – (–2).(m – 2) = m$^{2}$ – 2m và hệ số a = –2 < 0.

Trường hợp 1. Xét ∆’ < 0. Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 2. Xét ∆’ = 0. Ta có f(x) = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2\left( {m - 2} \right)}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{{m - 2}}{2}.$

Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \ne \frac{{m - 2}}{2}.$

Trường hợp 3. Xét ∆’ > 0.

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ < x$_{2}$.

Khi đó bất phương trình f(x) < 0 có nghiệm x ∈ (–∞; x$_{1}$) ∪ (x$_{2}$; +∞).

Cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi m ∈ ℝ.