Bài tập Bài 5. Phép chia đa thức một biến có đáp án

a) x$^{5}$ : x$^{3}$ = x$^{5}$$^{- 3}$ = x$^{2}$.

b) (4x$^{3}$) : x$^{2}$ = 4 . x$^{3}$ : x$^{2}$ = 4 . x$^{3}$$^{- 2}$ = 4x.

c) (ax$^{m}$) : (bx$^{n}$) = $\frac{a{x}^{m}}{b{x}^{n}}=\frac{a}{b}.\frac{{x}^{m}}{{x}^{n}}$ = (a : b) . x$^{m}$$^{- n}$ (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n $\in ℕ$; m ≥ n).

a) (3x$^{6}$) : (0,5x$^{4}$) = (3 : 0,5) . (x$^{6}$ : x$^{4}$) = 6x$^{2}$.

b) (-12x$^{m + 2}$) : (4x$^{n + 2}$) = (-12 : 4) . (x$^{m + 2}$ : x$^{n + 2}$) = -3 . x$^{m + 2}$$^{- n}$$^{- 2}$ = -3x$^{m}$$^{- n}$.

a) Độ dài cạnh kề với MN của hình chữ nhật (I) là A : c = ac : c = a.

Độ dài cạnh kề với PQ của hình chữ nhật (II) là B : c = bc : c = b.

Khi đó NP = a + b.

b) Diện tích MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) bằng ac + bc.

Khi đó độ dài NP là thương trong phép chia diện tích hình chữ nhật MNPQ cho MN.

Hay NP = (ac + bc) : c = (A + B) : c.

Mà NP = a + b = A : c + B : c.

Do đó (A + B) : c = A : c + B : c.

a) Chia từng đơn thức (của biến x) có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x), ta được:

4x$^{2}$ : 2x = (4 : 2) . (x$^{2}$ : x) = 2x.

3x : 2x = (3 : 2) . (x : x) = $\frac{3}{2}$.

b)

b) Các thương vừa tìm được gồm: 2x; $\frac{3}{2}$.

Cộng các thương đó ta được:

4x$^{2}$ : 2x + 3x : 2x = 2x + $\frac{3}{2}$.

$(\frac{1}{2}{x}^{4}-\frac{1}{4}{x}^{3}+x):(-\frac{1}{8}x)$

$=\frac{1}{2}{x}^{4}:(-\frac{1}{8}x)-\frac{1}{4}{x}^{3}:(-\frac{1}{8}x)+x:(-\frac{1}{8}x)$

$=(\frac{1}{2}:\frac{-1}{8}).({x}^{4}:x)-(\frac{1}{4}:\frac{-1}{8}).({x}^{3}:x)+(1:\frac{-1}{8}).(x:x)$

$=\frac{-8}{2}.{x}^{3}-\frac{-8}{4}.{x}^{2}+(-8)$

= -4x3 + 2x2 - 8.

a) Lấy 2x$^{2}$ chia cho 2x được x, viết x.

Lấy x nhân với 2x + 1 được 2x$^{2}$ + x, viết 2x$^{2}$ + x.

Lấy 2x$^{2}$ + 5x + 2 trừ đi 2x$^{2}$ + x được 4x + 2, viết 4x + 2.

Lấy 4x chia cho 2x được 2, viết 2.

Lấy 2 nhân với 2x + 1 được 4x + 2, viết 4x + 2.

Lấy 4x + 2 trừ 4x + 2 được 0, viết 0.

Ta có phép tính như sau:

Vậy (2x$^{2}$ + 5x + 2) : (2x + 1) = x + 2.

b) Lấy 3x$^{3}$ chia cho x$^{2}$ được 3x, viết 3x.

Lấy 3x nhân với x$^{2}$ + 1 được 3x$^{3}$ + 3x, viết 3x$^{3}$ + 3x.

Lấy 3x$^{3}$ - 5x$^{2}$ + 2 trừ đi 3x$^{3}$ + 3x được -5x$^{2}$ - 3x + 2, viết -5x$^{2}$ - 3x + 2.

Lấy -5x$^{2}$ chia cho x$^{2}$ được -5, viết -5.

Lấy -5 nhân với x$^{2}$ + 1 được -5x$^{2}$ - 5, viết -5x$^{2}$ - 5.

Lấy -5x$^{2}$ - 3x + 2 trừ đi -5x$^{2}$ - 5 được -3x + 7, viết -3x + 7.

Bậc của đa thức -3x + 7 bằng 1, nhỏ hơn bậc của đa thức x$^{2}$ + 1 bằng 2 nên phép chia kết thúc.

Ta có phép tính như sau:

$\begin{matrix} & 3{\text{x}}^{3} & - & 5{\text{x}}^{2} & & & + & 2 \\ \overline{} & 3{\text{x}}^{3} & & & + & 3\text{x} & & \\ & & - & 5{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} & + & 2 \\ & \overline{} & - & 5{\text{x}}^{2} & & & - & 5 \\ & & & & - & 3\text{x} & + & 7\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & + & 1 \\ 3\text{x} & - & 5 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy 3x$^{3}$ - 5x$^{2}$ + 2 = (3x - 5) . (x$^{2}$ + 1)+ (-3x + 7).

a) Thực hiện phép chia ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{3} & & & & & + & 1 \\ \overline{} & {x}^{3} & - & {x}^{2} & + & x & & \\ & & & {x}^{2} & - & x & + & 1 \\ & & \overline{} & {x}^{2} & - & x & + & 1 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & x & + & 1 \\ x & + & 1 & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy (x3 + 1) : (x2 - x + 1) = x + 1.

b) Thực hiện phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 8{x}^{3} & - & 6{\text{x}}^{2} & & & + & 5 \\ \overline{} & 8{\text{x}}^{3} & + & 8{\text{x}}^{2} & + & 8\text{x} & & \\ & & - & 14{\text{x}}^{2} & - & 8\text{x} & + & 5 \\ & \overline{} & - & 14{\text{x}}^{2} & - & 14\text{x} & - & 14 \\ & & & & & \text{6x} & + & 19\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & + & x & + & 1 \\ 8\text{x} & - & 14 & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy 8x3 - 6x2 + 5 = (8x - 14) . (x2 + x + 1) + (6x + 19).

a) (4x$^{3}$) : (-2x$^{2}$) = [4 : (-2)] . (x$^{3}$ : x$^{2}$) = -2x.

b) (-7x$^{2}$) : (6x) = (-7 : 6) . (x$^{2}$ : x) = $\frac{-7}{6}$x.

c) (-14x$^{4}$) : (-8x$^{3}$) = [(-14) : (-8)] . (x$^{4}$ : x$^{3}$) = $\frac{7}{4}$x.

a) (8x$^{3}$ + 2x$^{2}$ - 6x) : (4x)

= (8x$^{3}$ : 4x) + (2x$^{2}$ : 4x) - (6x : 4x)

= 2x$^{2}$ + $\frac{1}{2}$x - $\frac{3}{2}$.

b) (5x$^{3}$ - 4x) : (-2x)

= [5x$^{3}$ : (-2x)] - [4x : (-2x)]

= $\frac{-5}{2}$x$^{2}$ - (-2)

= $\frac{-5}{2}$x$^{2}$ + 2.

c) (-15x$^{6}$ - 24x$^{3}$) : (-3x$^{2}$)

= (-15x$^{6}$) : (-3x$^{2}$) - 24x$^{3}$ : (-3x$^{2}$)

= 5x$^{4}$ - (-8x)

= 5x$^{4}$ + 8x.

a) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{2} & - & 2\text{x} & + & 1 \\ \overline{} & {x}^{2} & - & x & & \\ & & - & x & + & 1 \\ & \overline{} & - & x & + & 1 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}x & - & 1 \\ x & - & 1 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy (x2 - 2x + 1) : (x - 1) = x - 1.

b) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{3} & + & 2{\text{x}}^{2} & + & x \\ \overline{} & {x}^{3} & + & {x}^{2} & & \\ & & & {x}^{2} & + & x \\ & & \overline{} & {x}^{2} & + & x \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & + & x \\ x & + & 1 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy (x3 + 2x2 + x) : (x2 + x) = x + 1.

c) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & -16{\text{x}}^{4} & & & + & 1 \\ \overline{} & -16{\text{x}}^{4} & + & 4{\text{x}}^{2} & & \\ & & & -4{\text{x}}^{2} & + & 1 \\ & & \overline{} & -4{\text{x}}^{2} & + & 1 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}-4{\text{x}}^{2} & + & 1 \\ 4{\text{x}}^{2} & + & 1 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy (-16x4 + 1) : (-4x2 + 1) = 4x2 + 1.

d) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & -32{\text{x}}^{5} & & & & & & & & & + & 1 \\ \overline{} & -32{\text{x}}^{5} & + & 16{\text{x}}^{4} & & & & & & & & \\ & & & -16{\text{x}}^{4} & & & & & & & + & 1 \\ & & \overline{} & -16{\text{x}}^{4} & + & 8{\text{x}}^{3} & & & & & & \\ & & & & & -8{\text{x}}^{3} & & & & & + & 1 \\ & & & & \overline{} & -8{\text{x}}^{3} & + & 4{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & & & & & -4{\text{x}}^{2} & & & + & 1 \\ & & & & & & \overline{} & -4{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & & \\ & & & & & & & & & -2\text{x} & + & 1 \\ & & & & & & & & \overline{} & -2\text{x} & + & 1 \\ & & & & & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}-2\text{x} & + & 1 & & & & & & \\ 16{\text{x}}^{4} & + & 8{\text{x}}^{3} & + & 4{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & + & 1 \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \end{matrix}$

Vậy (-32x5 + 1) : (-2x + 1) = 16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + 1.

a) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{2} & - & 2\text{x} & + & 1 \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{2} & - & 2\text{x} & & \\ & & & & & 1\end{matrix}\begin{matrix}3\text{x} & - & 1 \\ 2\text{x} & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy 6x2 - 2x + 1 = 2x . (3x - 1) + 1.

b) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & 27{\text{x}}^{3}\ +\ {x}^{2}\ -x\ +\ 1 & & & & \\ \overline{} & \ 27{\text{x}}^{3}\ -\ \frac{27}{2}{x}^{2}\ & & & & \\ & \ \frac{29}{2}{x}^{2}\ -\ x\ +\ 1 & & & & \\ \overline{} & \ \frac{29}{2}{x}^{2}-\frac{29}{4}x\ & & & & \\ & \ \frac{25}{4}x\ +\ 1 & & & & \\ \overline{} & \ \frac{25}{4}x\ -\ \frac{25}{8} & & & & \\ & \ \frac{33}{8} & & & & \end{matrix}\begin{matrix}-2\text{x}+1 & & \\ \frac{-27}{2}{x}^{2}-\frac{29}{4}x-\frac{25}{8} & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy 27x3 + x2 - x + 1 = $(\frac{-27}{2}{x}^{2}-\frac{29}{4}x-\frac{25}{8})$ . (-2x + 1) + $\frac{33}{8}$.

c) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & 8{\text{x}}^{3} & + & 2{\text{x}}^{2} & + & x & & \\ \overline{} & 8{\text{x}}^{3} & & & + & 4\text{x} & + & 4 \\ & & & 2{x}^{2} & - & 3\text{x} & - & 4\end{matrix}\begin{matrix}2{\text{x}}^{3} & + & x & + & 1 \\ 4 & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy 8x3 + 2x2 + x = 4(2x3 + x + 1) + (-3x - 4).

d) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & 3{\text{x}}^{4}+8{\text{x}}^{3}-2{\text{x}}^{2}+x+1 \\ \overline{} & 3{\text{x}}^{4}+{x}^{3}\ \\ & \ 7{\text{x}}^{3}-2{\text{x}}^{2}+x+1 \\ \overline{} & 7{\text{x}}^{3}+\frac{7}{3}{x}^{2}\ \\ & \ \frac{-13}{3}{x}^{2}+x+1 \\ \overline{} & \ \frac{-13}{3}{x}^{2}-\frac{13}{9}x \\ & \ \frac{22}{9}x+1 \\ \overline{} & \ \frac{22}{9}x+\frac{22}{27} \\ & \ \frac{5}{27}\end{matrix}\begin{matrix}3\text{x}+1 \\ {x}^{3}+\frac{7}{3}{x}^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{22}{27} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix}$

Vậy

Giá sản phẩm sau khi đã tăng giá là 2x + 30 (nghìn đồng).

Khi đó số sản phẩm mà công ty bán được là thương trong phép chia 6x$^{2}$ + 170x + 1 200 cho 2x + 30.

Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{2} & + & 170\text{x} & + & 1200 \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{2} & + & 90\text{x} & & \\ & & & 80\text{x} & + & 1200 \\ & & \overline{} & 80\text{x} & + & 1200 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2\text{x} & + & 30 \\ 3\text{x} & + & 40 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy số sản phẩm mà công ty đó đã bán được là 3x + 40 sản phẩm.

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(x + 1)(x + 2) = x . x + x . 2 + 1 . x + 1 . 2 = x$^{2}$ + 2x + x + 2 = x$^{2}$ + 3x + 2 (cm$^{2}$).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là thương trong phép chia thể tích hình hộp chữ nhật cho diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đó.

Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{3} & + & 6{x}^{2} & + & 11\text{x} & + & 6 \\ \overline{} & {x}^{3} & + & 3{\text{x}}^{2} & + & 2x & & \\ & & & 3{\text{x}}^{2} & + & 9\text{x} & + & 6 \\ & & \overline{} & 3{\text{x}}^{2} & + & 9\text{x} & + & 6 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & + & 3\text{x} & + & 2 \\ x & + & 3 & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là x + 3 cm.