Bài tập Bài 4. Phép nhân và phép chia đa thức một biến có đáp án

(4x - 3)(2x$^{2}$ + 5x - 6)

= 4x . (2x$^{2}$ + 5x - 6) + (-3) . (2x$^{2}$ + 5x - 6)

= 4x . 2x$^{2}$ + 4x . 5x + 4x . (-6) + (-3) . 2x$^{2}$ + (-3) . 5x + (-3) . (-6)

= 8x$^{3}$ + 20x$^{2}$ - 24x - 6x$^{2}$ - 15x + 18

= 8x$^{3}$ + (20x$^{2}$ - 6x$^{2}$) + (-24x - 15x) + 18

= 8x$^{3}$ + 14x$^{2}$ - 39x + 18

Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là: (x + 3)(x - 1)(x - 2)

= [x . x + x . (-1) + 3 . x + 3 . (-1)] . (x - 2)

= (x$^{2}$ - x + 3x - 3) . (x - 2)

= (x$^{2}$ + 2x - 3) . (x - 2)

= x$^{2}$ . x + x$^{2}$ . (-2) + 2x . x + 2x . (-2) + (-3) . x + (-3) . (-2)

= x$^{3}$ - 2x$^{2}$ + 2x$^{2}$ - 4x - 3x + 6

= x$^{3}$ + (-2x$^{2}$ + 2x$^{2}$) + (-4x - 3x) + 6

= x$^{3}$ - 7x + 6

Vậy đa thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là x$^{3}$ - 7x + 6.

(3x + 1)(x$^{2}$ - 2x + 1) = 3x . (x$^{2}$ - 2x + 1) + 1 . (x$^{2}$ - 2x + 1)

= 3x . x$^{2}$ + 3x . (-2x) + 3x . 1 + x$^{2}$ - 2x + 1

= 3x$^{3}$ - 6x$^{2}$ + 3x + x$^{2}$ - 2x + 1

= 3x$^{3}$ + (-6x$^{2}$ + x$^{2}$) + (3x - 2x) + 1

= 3x$^{3}$ - 5x$^{2}$ + x + 1

Khi đó (3x$^{3}$ - 5x$^{2}$ + x + 1) : (3x + 1) = x$^{2}$ - 2x + 1.

Thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức P(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 6x$^{2}$ : 2x = 3x.

Lấy P(x) trừ 3x . Q(x) ta được dư thứ nhất: 6x$^{2}$ + 4x - 3x . 2x = 6x$^{2}$ + 4x - 6x$^{2}$ = 4x

$\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{2} & + & 4\text{x} \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{2} & & \\ & & & 4\text{x}\end{matrix}\begin{matrix}2x & & & \\ 3\text{x} & & & \\ & & & \end{matrix}$

Bước 2: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 4x : 2x = 2.

Lấy dư thứ nhất trừ đi 2 . Q(x) ta được dư thứ hai: 4x - 2 . 2x = 4x - 4x = 0.

Do dư bằng 0 nên dừng phép chia.

$\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{2} & + & 4\text{x} \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{2} & & \\ & & & 4\text{x} \\ & & \overline{} & 4\text{x} \\ & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2\text{x} & & \\ 3\text{x} & + & 2 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy P(x) : Q(x) = 3x + 2.

Ta có 9x$^{2}$ + 5x + x = 9x$^{2}$ + 6x.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & {\text{9x}}^{2} & + & \text{6x} \\ \overline{} & {\text{9x}}^{2} & & \\ & & & \text{6x} \\ & & \overline{} & \text{6x} \\ & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}\text{3x} & & \\ 3\text{x} & + & 2 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy $\frac{9{\text{x}}^{2}+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2.

2 - x = -x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 2{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} & - & 2 \\ \overline{} & 2{\text{x}}^{2} & - & 4\text{x} & & \\ & & & x & - & 2 \\ & & \overline{} & x & - & 2 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}-x & + & 2 \\ -2\text{x} & - & 1 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy $\frac{2{\text{x}}^{2}-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{2} & + & 5\text{x} & + & 9 \\ \overline{} & {x}^{2} & + & 2\text{x} & & \\ & & & 3\text{x} & + & 9 \\ & & \overline{} & 3\text{x} & + & 6 \\ & & & & & 3\end{matrix}\begin{matrix}x & + & 2 \\ x & + & 3 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy x$^{2}$ + 5x + 9 = (x + 2) . (x + 3) + 3.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & {x}^{3} & + & 8{\text{x}}^{2} & + & 19\text{x} & + & 12 \\ \overline{} & {x}^{3} & + & 3{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & 5{\text{x}}^{2} & + & 19\text{x} & + & 12 \\ & & \overline{} & 5{\text{x}}^{2} & + & 15\text{x} & & \\ & & & & & 4\text{x} & + & 12 \\ & & & & \overline{} & 4\text{x} & + & 12 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}x & + & 3 & & \\ {x}^{2} & + & 5\text{x} & + & 4 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (x$^{2}$ + 5x + 4) cm$^{2}$.

a) (4x - 3)(x + 2)

= 4x . x + 4x . 2 + (-3) . x + (-3) . 2

= 4x$^{2}$ + 8x - 3x - 6

= 4x$^{2}$ + (8x - 3x) - 6

= 4x$^{2}$ + 5x - 6

b) (5x + 2)(-x$^{2}$ + 3x + 1)

= 5x . (-x$^{2}$) + 5x . 3x + 5x . 1 + 2 . (-x$^{2}$) + 2 . 3x + 2 . 1

= -5x$^{3}$ + 15x$^{2}$ + 5x - 2x$^{2}$ + 6x + 2

= -5x$^{3}$ + (15x$^{2}$ - 2x$^{2}$) + (5x + 6x) + 2

= -5x$^{3}$ + 13x$^{2}$ + 11x + 2

c) (2x$^{2}$ - 7x + 4)(-3x$^{2}$ + 6x + 5)

= 2x$^{2}$ . (-3x$^{2}$) + 2x$^{2}$ . 6x + 2x$^{2}$ . 5 - 7x . (-3x$^{2}$) - 7x . 6x - 7x . 5 + 4 . (-3x$^{2}$) + 4 . 6x + 4 . 5

= -6x$^{4}$ + 12x$^{3}$ + 10x$^{2}$ + 21x$^{3}$ - 42x$^{2}$ - 35x - 12x$^{2}$ + 24x + 20

= -6x$^{4}$ + (12x$^{3}$ + 21x$^{3}$) + (10x$^{2}$ - 42x$^{2}$ - 12x$^{2}$) + (-35x + 24x) + 20

= -6x$^{4}$ + 33x$^{3}$ - 44x$^{2}$ - 11x + 20

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên ngoài là:

(2x + 4)(3x + 2)

= 2x . 3x + 2x . 2 + 4 . 3x + 4 . 2

= 6x$^{2}$ + 4x + 12x + 8

= 6x$^{2}$+ (4x + 12x) + 8

= 6x$^{2}$ + 16x + 8

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên trong là:

x . (x + 1)

= x . x + x . 1

= x$^{2}$ + x

Do đó biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là:

(6x$^{2}$ + 16x + 8) - (x$^{2}$ + x)

= 6x$^{2}$ + 16x + 8 - x$^{2}$ - x

= (6x$^{2}$ - x$^{2}$) + (16x - x) + 8

= 5x$^{2}$ + 15x + 8

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là 5x$^{2}$ + 15x + 8.

a) (8x$^{6}$ - 4x$^{5}$ + 12x$^{4}$ - 20x$^{3}$) : 4x$^{3}$

= (8x$^{6}$ : 4x$^{3}$) + (-4x$^{5}$ : 4x$^{3}$) + (12x$^{4}$ : 4x$^{3}$) + (-20x$^{3}$) : 4x$^{3}$

= 2x$^{3}$ - x$^{2}$ + 3x - 5

Vậy (8x$^{6}$ - 4x$^{5}$ + 12x$^{4}$ - 20x$^{3}$) : 4x$^{3}$ = 2x$^{3}$ - x$^{2}$ + 3x - 5.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 2{\text{x}}^{2} & - & 5\text{x} & + & 3 \\ \overline{} & 2{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} & & \\ & & - & 2\text{x} & + & 3 \\ & \overline{} & - & 2\text{x} & + & 3 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2\text{x} & - & 3 \\ x & - & 1 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy (2x$^{2}$ - 5x + 3) : (2x - 3) = x - 1.

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 4{\text{x}}^{2} & & & - & 5 \\ \overline{} & 4{\text{x}}^{2} & - & 8\text{x} & & \\ & & & 8\text{x} & - & 5 \\ & & \overline{} & 8\text{x} & - & 16 \\ & & & & & 11\end{matrix}\begin{matrix}x & - & 2 & & \\ 4\text{x} & + & 8 & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy 4x$^{2}$ - 5 = (4x + 8)(x - 2) + 11.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 3{\text{x}}^{3} & - & 7\text{x} & + & 2 \\ \overline{} & 3{\text{x}}^{3} & - & \frac{9}{2}x & & \\ & & - & \frac{5}{2}x & + & 2\end{matrix}\begin{matrix}2{x}^{2} & - & 3 \\ \frac{3}{2}x & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy 3x$^{3}$ - 7x + 2 = $\frac{3}{2}$x . (2x$^{2}$ - 3) + $(-\frac{5}{2}x+2)$ = $\frac{3}{2}$x . (2x$^{2}$ - 3) - $\frac{5}{2}$x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{matrix} & 4{y}^{2} & + & 4y & - & 3 \\ \overline{} & 4{y}^{2} & - & 2y & & \\ & & & 6y & - & 3 \\ & & \overline{} & 6y & - & 3 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2y & - & 1 \\ 2y & + & 3 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đó bằng (2y + 3) cm.

Thực hiện đặt phép chia để tìm diện tích đáy của hình hộp chữ nhật ta được:

$\begin{matrix} & 3{\text{x}}^{3} & + & 8{x}^{2} & - & 45\text{x} & - & 50 \\ \overline{} & 3{\text{x}}^{3} & + & 3{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & 5{\text{x}}^{2} & - & 45x & - & 50 \\ & & \overline{} & 5{\text{x}}^{2} & + & 5\text{x} & & \\ & & & & - & 50\text{x} & - & 50 \\ & & & \overline{} & - & 50\text{x} & - & 50 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}x & + & 1 & & \\ 3{\text{x}}^{2} & + & 5\text{x} & - & 50 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Do đó diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (3x$^{2}$ + 5x - 50) cm$^{2}$.

Thực hiện đặt phép chia để tìm ra chiều rộng của hình hộp chữ nhật ta được:

$\begin{matrix} & 3{\text{x}}^{2} & + & 5\text{x} & - & 50 \\ \overline{} & 3{\text{x}}^{2} & + & 15\text{x} & & \\ & & - & 10\text{x} & - & 50 \\ & \overline{} & - & 10\text{x} & - & 50 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}x & + & 5 \\ 3\text{x} & - & 10 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Vậy chiều rộng của hình hộp chữ nhật bằng (3x - 10) cm.