Bài tập Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù).

Để giếng chung khoan trong vườn cách đều ba ngôi nhà thì vị trí của giếng phải là giao của ba đường trung trực của tam giác được tạo thành từ vị trí ba ngôi nhà với ba ngôi nhà là ba đỉnh của tam giác.

Ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm.

a) Do O nằm trên đường trung trực của cạnh BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực).

Do O nằm trên đường trung trực của cạnh CA nên OC = OA (tính chất đường trung trực).

b) Do OB = OC và OC = OA nên OA = OB.

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Giả sử tam giác đều ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G.

Do DABC đều nên DABC cân tại A.

Theo kết quả của câu a, Ví dụ 1, trang 78, 79 ta có:

AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM là đường trung trực của cạnh BC.

Tương tự, ta cũng có:

• DABC đều nên DABC cân tại B, do đó BN là đường trung trực của cạnh AC;

• DABC đều nên DABC cân tại C, do đó CP là đường trung trực của cạnh AB.

Mà ba đường trung trực AM, BN và CP cắt nhau tại trọng tâm G

Do đó G cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Vậy trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.

Khi đó đường thẳng nối 2 trong 3 nhà với nhau là cạnh của tam giác.

Giếng cách đều 3 ngôi nhà tức giếng cách đều 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA = QB = QC.

Do QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB.

Do QB = QC nên Q nằm trên đường trung trực của BC.

Do QC = QA nên Q nằm trên đường trung trực của CA.

Do đó Q là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Đường cao của tam giác là đạon thẳng kẻ từ đỉnh xuống cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện.

Mà mỗi tam giác có 3 đỉnh và mỗi đỉnh có 1 cạnh đối diện tương ứng nên mỗi tam giác có ba đường cao.

Ba đường cao của tam giác ABC cùng đi qua một điểm.

a)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của BC.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Do đó A nằm trên đường trung trực của BC.

Suy ra AM là đường trung trực của BC nên AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

Xét DABM và DACM có:

AB = AC (do DABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

AM là cạnh chung

Do đó DABM = DACM (c.c.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Nên AM là tia phân giác của .

Vậy đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

b)

Giả sử tam giác ABC đều có O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác

Hay AO, BO, CO lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, AC, AB.

Do DABC đều nên DABC cân tại A.

Do đó theo câu a), ba đường trung trực AO, BO, CO của các cạnh BC, AC, AB lần lượt là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C của tam giác.

Mà ba đường phân giác AO, BO, CO cắt nhau tại O nên O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét tam giác HAB có HD $\perp$ BC, BF $\perp$ HC.

HD cắt BF tại A nên A là trực tâm của DHBC.

Xét tam gaisc HCA có HE ⊥ AC, AF ⊥ HC.

HE cắt AF tại B nên B là trực tâm của tam giác HBC.

Xét tam giác HAC có HF $\perp$ AB, AE $\perp$ HB.

HF cắt AE tại C nên C là trực tâm của tam giác HAB.

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{F\text{A}H}$ (2 góc đối đỉnh), $\widehat{DAC}=\widehat{HAE}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $\widehat{BA\text{D}}+\widehat{DAC}=\widehat{F\text{AH}}+\widehat{E\text{AH}}$ = 100$^{o}$.

Xét $ΔF\text{A}H$ vuông tại F: $\widehat{FHA}+\widehat{F\text{A}H}$ = 90$^{o}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{FHA}=90^{\circ}-\widehat{F\text{A}H}$.

Xét $ΔE\text{A}H$ vuông tại E: $\widehat{EHA}+\widehat{\text{EA}H}$ = 90$^{o}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{EHA}=90^{\circ}-\widehat{\text{EA}H}$.

Khi đó $\widehat{FHA}+\widehat{EHA}=90^{\circ}-\widehat{F\text{A}H}+90^{\circ}-\widehat{E\text{A}H}$

hay $\widehat{BHC}=180^{\circ}-(\widehat{F\text{A}H}+\widehat{E\text{AH}})$.

Do đó $\widehat{BHC}$ = 180$^{o}$ - 100$^{o}$ = 80$^{o}$.

Vậy $\widehat{BHC}$ = 80$^{o}$.

Giả sử O nằm trên cạnh BC của tam giác ABC, khi đó OA = OB = OC (O cách đều ba đỉnh của tam giác).

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

Suy ra, $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

Vì OA = OC nên tam giác OAC cân tại O

Suy ra, $\widehat{OAC}=\widehat{OC\text{A}}$

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

Lại có: Khi đó $\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=\widehat{OBA}+\widehat{OC\text{A}}$ hay $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$.

Suy ra $2\widehat{A}=180^{\circ}$

Nên $\widehat{A}=180^{\circ}:2=90^{\circ}$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

a)

Để xác định bán kính của đường tròn này ta thực hiện như sau:

Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền của chi tiết máy.

Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OB là bán kính của đường tròn.

b) Coi 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều A và B nên MA = MB.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB.

Do M cách đều B và C nên MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của BC.

Vậy M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm. Điểm này chính là điểm C.

Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm. Điểm này chính là điểm B.

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.