Bài tập Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Ta có: $\overrightarrow{IM}$ = (x – a; y – b).

Khi đó IM = $|\overrightarrow{IM}|=\sqrt{{(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}}$.

Vậy khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy là IM = $\sqrt{{(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}}$.

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: (x – 0)$^{2}$+ (y – 0)$^{2}$= 4$^{2}$ hay x$^{2}$+ y$^{2}$= 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: x$^{2}$+ y$^{2}$= 16.

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$= 8$^{2}$ hay (x − 2)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$= 64.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$= 64.

c) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:

$\overrightarrow{AI}(a-1;b-4)$ ⇒ AI = $\sqrt{{(a-1)}^{2}+{(b-4)}^{2}}$;

$\overrightarrow{BI}(a;b-1)$ ⇒ BI = $\sqrt{{a}^{2}+{(b-1)}^{2}}$;

$\overrightarrow{CI}(a-4;b-3)$ ⇒ CI = $\sqrt{{(a-4)}^{2}+{(b-3)}^{2}}$.

Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

AI = BI = CI = R

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}\sqrt{{(a-1)}^{2}+{(b-4)}^{2}} & =\sqrt{{a}^{2}+{(b-1)}^{2}} \\ \sqrt{{(a-4)}^{2}+{(b-3)}^{2}} & =\sqrt{{a}^{2}+{(b-1)}^{2}}\end{matrix}$

⇔ $\{\begin{matrix}{a}^{2}-2a+1+{b}^{2}-8b+16={a}^{2}+{b}^{2}-2b+1 & \\ {a}^{2}-8a+16+{b}^{2}=6b+9={a}^{2}+{b}^{2}-2b+1 & \end{matrix}$

⇔ $\{\begin{matrix}a+3b=8 \\ 2a+b=6\end{matrix}$

⇔ $\{\begin{matrix}5a=10 \\ 2a+b=6\end{matrix}$

⇔ $\{\begin{matrix}b=2 \\ a=2\end{matrix}$

Suy ra tâm I(2; 2)

Bán kính của đường tròn (C) là: R = $\sqrt{{a}^{2}+{(b-1)}^{2}}$ = $\sqrt{{2}^{2}+{(2-1)}^{2}}$ = $\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn (C) là:

(x – 2)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = ${(\sqrt{5})}^{2}$

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 5.

a) Phương trình đã cho có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 1$^{2}$ + 2$^{2}$ + 20 = 25 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

b) Phương trình có dạng (x − a)$^{2}$ + (y − b)$^{2}$ = R$^{2}$ với a = −5; b = −1; R = 11.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(−5; −1) và bán kính R = 11.

c) Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 2$^{2}$ + 4$^{2}$ – 5 = 15 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = $\sqrt{15}$.

d) Ta có: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + 6x + 8y – 2 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + 3x + 4y – 1 = 0.

Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = $-\frac{3}{2}$; b = −2; c = −1.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = $(-\frac{3}{2})$ + (−2)$^{2}$ + 1 = $\frac{29}{4}$ > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-\frac{3}{2};-2)$ và bán kính R = $\frac{\sqrt{29}}{2}$.

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là:

(x − 30)$^{2}$ + (y − 40)$^{2}$ = 50$^{2}$ hay (x − 30)$^{2}$ + (y − 40)$^{2}$ = 2 500.

Vậy phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là (x − 30)$^{2}$ + (y − 40)$^{2}$ = 2 500.

a) Đường tròn (C): (x – 13)$^{2}$ + (y − 4)$^{2}$ = 16 có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(11 − 13)$^{2}$ + (4 − 4)$^{2}$ = 4 < 16 .

⇒ Diễn viên A đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

Do vậy diễn viên A đang được đèn chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(8 − 13)$^{2}$ + (5 − 4)$^{2}$ = 26 >16 ,

⇒ Diễn viên B đứng ngoài vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(15 − 13)$^{2}$ + (5 − 4)$^{2}$ = 5 < 16 ⇒ Diễn viên C đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên C đang được chiếu sáng.

Vậy diễn viên A và C đang được đèn chiếu sáng, diễn viên B không được chiếu sáng.

c) Phương trình $\overrightarrow{{M}_{0}M}.\overrightarrow{{M}_{0}I}$ = 0 tức là

(x – x$_{0}$).(a – x$_{0}$) + (y – y$_{0}$).(b – y$_{0}$) = 0 ⇔ (a – x$_{0}$).(x – x$_{0}$) + (b – y$_{0}$).(y – y$_{0}$) = 0 (1)

Mặt khác:

Vì Δ là tiếp tuyến với (C) tại M$_{0}$ nên M$_{0}$I ⊥ Δ

⇒ Đường thẳng Δ nhận vectơ $\overrightarrow{{M}_{0}I}$ = (a – x$_{0}$; b – y$_{0}$) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua điểm M$_{0}$(x$_{0}$;y$_{0}$) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{M}_{0}I}$ = (a – x$_{0}$; b – y$_{0}$) có phương trình là: (a – x$_{0}$).(x – x$_{0}$) + (b – y$_{0}$).(y – y$_{0}$) = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{{M}_{0}M}.\overrightarrow{{M}_{0}I}$ = 0 là phương trình đường thẳng Δ.

Vậy phương trình $\overrightarrow{{M}_{0}M}.\overrightarrow{{M}_{0}I}$ = 0 là phương trình của đường thẳng Δ.

Phương trình đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2x − 4y − 20 = 0 có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 1$^{2}$ + 2$^{2}$ + 20 = 25.

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2x − 4y − 20 = 0 tại điểm A(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

Đường tròn (C): (x − 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ = $\frac{169}{144}$ có tâm I(1; 1).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1 − $\frac{17}{12}$ )(x − $\frac{17}{12}$ ) + (1 − 2)(y − 2) = 0 ⇔ $\frac{5}{12}$ x + y − $\frac{373}{144}$ = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là $\frac{5}{12}$ x + y − $\frac{373}{144}$ = 0.

a) Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 3, b = 4, c = 21.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ – 21 = 4 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{4}$ = 2.

b) Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1, b = −2, c = 2.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = 1$^{2}$ + (−2)$^{2}$ – 2 = 3 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; −2) và có bán kính R = $\sqrt{3}$.

c) Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = $\frac{3}{2}$ , b = −1, c = 7.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = ${(\frac{3}{2})}^{2}$ + (−1)$^{2}$ −7 = −3,75 < 0.

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) Ta có: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + x + y – 1 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{2}$ y −$\frac{1}{2}$ = 0.

Phương trình có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0 với a = $-\frac{1}{4}$, b = $-\frac{1}{4}$, c = $-\frac{1}{2}$

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ − c = ${(-\frac{1}{4})}^{2}+{(-\frac{1}{4})}^{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$ > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-\frac{1}{4};-\frac{1}{4})$ và bán kính R = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN ⇒ $I(\frac{3+9}{2};\frac{-1+3}{2})$ ⇒ I(6; 1)

Ta có: $\overrightarrow{MI}$ = (6−3; 1+1) = (3; 2).

R = MI = $|\overrightarrow{MI}|=\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{13}.$

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính R = $\sqrt{13}$ là: (x − 6)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ = 13.

c) Gọi ∆ là đường thẳng 5x − 12y + 11= 0.

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 5x − 12y + 11 = 0 nên bán kính R = d(I, ∆)

d(I, ∆) = $\frac{|5.2-12.1+11|}{\sqrt{{5}^{2}+{(-12)}^{2}}}$ = $\frac{9}{13}$ .

⇒ R = d(I, ∆) = $\frac{9}{13}$ .

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R = $\frac{9}{13}$ là: (x − 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ = $\frac{81}{169}$.

d) Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (4−1; −5+2) = (3; −3) ⇒ AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{3}^{2}+{(-3)}^{2}}=3\sqrt{2}$.

Vì (C) có tâm A(1; −2) và đi qua điểm B(4; −5) nên bán kính R = AB = $3\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm A(1; −2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 18.

a) Phương trình đường tròn có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}{2}^{2}+{5}^{2}-4a-10b+c=0 \\ {1}^{2}+{2}^{2}-2a-4b+c=0 \\ {5}^{2}+{4}^{2}-10a-8b+c=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-4a-10b+c=-29 \\ -2a-4b+c=-5 \\ -10a-8b+c=-41\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=3 \\ b=3 \\ c=13\end{matrix}$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 6x − 6y + 13 = 0.

b) Phương trình đường tròn có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}{6}^{2}-12b+c=0 \\ {7}^{2}+{7}^{2}-14a-14b+c=0 \\ {8}^{2}-16a+c=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-12b+c=-36 \\ -14a-14b+c=-98 \\ -16a+c=-64\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=4 \\ b=3 \\ c=0\end{matrix}$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: x$^{2}$ + y$^{2}$ − 8x − 6y = 0.

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x − a)$^{2}$ + (y − a)$^{2}$ = a$^{2}$.

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4 − a)$^{2}$ + (2 − a)$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ 16 − 8a + a$^{2}$ + 4 − 4a + a$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ a$^{2}$ − 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Với a = 10 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 10)$^{2}$ + (y − 10)$^{2}$ = 100.

Với a = 2 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 2)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ = 4.

Vậy (C): (x − 10)$^{2}$ + (y − 10)$^{2}$ = 100 hoặc (C): (x − 2)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ = 4.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C), ta có:

4$^{2}$ + 6$^{2}$ − 2.4 − 4.6 – 20 = 0

⇒ M ∈ (C).

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) x$^{2}$ + y$^{2}$ − 2x − 4y – 20 = 0 có a = 1; b = 2; c = −20.

Khi đó R = $\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+20}$ = 5 và tâm I(1; 2).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là:

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

c) Tiếp tuyến Δ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

Δ: 4x + 3y + c = 0 (với c ≠ 2022)

Ta có: d(I; Δ) $\frac{|4.1+3.2+c|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$ = R ⇔ 5 ⇔ $\frac{|10+c|}{5}$ = 5 ⇔ |10 + c| = 25 ⇔ c = 15 hoặc c = −35.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 là: Δ: 4x + 3y + 15 = 0 hoặc Δ: 4x + 3y – 35 = 0.

a) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 8,4 : 2 = 4,2 là:

x$^{2}$+ y$^{2}$= 17,64.

Vậy phương trình mô phỏng cái cổng là: x$^{2}$+ y$^{2}$= 17,64 (y ≥ 0)

b) Chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m tương ứng với x = 2,2 và chiều cao của cổng tại x = 2,2 phải lớn hơn 2,6 thì xe tải mới đi qua được.

Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được 2,2$^{2}$+ y$^{2}$= 17,64

⇒ y$^{2}$= 17,64 – 2,2$^{2}$ = 12,8

Vì y > 0 nên y = $\sqrt{12{,}8}$ ≈ 3,6 > 2,6.

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.