TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Bài 28. Phép chia đa thức một biến có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của A chia cho hạng tử có bậc cao nhất của B:

2x4^{4} : x2^{2} = 2x2^{2}.

Bước 2. Lấy A trừ đi tích B. 2x2^{2} ta được dư thứ nhất là -3x3^{3} + x2^{2} + 6x - 2.2x4−3x3−3x2+6x−2‾2x4−4x2−3x3+x2+6x−2x2−22x2\begin{matrix} & 2{\text{x}}^{4} & - & 3{\text{x}}^{3} & - & 3{\text{x}}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2 \\ \overline{} & 2{\text{x}}^{4} & & & - & 4{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & - & 3{\text{x}}^{3} & + & {x}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & 2 \\ 2{\text{x}}^{2} & & \\ & & \end{matrix}

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x3^{3}) : x2^{2} = -3x.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B. (-3x) ta được dư thứ hai là x2^{2} - 2.2x4−3x3−3x2+6x−2‾2x4−4x2−3x3+x2+6x−2−3x3+6xx2−2x2−22x2−3x\begin{matrix} & 2{\text{x}}^{4} & - & 3{\text{x}}^{3} & - & 3{\text{x}}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2 \\ \overline{} & 2{\text{x}}^{4} & & & - & 4{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & - & 3{\text{x}}^{3} & + & {x}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2 \\ & & - & 3{\text{x}}^{3} & & & + & 6\text{x} & & \\ & & & & & {x}^{2} & & & - & 2\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & 2 \\ 2{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}

Bước 5. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x2^{2} : x2^{2} = 1.

Bước 6. Lấy dư thứ hai trừ đi tích B. 1 ta được dư thứ ba là 0.2x4−3x3−3x2+6x−2‾2x4−4x2−3x3+x2+6x−2‾−3x3+6xx2−2‾x2−2x2−22x2−3x+1 0\begin{matrix}\begin{matrix} & 2{\text{x}}^{4} & - & 3{\text{x}}^{3} & - & 3{\text{x}}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2 \\ \overline{} & 2{\text{x}}^{4} & & & - & 4{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & - & 3{\text{x}}^{3} & + & {x}^{2} & + & 6\text{x} & - & 2 \\ & \overline{} & - & 3{\text{x}}^{3} & & & + & 6\text{x} & & \\ & & & & & {x}^{2} & & & - & 2 \\ & & & & \overline{} & {x}^{2} & & & - & 2\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & 2 & & \\ 2{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} & + & 1 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix} \\ \ \begin{matrix} & & & & & & & & & 0\end{matrix}\end{matrix}

Bước 7. Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x2^{2} - 3x + 1.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) 12x3^{3} : 4x = (12 : 4). (x3^{3} : x) = 3x2^{2}.

b) (-2x4^{4}) : x4^{4} = (-2). (x4^{4} : x4^{4}) = -2.

c) 2x5^{5} : 5x2^{2} = (2 : 5). (x5^{5} : x2^{2}) = 2/5x3^{3}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) Gọi 2 lũy thừa của x lần lượt là xm^{m} và xn^{n} (m, n∈N\in ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x là: xm^{m} : xn^{n} = xm^{m}−^{-}n^{n}.

Để xm^{m}−^{-}n^{n} là lũy thừa của x với số mũ nguyên dương thì m - n > 0 hay m > n.

Do đó m∈N\in ℕ, n∈N\in ℕ sao cho m > n .

b) Gọi hai lũy thừa của x cùng bậc là xm^{m} và xm^{m}(m∈N\in ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x cùng bậc là: xm^{m} : xm^{m} = 1.

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) 3x7^{7} : 12\frac{1}{2}x4^{4} = (3 :12\frac{1}{2}). (x7^{7} : x4^{4}) = 3.2.x3^{3} = 6x3^{3}.

b) (-2x) : x = -2. (x : x) = -2.

c) 0,25x5^{5} : (-5x2^{2}) = [0,25 : (-5)]. (x5^{5} : x2^{2}) = -0,05x3^{3}.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Ta có B . (2x2^{2} - 5x + 1) = (x2^{2} - 4x - 3) . (2x2^{2} - 5x + 1)

= x2^{2}.(2x2^{2} - 5x + 1) + (-4x).(2x2^{2} - 5x + 1) + (-3).(2x2^{2} - 5x + 1)

= x2^{2} . 2x2^{2} + x2^{2} . (-5x) + x2^{2} . 1 + (-4x) . 2x2^{2} + (-4x) . (-5x) + (-4x) . 1 + (-3) . 2x2^{2}

+ (-3) . (-5x) + (-3) . 1

= 2x4^{4} - 5x3^{3} + x2^{2} - 8x3^{3} + 20x2^{2} - 4x - 6x2^{2} + 15x - 3

= 2x4^{4} + (-5x3^{3} - 8x3^{3}) + (x2^{2} + 20x2^{2} - 6x2^{2}) + (-4x + 15x) - 3.

= 2x4^{4} - 13x3^{3} + 15x2^{2} + 11x - 3.

= A.

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x2^{2} - 5x + 1.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) (-x6^{6} + 5x4^{4} - 2x3^{3}) : 0,5x2^{2}

= -x6^{6} : 0,5x2^{2} + 5x4^{4} : 0,5x2^{2} + (-2x3^{3}) : 0,5x2^{2}

= (-1 : 0,5) . (x6^{6} : x2^{2}) + (5 : 0,5) . (x4^{4} : x2^{2}) + (-2 : 0,5) . (x3^{3} : x2^{2}).

= (-1 : 12\frac{1}{2})x4^{4} + (5 :12\frac{1}{2})x2^{2} + (-2 :12\frac{1}{2})x

= (-1 . 2)x4^{4} + (5 . 2)x2^{2} + (-2 . 2)x

= -2x4^{4} + 10x2^{2} - 4x

b) Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 9x2^{2} - 4 chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 3x + 2:

9x2^{2} : 3x = 3x.

Bước 2. Lấy đa thức 9x2^{2} - 4 trừ đi (3x + 2).3x ta được dư thứ nhất là -6x - 4.

Bước 3. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 3x + 2:

-6x : 3x = -2.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi -2(3x + 2) ta được dư thứ hai là 0 nên quá trình chia kết thúc.9x2+0x−4‾9x2+6x−6x−4‾−6x−43x+23x−2 0\begin{matrix}\begin{matrix} & 9{\text{x}}^{2} & + & 0\text{x} & - & 4 \\ \overline{} & 9{\text{x}}^{2} & + & 6\text{x} & & \\ & & - & 6\text{x} & - & 4 \\ & \overline{} & - & 6\text{x} & - & 4\end{matrix}\begin{matrix}3x & + & 2 \\ 3\text{x} & - & 2 \\ & & \\ & & \end{matrix} \\ \ \begin{matrix} & & & & & 0\end{matrix}\end{matrix}

Vậy (9x2^{2} - 4) : (3x + 2) = 3x - 2.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của đa thức D chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức E.

5x3^{3} : x2^{2} = 5x.

Bước 2. Lấy D trừ đi tích E. 5x ta được dư thứ nhất là -3x2^{2} - 6x + 7.

Hình minh hoạ

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức E.

-3x2^{2} : x2^{2} = -3.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E.(-3) ta được dư thứ hai là -6x + 10.

Bước 5. Đa thức -6x + 10 có bậc 1, đa thức E có bậc 2 nên phép chia dừng.

Hình minh hoạ

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Để thực hiện phép chia thì bậc của đa thức bị chia phải lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia.

Ta thấy bậc của đa thức dư G bằng 1, bậc của đa thức chia E bằng 2.

Do 1 < 2 nên phép chia không thể tiếp tục.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Ta có E. (5x - 3) + G = (x2^{2} + 1). (5x - 3) + (-6x + 10).

= x2^{2}(5x - 3) + 1.(5x - 3) - 6x + 10.

= x2^{2}. 5x + x2^{2}. (-3) + 1 . 5x + 1 . (-3) - 6x + 10

= 5x3^{3} - 3x2^{2} + 5x - 3 - 6x + 10

= 5x3^{3} - 3x2^{2} + (5x - 6x) + (-3 + 10)

= 5x3^{3} - 3x2^{2} - x + 7

= D.

Vậy D = E. (5x - 3) + G.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta được:

Hình minh hoạ

Do đó dư R bằng -105x + 25; thương Q bằng 3x2^{2} - 9x + 30.

Vậy 3x4^{4} - 6x - 5 = (x2^{2} + 3x - 1) . (3x2^{2} - 9x + 30) - 105x + 25.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Tách đa thức x3^{3} - 3x2^{2} + x - 1 = (x3^{3} - 3x2^{2}) + (x - 1).

Ta thấy đa thức x3^{3} - 3x2^{2} chia cho đa thức x2^{2} - 3x được kết quả là x, dư 0.

Nên dư của phép chia đa thức x3^{3} - 3x2^{2} + x - 1 cho đa thức x2^{2} - 3x là dư của phép chia đa thức x - 1 cho đa thức x2^{2} - 3x.

Bậc của đa thức x - 1 là 1, bậc của đa thức x2^{2} - 3x là 2 nên không thể thực hiện phép chia.

Do đó dư của phép chia x3^{3} - 3x2^{2} + x - 1 cho x2^{2} - 3x bằng x - 1.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) 8x5^{5} : 4x3^{3} = (8 : 4) . (x5^{5} : x3^{3}) = 2x2^{2}.

b) 120x7^{7} : (-24x5^{5}) = [120 : (-24)] . (x7^{7} : x5^{5}) = -5x2^{2}.

Hình minh hoạ

d) -3,72x4^{4} : (-4x2^{2}) = [(-3,72) : (-4)] . (x4^{4} : x2^{2}) = 372400\frac{372}{400}x2^{2} = 93100\frac{93}{100}x2^{2}.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) (-5x3^{3} + 15x2^{2} + 18x) : (-5x)

= (-5x3^{3}) : (-5x) + 15x2^{2} : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5) : (-5)] . (x3^{3} : x) + [15 : (-5)] . (x2^{2} : x) + [18 : (-5)] . (x : x)

= x2^{2} + (-3)x + 18−5\frac{18}{-5}

= x2^{2} - 3x -185\frac{18}{5}

b) (-2x5^{5} - 4x3^{3} + 3x2^{2}) : 2x2^{2}

= (-2x5^{5}) : 2x2^{2} + (-4x3^{3}) : 2x2^{2} + 3x2^{2} : 2x2^{2}

= (-2 : 2) . (x5^{5} : x2^{2}) + (-4 : 2) . (x3^{3} : x2^{2}) + (3 : 2) . (x2^{2} : x2^{2})

= -x3^{3} + (-2)x + 3/2

= -x3^{3} - 2x + 3/2

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:6x3−2x2−9x+3‾6x3−2x2−9x+3‾−9x+303x−12x2−3\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{3} & - & 2{\text{x}}^{2} & - & 9\text{x} & + & 3 \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{3} & - & 2{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & & - & 9\text{x} & + & 3 \\ & & & \overline{} & - & 9\text{x} & + & 3 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}3\text{x} & - & 1 \\ 2{\text{x}}^{2} & - & 3 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}

b) Thực hiện đặt phép chia ta được: 4x4+14x3+0x2−21x−9‾4x4−6x214x3+6x2−21x−9‾14x3−21x6x2−9‾6x2−902x2−32x2+7x+3\begin{matrix} & 4{\text{x}}^{4} & + & 14{\text{x}}^{3} & + & 0{\text{x}}^{2} & - & 21\text{x} & - & 9 \\ \overline{} & 4{\text{x}}^{4} & & & - & 6{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & 14{\text{x}}^{3} & + & 6{\text{x}}^{2} & - & 21\text{x} & - & 9 \\ & & \overline{} & 14{x}^{3} & & & - & 21\text{x} & & \\ & & & & & 6{\text{x}}^{2} & & & - & 9 \\ & & & & \overline{} & 6{\text{x}}^{2} & & & - & 9 \\ & & & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2{\text{x}}^{2} & - & 3 & & \\ 2{\text{x}}^{2} & + & 7\text{x} & + & 3 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) Với n = 2 ta có (0,5x5^{5} + 3,2x3^{3} - 2x2^{2}) : 0,25x2^{2}

= 0,5x5^{5} : 0,25x2^{2} + 3,2x3^{3} : 0,25x2^{2} + (-2x2^{2}) : 0,25x2^{2}

= (0,5 : 0,25) . (x5^{5} : x2^{2}) + (3,2 : 0,25) . (x3^{3} : x2^{2}) + (-2 : 0,25) . (x2^{2} : x2^{2})

= (0,5 : 1/4)x3^{3} + (3,2 : 1/4)x + (-2 : 1/4)

= 0,5 . 4 . x3^{3} + 3,2 . 4 . x + (-2) . 4

= 2x3^{3} + 12,8x - 8

b) Với n = 3 thì đa thức chia 0,25x3^{3} có bậc bằng 3.

Trong đa thức bị chia 0,5x5^{5} + 3,2x3^{3} - 2x2^{2} có hạng tử -2x2^{2} có bậc bằng 2 < 3 nên ta thực hiện đặt tính chia:0,5x5+3,2x3−2x2‾0,5x53,2x3−2x2‾3,2x3−2x20,25x32x2+12,8\begin{matrix} & 0{,}5{\text{x}}^{5} & + & 3{,}2{\text{x}}^{3} & - & 2{\text{x}}^{2} \\ \overline{} & 0{,}5{\text{x}}^{5} & & & & \\ & & & 3{,}2{\text{x}}^{3} & - & 2{\text{x}}^{2} \\ & & \overline{} & 3{,}2{\text{x}}^{3} & & \\ & & & & - & 2{\text{x}}^{2}\end{matrix}\begin{matrix}0{,}25{\text{x}}^{3} & & \\ 2{\text{x}}^{2} & + & 12{,}8 \\ & & \\ & & \\ & & \end{matrix}

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:6x4−3x3+15x2+2x−1‾6x4−3x3+15x2+2x−1‾−3x315x2+2x−1‾15x22x−13x22x2−x+5\begin{matrix} & 6{\text{x}}^{4} & - & 3{\text{x}}^{3} & + & 15{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & - & 1 \\ \overline{} & 6{\text{x}}^{4} & & & & & & & & \\ & & - & 3{\text{x}}^{3} & + & 15{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & - & 1 \\ & \overline{} & - & 3{\text{x}}^{3} & & & & & & \\ & & & & & 15{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & - & 1 \\ & & & & \overline{} & 15{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & & & & & 2\text{x} & - & 1\end{matrix}\begin{matrix}3{\text{x}}^{2} & & & & \\ 2{\text{x}}^{2} & - & x & + & 5 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}

Do đó Q(x) = 2x2^{2} - x + 5; R(x) = 2x - 1.

Vậy 6x4^{4} - 3x3^{3} + 15x2^{2} + 2x - 1 = 3x2^{2} . (2x2^{2} - x + 5) + 2x - 1.

b) Thực hiện phép chia ta được:12x4+10x3+0x2−x−3‾12x4+4x3+4x26x3−4x2−x−3‾6x3+2x2+2x−6x2−3x−3‾−6x2−2x−2−x−13x2+x+14x2+2x−2\begin{matrix} & 12{\text{x}}^{4} & + & 10{\text{x}}^{3} & + & 0{\text{x}}^{2} & - & x & - & 3 \\ \overline{} & 12{\text{x}}^{4} & + & 4{\text{x}}^{3} & + & 4{\text{x}}^{2} & & & & \\ & & & 6{\text{x}}^{3} & - & 4{\text{x}}^{2} & - & x & - & 3 \\ & & \overline{} & 6{\text{x}}^{3} & + & 2{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & & \\ & & & & - & 6{\text{x}}^{2} & - & 3\text{x} & - & 3 \\ & & & \overline{} & - & 6{\text{x}}^{2} & - & 2\text{x} & - & 2 \\ & & & & & & - & x & - & 1\end{matrix}\begin{matrix}3{\text{x}}^{2} & + & x & + & 1 \\ 4{\text{x}}^{2} & + & 2\text{x} & - & 2 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}

Do đó Q(x) = 4x2^{2} + 2x - 2; R(x) = -x - 1.

Vậy 12x4^{4} + 10x3^{3} - x - 3 = (3x2^{2} + x + 1) . (4x2^{2} + 2x - 2) - x - 1.

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải:

Ta thấy bậc của đa thức bị chia 21x - 4 là 1, bậc của đa thức chia 3x2^{2} là 2.

Do 1 < 2 nên không thể thực hiện được phép chia.

Do đó thương của phép chia bằng 0 và dư của phép chia là 21x - 4.