Bài tập Bài 19. Phương trình đường thẳng có đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow n$ nên đường thẳng AM vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow n$.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow n$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$.

Vì điểm M(x; y) thuộc ∆ ⇔ $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {AM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AM} = 0$

⇔ a.(x – x$_{0}$) + b(y – y$_{0}$) = 0.

Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x$_{0}$) + b(y – y$_{0}$) = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {6 - 2;1 - 3} \right) = \left( {4; - 2} \right)$.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow {BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4(x + 1) – 2(y – 5) = 0 hay 2x – y + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: y = 3x + 4 ⇔ 3x – y + 4 = 0.

Do đó đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 3x – y + 4 = 0.

Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là $\overrightarrow n \left( {3; - 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆$_{2}$ nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng $\overrightarrow v$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆$_{2}$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)$.

Do đó một vectơ chỉ phương của ∆ là $\overrightarrow u \left( {1;2} \right)$.

Ngoài ra ta có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là $\overrightarrow v \left( { - 1; - 2} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc $\overrightarrow v \left( {3;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Gọi M(2 + 3t; 1 + 4t).

Có: $\overrightarrow {AM} = \left( {2 + 3t - 2;1 + 4t - 1} \right) = \left( {3t;4t} \right) = t\left( {3;4} \right) = t\overrightarrow v$.

Do đó vectơ $\overrightarrow {AM}$ và vectơ $\overrightarrow v$ là hai vectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow v$.

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc $\overrightarrow v$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận ${\overrightarrow n _d}\left( {3; - 4} \right)$làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _d}\left( {4;3} \right)$.

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow u _d} = \left( {4;3} \right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{Δ}(4;\ 3)$ nên phương trình tham số của ∆ là $\{\begin{matrix}x=-1+4t \\ y=2+3t\end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x$_{1}$; y$_{1}$) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}$, do đó có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\end{array} \right.$.

Gọi vectơ $\overrightarrow n$ là vectơ vuông góc với $\overrightarrow {AB}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow n$ có tọa độ là $\overrightarrow n = \left( { - \left( {{y_2} - {y_1}} \right);{x_2} - {x_1}} \right)$$= \left( {{y_1} - {y_2};{x_2} - {x_1}} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x$_{1}$; y$_{1}$) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$, do đó có phương trình tổng quát là: (y$_{1}$ – y$_{2}$)(x – x$_{1}$) + (x$_{2}$ – x$_{1}$)(y – y$_{1}$) = 0 hay (y$_{1}$ – y$_{2}$)x + (x$_{2}$ – x$_{1}$)y + x$_{1}$y$_{2}$ – x$_{2}$y$_{1}$ = 0.

Hướng dẫn giải

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {100 - 0;212 - 32} \right) = \left( {100;180} \right)$.

Chọn $\overrightarrow u = \frac{1}{{20}}\overrightarrow {AB} = \left( {5;\,9} \right)$ là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {9; - 5} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0.

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x = $- \frac{{160}}{9}$.

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x = $\frac{{340}}{9}$.

Vậy 0 °F tương ứng với $- \frac{{160}}{9}$°C và 100 °F tương ứng với $\frac{{340}}{9}$ °C.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆$_{1}$ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)$, do đó phương trình tổng quát của ∆$_{1}$ là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0.

b) Đường thẳng ∆$_{2}$ đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {3;\,\,2} \right)$, do đó phương trình tham số của ∆$_{2}$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$.

c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2 - 1;1 - 3} \right) = \left( { - 3; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là $\overrightarrow i \left( {1;\,\,0} \right)$ và $\overrightarrow j \left( {0;\,\,1} \right)$. Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia.

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow{j}(0;\ 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0.

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow i \left( {1;\,\,0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆$_{1}$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$, do đó đường thẳng ∆$_{1}$ đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _1} = \left( {2;5} \right)$.

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆$_{1}$ là ${\overrightarrow n _1} = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆$_{1}$ là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆$_{2}$ có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆$_{2}$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _2} = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆$_{2}$ là ${\overrightarrow u _2} = \left( {3;\, - 2} \right)$.

Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆$_{2}$ (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0).

Khi đó đường thẳng ∆$_{2}$ đi qua điểm B(1; 1) và nhận ${\overrightarrow u _2} = \left( {3; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆$_{2}$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2 - 3; - 1 - 0} \right) = \left( { - 5; - 1} \right)$.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow {BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Hay M$\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

Ta có: $\overrightarrow {BM} = \left( { - \frac{1}{2} - 3;\frac{1}{2} - 0} \right) = \left( { - \frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Chọn $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BM} = \left( { - 7;\,\,1} \right)$.

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 7;\,\,1} \right)$, do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 7t\\y = t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0 - a;b - 0} \right) = \left( { - a;\,b} \right)$.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b} \right)$nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {b;\,a} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n$ làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0 (1).

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

$\frac{{bx}}{{ab}} + \frac{{ay}}{{ab}} - \frac{{ab}}{{ab}} = \frac{0}{{ab}}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Hướng dẫn giải

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0.

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 21{,}2 - \frac{{153}}{{40}}t\\y = 105{,}8 + \frac{9}{5}t\end{array} \right.$.

Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ $\left\{ \begin{array}{l}16{,}1 = 21{,}2 - \frac{{153}}{{40}}t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\108{,}2 = 105{,}8 + \frac{9}{5}t\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Từ (1) suy ra t = $\frac{4}{3}$.

Từ (2) suy ra t = $\frac{4}{3}$.

Do đó t = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của hệ trên.

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 21{,}2 - \frac{{153}}{{40}}t\\y = 105{,}8 + \frac{9}{5}t\end{array} \right.$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 21{,}2 - \frac{{153}}{{40}}.1\\y = 105{,}8 + \frac{9}{5}.1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17{,}375\\y = 107{,}6\end{array} \right.$.

Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông.

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).