Bài tập Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án

Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác.

Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.

Vẽ đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ta có hình vẽ sau:

Trong Hình 127, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Tương tự, đường thẳng qua O và cắt AB nhưng không vuông góc với AB do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Theo đề bài, điểm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, AC. Khi đó:

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB.

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC.

Do đó OA = OB = OC.

Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC nhọn.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O nằm trong tam giác ABC).

b) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC vuông tại A.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O là trung điểm của đoạn BC).

c) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC tù.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O nằm ngoài tam giác ABC).

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra CA = CB.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA

Vậy tam giác ABC đều.

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.

Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do AI là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$.

Xét $ΔPAI$ vuông tại P và $ΔNAI$ vuông tại N có:

AI chung.

$\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$ (chứng minh trên).

Suy ra $ΔPAI=ΔNAI$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).

Mà P là trung điểm của AB nên PA = $\frac{1}{2}$BA; N là trung điểm của CA nên NA = $\frac{1}{2}$CA.

Suy ra AB = CA.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

a) Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác nên tam giác ABC nhọn và O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM $\perp$ BC.

b) Do OM $\perp$ BC nên $ΔOMB$ và $ΔOMC$ vuông tại M.

Xét $ΔOMB$ vuông tại M và $ΔOMC$ vuông tại M có:

OM chung.

MB = MC (theo giả thiết).

Do đó $ΔOMB=ΔOMC$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$