Bài tập Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án

Theo đề bài, miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.

Khi đó điểm G là trọng tâm của tam giác được tạo bởi ba đỉnh của miếng bìa.

Hai đầu mút của đoạn thẳng AM là hai điểm A và M.

+ Điểm A là một đỉnh của tam giác ABC.

+ Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC.

Ta thấy: độ dài hai cạnh MB và MC đều bằng 3 ô vuông nên MB = MC.

Do đó điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Vậy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Trong Hình 101 có:

• K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

• H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC.

Vậy trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác BHC và tam giác AKC.

Quan sát Hình 102, ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng giao nhau tại điểm G.

Do đó ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm một điểm.

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GA = $\frac{2}{3}$AM; GB = $\frac{2}{3}$BN; GC = $\frac{2}{3}$CP.

Do đó GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$CP = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Vậy GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét $ΔNBC$ và $ΔMCB$ có:

BN = MC (chứng minh trên).

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $ΔNBC=ΔMCB$ (c. g .c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = $\frac{2}{3}$BM; GC = $\frac{2}{3}$CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC

Vậy tam giác GBC cân tại G.

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $ΔMBG$ và $ΔMC\text{D}$ có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó $ΔMBG=ΔMC\text{D}$ (c.g .c).

c) Từ câu b: ∆MBG = ∆MCD suy ra CD = BG (hai cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

Vậy CD = 2GN.