Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx}$ = 3 – 2 = 1.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1$$\Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^2 {xdx} = 1$$\Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - 3 = 1$$\Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1$.

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = 2024$$\Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 2024$$\Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2024$$\Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 2024 + f\left( 0 \right) = 2024 - 2023 = 1$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0$ nên đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có $f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

Có $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} = \left. {\left( {2x + {x^2}} \right)} \right|_1^2 = 8 - 3 = 5$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int\limits_{ - 6}^{11} {f\left( x \right)dx} = 8$ $\Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 8$

$\Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + 3 + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 8$$\Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 5$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx}$$= 3\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= 3\left( {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right) = 3.5 = 15$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = 10 - 1 = 9$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: $I = \int_0^2 f (x)dx - 5\int_0^2 g (x)dx$

Thay số vào biểu thức ta được: I = 3 – 5 · (−1) = 3 + 5 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: $\int_1^5 f (x)dx = \int_1^3 f (x)dx + \int_3^5 f (x)dx$

Suy ra $10 = 4 + \int_3^5 f (x)dx \Rightarrow \int_3^5 f (x)dx = 6$.

Tính tích phân của hàm số cơ bản: $\int_3^5 x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_3^5 = \frac{{25}}{2} - \frac{9}{2} = 8$.

Khi đó $P = 2\int_3^5 f (x)dx - \int_3^5 x dx$ = 2·6 − 8 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Sử dụng tính chất đặc biệt của tích phân: $\int_a^b h \left( x \right)dx = \int_a^b h \left( {a + b - x} \right)dx$.

Áp dụng vào I, ta có: $I = \int_2^8 {\left( {2 + 8 - x} \right)} f\left( {2 + 8 - x} \right)dx = \int_2^8 {\left( {10 - x} \right)} f\left( {10 - x} \right)dx$.

Do giả thiết f(10 − x) = f(x), ta thu được:

$I = \int_2^8 {(10 - x)} f(x)dx = 10\int_2^8 f (x)dx - \int_2^8 x f(x)dx$ = 10·12 − I.

Từ đó suy ra 2I = 120 Þ I = 60.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt $u = \int_0^1 f (x)dx$ và $v = \int_0^1 g (x)dx$.

Dựa vào các tính chất của tích phân, ta thiết lập được hệ phương trình:

2u + 3v = 13 và u − 2v = −4

Từ phương trình thứ hai suy ra u = 2v − 4. Thay vào phương trình thứ nhất:

2(2v − 4) + 3v = 13 Þ 4v − 8 + 3v = 13 Þ 7v = 21 Þ v = 3.

Suy ra u = 2·3 − 4 = 2.

Vậy I = u + v = 2 + 3 = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Lấy tích phân hai vế của hệ thức trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$, ta có:

$\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx + 2\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx$ (1).

Ta có tính chất của tích phân trên khoảng đối xứng: $\int_{ - a}^a f ( - x)dx = \int_{ - a}^a f (x)dx$.

Do đó $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = I$. Lại có $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx = \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ = 3(1 − (−1)) = 6.

Thay vào (1), ta được: I + 2I = 6 Þ 3I = 6 => I = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là tính chất cơ bản của tích phân về tổng hai hàm số.

b) Sai. Tích phân của một tích hai hàm số không bằng tích các tích phân của chúng.

c) Đúng. Vì ${\left[ {f(x)} \right]^2} \ge 0$ với mọi x nên tích phân của nó trên một đoạn từ a đến b (a < b) luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

d) Sai. Theo tính chất, ta có $\int_a^c f (x)dx + \int_c^b f (x)dx = \int_a^b f (x)dx$, không phải là $\int_b^c f (x)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tại x = 1, ta có f(1) = 2·1 + 1 = 3 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3{x^2} = 3$. Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng f(1) nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Đúng. Ta tính $\int_0^1 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_0^1$ = 1.

c) Sai. Ta tính $\int_1^2 {(2x + 1)} dx = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^2$ = 6 − 2 = 4.

d) Đúng. Áp dụng tính chất tích phân, ta có $\int_0^2 f \left( x \right)dx = \int_0^1 f \left( x \right)dx + \int_1^2 f \left( x \right)dx$ = 1 + 4 = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, $\int_1^3 f (x)dx$ = F(3) − F(1) = 7 − 3 = 4.

b) Đúng. Ta có $\int_1^3 {\left[ {2f(x) - 1} \right]} dx = 2\int_1^3 f (x)dx - \int_1^3 1 dx$ = 2·4 − (3 − 1) = 8 − 2 = 6.

c) Đúng. Nếu f(x) = C (hằng số), ta có $\int_1^3 C dx$ = C(3 − 1) = 2C. Suy ra 2C = 4 Þ C = 2.

d) Sai. Tích phân $\int_1^3 {f'} (x)dx$ = f(3) − f(1). Không có dữ kiện nào cho biết f(3) − f(1) = 4, giả thiết chỉ cho F(3) − F(1) = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, $\int_0^2 {f'} \left( x \right)dx$ = f(2) − f(0) Þ 6 = f(2) − 2 => f(2) = 8.

b) Đúng. Tính $\int_0^2 {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]} dx = \int_0^2 {f'} \left( x \right)dx - \int_0^2 x dx = 6 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2$ = 6 − 2 = 4.

c) Đúng. Ta có g(2) = f(2) − 3·2 = 8 − 6 = 2.

Mặt khác, g(0) = f(0) − 3·0 = 2. Do đó g(2) = g(0).

d) Sai. Ta có $\int_0^2 {g'} (x)dx$ = g(2) − g(0) = 2 − 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. f(x) không nhất thiết là hàm chẵn. Ví dụ lấy $f(x) = {x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 1$, ta vẫn có f(x) + f(−x) = x$^{2}$ + 2 nhưng f(x) không phải hàm chẵn.

b) Đúng. Ta lấy tích phân hai vế:

$\int_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \left( {\frac{8}{3} + 4} \right) - \left( { - \frac{8}{3} - 4} \right) = \frac{{40}}{3}$.

c) Đúng. Đổi biến số t = −x cho tích phân ở vế phải, ta sẽ thu được tích phân vế trái.

d) Đúng. Từ ý c, ta có $\int_{ - 2}^2 {\left[ {f(x) + f( - x)} \right]} dx = 2\int_{ - 2}^2 f (x)dx$.

Suy ra $2\int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{40}}{3} \Rightarrow \int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{20}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4,5

Sử dụng tính chất của tích phân, ta tách biểu thức:$\int_1^2 3 {x^2}dx - \int_1^2 f (x)dx = 2{,}5$

Tính tích phân của hàm đa thức: $\int_1^2 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_1^2$ = 8 − 1 = 7.

Thay vào biểu thức trên: $7 - \int_1^2 f (x)dx = 2{,}5 \Rightarrow \int_1^2 f (x)dx = 7 - 2{,}5 = 4{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,4

Vì f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có tính chất:$\int_{ - a}^a f (x)dx = 2\int_0^a f (x)dx$.

Áp dụng tính chất trên với a = 2, ta được: $I = \int_{ - 2}^2 f (x)dx = 2\int_0^2 f (x)dx$ = 2·1,2 = 2,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 11,5

Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: $P = 5\int_0^1 f (x)dx - \int_0^1 x dx$.

Ta tính được $\int_0^1 x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2} = 0{,}5$.

Thay các giá trị vào biểu thức: P = 5·2,4 − 0,5 = 12 − 0,5 = 11,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Đặt $A = \int_0^2 f (x)dx$ (A là một hằng số).

Khi đó hàm số có dạng: f(x) = 1,5x² − 0,5A.

Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 2, ta có:

$\int_0^2 f (x)dx = \int_0^2 {(1{,}5{x^2} - 0{,}5A)} dx \Rightarrow A = \left. {\left( {0{,}5{x^3} - 0{,}5Ax} \right)} \right|_0^2$.

Thay cận vào ta được: A = (0,5·8 − 0,5A·2) − 0 = 4 − A.

Suy ra 2A = 4 Þ A = 2.

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 1,5x2 − 0,5·2 = 1,5x2 − 1.

Tính giá trị f(1) = 1,5·1² − 1 = 0,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7,5

Lấy tích phân hai vế của giả thiết trên đoạn [0; 3], ta có:

$\int_0^3 f (x)dx + \int_0^3 f (3 - x)dx = \int_0^3 5 dx = 15$ (1).

Xét $\int_0^3 f (3 - x)dx$, đặt t = 3 − x => dt = −dx.

Đổi cận: x = 0 => t = 3; x = 3 => t = 0.

Khi đó $\int_0^3 f (3 - x)dx = \int_3^0 f (t)( - dt) = \int_0^3 f (t)dt = \int_0^3 f (x)dx = I$.

Thay vào (1) ta được: I + I = 15 => 2I = 15 => I = 7,5.