TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên - SBT Toán 6

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

36 = 6.6 = 62^{2};

64 = 8.8 = 82^{2};

169 = 13.13 = 132^{2};

225 = 15.15 = 152^{2};

361 = 19.19 = 192^{2};

10 000 = 100.100 = 1002^{2}.

b) Ta có:

8 = 2.2.2 = 23^{3};

27 = 3.3.3 = 33^{3};

125 = 5.5.5 = 53^{3};

216 = 6.6.6 = 63^{3};

343 = 7.7.7 = 73^{3};

8 000 = 20.20.20 = 203^{3}.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Các số viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1 là: 16; 25; 81; 1 000; 1 331. Trong đó:

+) 16 = 4.4 = 42^{2} hoặc 16 = 2.2.2.2 = 24^{4};

+) 25 = 5.5 = 52^{2};

+) 81 = 9.9 = 92^{2} hoặc 81 = 3.3.3.3 = 34^{4};

+) 1 000 = 10.10.10 = 103^{3};

+) 1 331 = 11.11.11 = 113^{3}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) 3.3.3.3.3 = 35^{5};

b) y.y.y.y = y4^{4};

c) 5.p.5.p.2.q.4.q = (5.5)(2.4).(p.p).(q.q) = 52^{2}.(2.2.2).p2^{2}.q2^{2} = 52^{2}.23^{3}.p2^{2}.q2^{2}.

d) a.a + b.b + c.c.c + d.d.d.d = a2^{2} + b2^{2} + c3^{3} + d4^{4}.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Theo quy luật phân chia tế bào, ta có:

Lần 1: 21^{1} = 2 (tế bào con);

Lần 2: 22^{2} = 4 (tế bào con);

Lần 3: 23^{3} = 4 (tế nào con);

…

Vậy lần thứ n được: 2n^{n} (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 5 là:

25^{5} = 32 (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 8 là:

28^{8} = 256 (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 11 là:

211^{11} = 2 048 (tế bào con).

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số viên gạch lát nền nhà đó là: a.a = a2^{2} (viên).

Do đó số viên gạch phải là bình phương của một số tự nhiên hay a là số chính phương. Số chính phương là các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Bạn An đếm được 113 viên gạch được lát nền nhà. Mà 113 không phải là số chính phương nên bạn An đã đếm sai.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: 26^{6} = 2.2.2.2.2.2 = 8.8 = 82^{2};

Vì 8 > 6 nên 82^{2} > 62^{2} hay 26^{6}> 62^{2}.

Vậy 26^{6}> 62^{2}.

b) Ta có: 73+1^{3+1} = 73^{3}.7 = 73^{3} + 73^{3} + 73^{3}+ 73^{3} + 73^{3} + 73^{3}+ 73^{3} > 73^{3} + 1.

Vậy 73+1^{3+1} > 73^{3} + 1.

c) Ta có: 1314^{14}– 1313^{13} = 1313^{13}.(13– 1) = 1313^{13}.12.

1315^{15} – 1314^{14} = 1314^{14}.(13 – 1) = 1314^{14}.12.

Vì 14 > 13 nên 1314^{14} > 1313^{13}. Do đó 1314^{14}.12 > 1313^{13}.12 hay 1315^{15} – 1314^{14} > 1314^{14}– 1313^{13}.

Vậy 1315^{15} – 1314^{14} > 1314^{14}– 1313^{13}.

d) 32+n^{2+n} và 23+n^{3+n}.

Ta có: 32+n^{2+n} = 32^{2}.3n^{n} = 9.3n^{n};

23+n^{3 + n} = 23^{3}.2n^{n} = 8.2n^{n}.

Vì 3 > 2 nên 3n^{n} > 2n^{n} và 9 > 3 do đó 9.3n^{n} > 8.2n^{n} hay 32+n^{2+n} > 23+n^{3+n}.

Vậy 32+n^{2+n} > 23+n^{3+n}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) A = 1 + 3 + 32^{2} + 33^{3} + … + 399^{99} + 3100^{100};

Ta có 3A = 3 + 32^{2} + 33^{3} + … + 399^{99} + 3100^{100} + 3101^{101}

Khi đó:

3A – A = 3 + 32^{2} + 33^{3} + … + 399^{99} + 3100^{100} + 3101^{101} – (1 + 3 + 32^{2} + 33^{3} + … + 399^{99} + 3100^{100})

= 3101^{101}– 1.

Suy ra: 2A = 3101^{101}– 1

A = (3101^{101} – 1):2.

Vậy A = (3101^{101} – 1):2.

b) B = 2100^{100} – 299^{99}+ 298^{98} – 297^{97} + … - 23^{3} + 22^{2} – 2 + 1

Ta có: 2B = 2101^{101} – 2100^{100}+ 299^{99} – 298^{98} + … 23^{3} – 22^{2} + 2.

Khi đó

2B + B = (2101^{101} – 2100^{100}+ 299^{99} – 298^{98} + … 23^{3} – 22^{2} + 2) + (2100^{100} – 299^{99}+ 298^{98} – 297^{97} + … - 23^{3} + 22^{2} – 2 + 1) = 2101^{101} + 1

3B = 2101^{101} + 1

Suy ra: B = (2101^{101} + 1):3.

Vậy B = (2101^{101} + 1):3.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) 74^{4}.75^{5}.76^{6} = 74+5+6^{4 + 5 + 6} = 715^{15};

b) (54:3)7^{7}:324 = 187^{7}.324 = 187^{7}.18.18 = 187+1+1^{7 + 1 + 1}= 189^{9};

c) [(8 + 2)2^{2}.10100^{100}] : (100^{0}.1094^{94})

= [102^{2}.10100^{100}]:(1094^{94})

= 102+100^{2 + 100}:1094^{94}

= 10102^{102}:1094^{94}

= 10102–94^{102 – 94}

= 108^{8}.

d) a9^{9}:a9^{9} (a 0)

= a9–9^{9 – 9}

= a0^{0}

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: 123 = 1.100 + 2.10 + 3

= 1.102^{2} + 2.10 + 3.100^{0}.

Ta có: 2 355 = 2.1 000 + 3.100 + 5.10 + 5

= 2.103^{3} + 3.102^{2} + 5.10 + 5.100^{0}.

Ta có: Hình minh hoạ = a.10 000 + b.1 000 + c.100 + d.10 + e = a.104^{4} + b.103^{3} + c.102^{2} + d.10 + e

b) Ta có: Hình minh hoạ

Hình minh hoạ

Vì Hình minh hoạ là các số có ba chữ số nên Hình minh hoạ

Mà Hình minh hoạ

Vậy số cần tìm là 100 100.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) 2x^{x} + 12 = 44;

2x^{x} = 44 – 12

2x^{x} = 32

2x^{x} = 25^{5}

x = 5.

Vậy x = 5.

b) 2.5x+1^{x+1} – 1 100 = 6.52^{2}

2.5x+1^{x+1} = 6.52^{2} + 1 100

2.5x+1^{x+1} = 6.25 + 1 100

2.5x+1^{x+1} = 150 + 1 100

2.5x+1^{x+1} = 1 150

5x+1^{x+1} = 1 150:2

5x+1^{x+1} = 625

5x+1^{x+1} = 54^{4}

x + 1 = 4

x = 4 – 1

x = 3.

Vậy x = 3.

c) 2.3x+1^{x+1}= 10.312^{12} + 8.312^{12}

2.3x+1^{x+1}= 312^{12}.(10 + 8)

2.3x+1^{x+1}= 312^{12}.18

3x+1^{x+1}= 312^{12}.18:2

3x+1^{x+1}= 312^{12}.9

3x+1^{x+1}= 312^{12}.32^{2}

3x+1^{x+1}= 314^{14}

x + 1 = 14

x = 13.

Vậy x = 13.

d) 2x^{x} + 2x+3^{x+3} = 144.

2x^{x} + 2x^{x}.23^{3} = 144

2x^{x}(1 + 23^{3}) = 144

2x^{x}.(1 + 8) = 144

2x^{x}.9 = 144

2x^{x}= 144:9

2x^{x} = 16

2x^{x} = 24^{4}

x = 4.

Vậy x = 4.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có nhận xét sau: (am^{m})n^{n} = am^{m}.am^{m}…am^{m} (n thừa số am^{m}) = am+m+…+m^{m + m + …+m} = am.n^{m.n}.

Ta có:

2200^{200}.2100^{100} = 2200+100^{200 + 100}= 2300^{300}= 23.100^{3.100} = (23^{3})100^{100} = 8100^{100}

3100^{100}.3100^{100} = 3100+100^{100 + 100} = 3200^{200} = (32^{2})100^{100} = 9100^{100}.

Vì 8 < 9 nên 8100^{100} < 9100^{100} hay 2200^{200}.2100^{100} < 3100^{100}.3100^{100}.

Vậy 2200^{200}.2100^{100} < 3100^{100}.3100^{100}.

b) Ta có nhận xét sau: (ab)m^{m} = (ab).(ab).(ab)…(ab) = (a.a…a).(b.b…b) = am^{m}.bm^{m}.

Khi đó:

2115^{15}= (7.3)15^{15} = 715^{15}.315^{15}

275^{5}.498^{8} = (33^{3})5^{5}.(72^{2})8^{8} = 315^{15}.716^{16} = 315^{15}.715^{15}.7.

Vì 715^{15}.315^{15} < 315^{15}.715^{15}.7 nên 2115^{15} < 275^{5}.498^{8}.

Vậy 2115^{15} < 275^{5}.498^{8}.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: 5410^{10} = (542^{2})5^{5} = (2 916)5^{5}.

Tích của 5 chữ số 6 có chữ số tận cùng là 6 nên (2 916)5^{5} có chữ số tận cùng là 6.

Vậy 5410^{10}có chữ số tận cùng là 6.

b) 4915^{15} = 4914^{14}.49 = (492^{2})7^{7}.49 = (2 401)7^{7}.49

Vì (2 401)7^{7} có chữ số tận cùng là 1 nên (2 401)7^{7}.49 có chữ số tận cùng là 9.

Vậy chữ số tận cùng của số 4915^{15} là 9.

c) Ta có 1120^{20}có chữ số tận cùng là 1;

11921^{21}có chữ số tận cùng là 9;

2 00022^{22}có chữ số tận cùng là 0.

Khi đó 1120^{20} + 11921^{21} + 2 00022^{22} có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng 1 + 9 + 0 =10.

Vậy 1120^{20} + 11921^{21} + 2 00022^{22} có chữ số tận cùng là 0.

d) 13833^{33} = 13832^{32}.138 = (1384^{4})8^{8}.138.

Vì (1384^{4})8^{8} có chữ số tận cùng là 6 nên (1384^{4})8^{8}.138 có tận cùng là 8.

Mà 2 02014^{14}có chữ số tận cùng là 0.

Do đó 13833^{33} – 2 02014^{14} có chữ số tận cùng là 8.

Vậy chữ số tận cùng của 13833^{33} – 2 02014^{14} là 8.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

A = 22^{2} + 23^{3} + … +22005^{2005}

A – 4 = 22^{2} + 23^{3} + … +22005^{2005}

2(A – 4) = 23^{3} + 24^{4} + … + 22006^{2006}

2(A – 4) – (A – 4) = (23^{3} + 24^{4} + … + 22006^{2006}) – (22^{2} + 23^{3} + … +22005^{2005}) = 22006^{2006} – 22^{2}

A – 4 = 22006^{2006} – 4

A = 22006^{2006}.

Vậy A là một lũy thừa bậc 2006 cơ số 2.

b) B = 5 + 52^{2} + 53^{3} + … + 52021^{2021}

Ta thấy các lũy thừa cơ số 5 là một số có chữ số tận cùng là 5 mà B có 2021 số hang là lũy thừa của cơ số 5 nên chữ số tận cùng của B là 5. Suy ra B + 8 có kết quả là một số có chữ số tận cùng là 3 nên B + 8 không thể là bình phương của một số tự nhiên (vì không có bình phương số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 3).