Bài 4. Phép nhân, phép chia phân số

h) $(1-\frac{1}{5})(\frac{-3}{10}+\frac{1}{5})=(\frac{5}{5}-\frac{1}{5}).(\frac{-3}{10}+\frac{2}{10})$

$=\frac{4}{5}.\frac{-1}{10}=\frac{4.(-1)}{5.10}=\frac{2.(-1)}{5.5}=\frac{-2}{25}$;

a) $\frac{5}{12}+\frac{21}{8}\cdot \frac{1}{14}=\frac{5}{12}+\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{2}$

$=\frac{5}{12}+\frac{3}{16}=\frac{20}{48}+\frac{9}{48}=\frac{29}{48}$.

b) $\frac{8}{15}\cdot \frac{3}{64}-\frac{13}{25}=\frac{1}{5}.\frac{1}{8}-\frac{13}{25}$

$=\frac{1}{40}-\frac{13}{25}=\frac{5}{200}-\frac{104}{200}=\frac{-99}{200}$.

c) $(\frac{19}{21}-\frac{2}{3})\cdot \frac{28}{10}=(\frac{19}{21}-\frac{14}{21}).\frac{14}{7}$

$=\frac{5}{21}\cdot \frac{14}{5}=\frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}$.

d) $(1-\frac{5}{17})(\frac{3}{8}-\frac{{5}^{2}}{24})=(\frac{17}{17}-\frac{5}{17})(\frac{9}{24}-\frac{25}{24})$

$=\frac{12}{17}\cdot \frac{-16}{24}=\frac{12}{17}.\frac{-2}{3}=\frac{4}{17}.\frac{-2}{1}=\frac{-8}{17}$.

b) $\frac{-5}{6}\cdot \frac{4}{19}+\frac{-7}{12}\cdot \frac{4}{19}-\frac{40}{57}=\frac{4}{19}(\frac{-5}{6}+\frac{-7}{12})-\frac{40}{57}$

$=\frac{4}{19}(\frac{-10}{12}+\frac{-7}{12})-\frac{40}{57}=\frac{4}{19}\cdot \frac{-17}{12}-\frac{40}{57}$

$=\frac{1}{19}.\frac{-17}{3}-\frac{40}{57}=\frac{-17}{57}-\frac{40}{57}=\frac{-57}{57}=-1.\$

c) $(\frac{23}{41}-\frac{15}{82})\cdot \frac{41}{15}=\frac{23}{41}\cdot \frac{41}{15}-\frac{15}{82}\cdot \frac{41}{15}$

$=\frac{23}{15}-\frac{1}{2}=\frac{46}{30}-\frac{15}{30}=\frac{31}{30}$.

d) $9\cdot (\frac{151\ 515}{171\ 717}-\frac{131\ 313}{181\ 818})=9\cdot (\frac{15\ .\ 10\ 101}{17\ .\ 10\ 101}-\frac{13\ .\ 10\ 101}{18\ .\ 10\ 101})$

$=9\cdot (\frac{15}{17}-\frac{13}{18})=9.(\frac{270}{306}-\frac{221}{306})=9\cdot \frac{49}{306}=\frac{49}{34}$.

e) $\frac{-13}{8}\cdot (\frac{8}{13}+\frac{32}{28})-\frac{15}{7}=\frac{-13}{8}\cdot (\frac{8}{13}+\frac{8}{7})-\frac{15}{7}$

$=\frac{-13}{8}\cdot \frac{8}{13}-\frac{13}{8}\cdot \frac{8}{7}-\frac{15}{7}=-1-\frac{13}{7}-\frac{15}{7}$

$=-1-(\frac{13}{7}+\frac{15}{7})=-1-\frac{28}{7}=\frac{-7}{7}-\frac{28}{7}=\frac{-35}{7}=-5$.

g) $\frac{{2}^{2}}{1.3}\cdot \frac{{3}^{2}}{2.4}\cdot \frac{{4}^{2}}{3.5}\cdot \frac{{5}^{2}}{4.6}\cdot \frac{{6}^{2}}{5.7}$

$=\frac{2.2.3.3.4.4.5.5.6.6}{1.3.2.4.3.5.4.6.5.7}$

$=\frac{2.2.3.3.4.4.5.5.6.6}{1.2.3.3.4.4.5.5.6.7}$$=\frac{2.6}{7}=\frac{12}{7}\text{.}$

a) Đặt $\frac{7}{25}\cdot \frac{x}{28}=\frac{-3}{20}$ (x ∈ ℤ)

Do đó $\frac{1}{25}\cdot \frac{x}{4}=\frac{(-3).5}{20.5}$

Hay $\frac{x}{100}=\frac{-15}{100}$

Suy ra x = –15 (thoả mãn là số nguyên).

Vậy ta điền số –15 vào ô trống như sau: $\frac{7}{25}\cdot \frac{\boxed{-15}}{28}=\frac{-3}{20}$.

b) Đặt $\frac{46}{15}.\frac{-3}{y}=\frac{23}{5}$ (y ∈ ℤ, y ≠ 0)

Do đó $\frac{46}{5.3}.\frac{(-1).3}{y}=\frac{23}{5}$

Hay $\frac{-46}{5y}=\frac{23.(-2)}{5.(-2)}=\frac{-46}{5.(-2)}$

Suy ra 5y = 5 . (–2)

Do đó y = – 2 (thoả mãn là số nguyên khác 0).

Vậy ta điền số –2 vào ô trống như sau: $\frac{46}{15}.\frac{-3}{\boxed{-2}}=\frac{23}{5}$

c) Đặt $\frac{z}{-18}\cdot \frac{5}{2}=\frac{-5}{12}$ (z ∈ ℤ)

Do đó $\frac{5z}{-36}=\frac{(-5).(-3)}{12.(-3)}=\frac{5.3}{-36}$

Suy ra 5z = 5 . 3 nên z = 3 (thoả mãn là số nguyên).

Vậy ta điền số 3 vào ô trống như sau: $\frac{\boxed{3}}{-18}\cdot \frac{5}{2}=\frac{-5}{12}$.

Đổi 1 giờ = 60 phút = 3 600 giây.

Cách 1:

Trong 1 giờ máy tự động kiểm tra được số linh kiện là:

$3\ 600:\frac{16}{25}=3\ 600\ .\ \frac{25}{16}=225.16.\frac{25}{16}=5\ 625$ (linh kiện).

Vậy 1 giờ máy tự động kiểm tra được 5 625 linh kiện điện tử.

Cách 2:

Cứ $\frac{16}{25}$ giây thì máy tự động kiểm tra được 1 linh kiện nên trong 1 giây máy đó kiểm tra được $\frac{25}{16}$ linh kiện.

Trong 1 giờ máy tự động kiểm tra được số linh kiện là:

$3\ 600\ .\ \frac{25}{16}=225.16.\frac{25}{16}=5\ 625$ (linh kiện).

Vậy 1 giờ máy tự động kiểm tra được 5 625 linh kiện điện tử.

Ta thực hiện các phép tính như sau:

a) Gọi a là số nguyên âm lớn nhất mà khi nhân nó với $\frac{5}{6};\frac{-7}{15};\frac{11}{21}$ đều được tích là những số nguyên.

Nhân a lần lượt với các phân số $\frac{5}{6};\frac{-7}{15};\frac{11}{21}$ ta được $\frac{5a}{6};\frac{-7a}{15};\frac{11a}{21}$.

Để $\frac{5a}{6};\frac{-7a}{15};\frac{11a}{21}$ là những số nguyên với $\frac{5}{6};\frac{-7}{15};\frac{11}{21}$ là các phân số tối giản thì a phải chia hết cho 6; 15; 21.

Do đó a = BC(6, 15, 21).

Ta có BCNN(6, 15, 21) = 210.

Do đó a ∈ {…; – 420; – 210; 0; 210; 420; …}.

Mà a là số nguyên âm lớn nhất nên a = – 210.

Vậy số nguyên âm lớn nhất cần tìm là – 210.

b) Ta có $a:\frac{8}{9}=a\cdot \frac{9}{8}=\frac{9a}{8}$ là số tự nhiên suy ra 9a ⋮ 8 cho nên a ⋮ 8 vì ƯCLN(8, 9) = 1.

$a:\frac{12}{17}=a\cdot \frac{17}{12}=\frac{17a}{12}$ là số tự nhiên suy ra 17a ⋮ 12 cho nên a ⋮ 12 vì ƯCLN(12, 17) = 1.

Như vậy a là BC(8, 12).

Để a nhỏ nhất thì a = BCNN(8, 12).

Mà BCNN(8, 12) = 24.

Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất phải tìm là 24.

a) $1\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{3}\cdot 1\frac{1}{4}\cdot 1\frac{1}{5}\cdot 1\frac{1}{6}\cdot 1\frac{1}{7}$

$=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{8}{7}=\frac{8}{2}=4$.

b) $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})\ldots (1-\frac{1}{50})$

$=(\frac{2}{2}-\frac{1}{2})(\frac{3}{3}-\frac{1}{3})(\frac{4}{4}-\frac{1}{4})\ldots (\frac{50}{50}-\frac{1}{50})$

$=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\ \frac{49}{50}=\frac{1}{50}$.

a) Gọi độ dài đường chéo cần tìm là x (m):

Ta có diện tích hình thoi là $S=\frac{1}{2}.\frac{18}{5}.x=\frac{9}{5}.x$ (m2).

Mà theo bài diện tích hình thoi bằng $\frac{81}{10}$ (m2).

Do đó $\frac{9}{5}.x=\frac{81}{10}$

Suy ra $x=\frac{81}{10}:\frac{9}{5}$

Nên $x=\frac{81}{10}.\frac{5}{9}=\frac{9}{2}$ (m).

Vậy ta điền số $\frac{9}{2}$

b) Gọi chiều cao của hình thang bằng y (m).

Ta có diện tích hình thang đó là:

$S=\frac{1}{2}.(\frac{4}{5}+\frac{35}{36}).y=\frac{1}{2}.(\frac{144}{180}+\frac{175}{180}).y$

$=\frac{1}{2}.\frac{319}{180}.y=\frac{319}{360}.y$ (m2).

Mà theo bài diện tích hình thang bằng $\frac{319}{120}$ (m2).

Do đó $\frac{319}{360}.y=\frac{319}{120}$

Suy ra $y=\frac{319}{120}:\frac{319}{360}$

Nên $y=\frac{319}{120}.\frac{360}{319}=3$ (m).

Vậy ta điền số 3.

Đổi 50 m/min = 3 km/h.

Cách 1:

Trong một giờ ca nô xuôi dòng được $1:6=\frac{1}{6}$ (khúc sông AB).

Trong một giờ ca nô ngược dòng được $1:8=\frac{1}{8}$ (khúc sông BA).

Trong một giờ dòng nước chảy được là $(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}):2=\frac{1}{48}$ (khúc sông AB).

Thời gian dòng nước xuôi từ A đến B là $1:\frac{1}{48}=48$ (giờ).

Vậy khúc sông AB dài là: 3 . 48 = 144 (km).

Cách 2:

Gọi vận tốc cano là x (km/h).

Khi đó vận tốc của cano khi xuôi dòng là: x + 3 (km/h)

và vận tốc của cano khi ngược dòng là x – 3 (km/h).

Quãng đường AB cano đi khi xuôi dòng là 6 . (x + 3) (km).

Quãng đường BA cano đi khi ngược dòng là 8 . (x – 3) (km).

Do quãng đường xuôi dòng và quãng đường ngược dòng trên cùng khúc sông AB nên ta có:

6 . (x + 3) = 8 . (x – 3)

6 . x + 6 . 3 = 8 . x – 8 . 3

6x + 18 = 8x – 24

8x – 6x = 18 + 24

2x = 42

x = 42 : 2 = 21.

Vậy khúc sông AB dài là 6 . (21 + 3) = 144 (km).

a) $\frac{6}{7}\cdot x=\frac{18}{23}$

$x=\frac{18}{23}:\frac{6}{7}$

$x=\frac{18}{23}\cdot \frac{7}{6}$

$x=\frac{3.7}{23}=\frac{21}{23}$.

Vậy $x=\frac{21}{23}$.

b) $\frac{15}{119}\cdot x=1$

$x=1:\frac{15}{119}$

$x=\frac{119}{15}$.

Vậy $x=\frac{119}{15}$.

c) $x:\frac{5}{6}=\frac{4}{7}$

$x=\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{6}$.

$x=\frac{2.5}{7.3}=\frac{10}{21}$

Vậy $x=\frac{10}{21}$.

d) $x-\frac{3}{7}:\frac{9}{14}=\frac{-7}{3}$

$x-\frac{3}{7}.\frac{14}{9}=\frac{-7}{3}$

$x-\frac{2}{3}=\frac{-7}{3}$

$x=\frac{-7}{3}+\frac{2}{3}$

$x=\frac{-5}{3}$.

Vậy $x=\frac{-5}{3}$.

e) $\frac{9}{13}\cdot x=\frac{11}{8}-\frac{125}{1\ 000}$

$\frac{9}{13}\cdot x=\frac{11}{8}-\frac{1}{8}$

$\frac{9}{13}\cdot x=\frac{10}{8}$

$\frac{9}{13}\cdot x=\frac{5}{4}$

$x=\frac{5}{4}:\frac{9}{13}$

$x=\frac{5}{4}.\frac{13}{9}$

$x=\frac{65}{36}$

Vậy $x=\frac{65}{36}$.

g) $(x-\frac{1}{2}):\frac{3}{11}=\frac{11}{4}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{4}\cdot \frac{3}{11}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

$x=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$

$x=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}$

$x=\frac{5}{4}$.

Vậy $x=\frac{5}{4}$.

a) $\frac{\frac{3}{5}+\frac{3}{27}-\frac{3}{9}-\frac{3}{11}}{\frac{4}{5}+\frac{4}{27}-\frac{4}{9}-\frac{4}{11}}$

$=\frac{3\cdot (\frac{1}{5}+\frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11})}{4\cdot (\frac{1}{5}+\frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11})}=\frac{3}{4}$.

b) $\frac{5-\frac{5}{3}-\frac{5}{27}}{8-\frac{8}{3}-\frac{8}{27}}:\frac{15+\frac{15}{121}-\frac{15}{11}}{16+\frac{16}{121}-\frac{16}{11}}$

$=\frac{5\cdot (1-\frac{1}{3}-\frac{1}{27})}{8\cdot (1-\frac{1}{3}-\frac{1}{27})}:\frac{15\cdot (1+\frac{1}{121}-\frac{1}{11})}{16\cdot (1+\frac{1}{121}-\frac{1}{11})}$

$=\frac{5}{8}:\frac{15}{16}=\frac{5}{8}\cdot \frac{16}{15}=\frac{2}{3}$.

c) $\frac{1}{2}:(\frac{-3}{2}):\frac{4}{3}:(\frac{-5}{4}):\frac{6}{5}:(\frac{-7}{6}):\ \ldots \ :(\frac{-101}{100})$

$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{2}{-3})\cdot \frac{3}{4}\cdot (\frac{4}{-5})\cdot \frac{5}{6}.(\frac{6}{-7})\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot (\frac{100}{-101})$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{-4}{5}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{-6}{7}\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot \frac{-100}{101}$

$=\frac{1}{101}\text{.}$ (tích có 50 thừa số dương và 50 thừa số âm là số dương).

Lấy số tiền của bạn Ngọc làm đơn vị.

Khi đó, số tiền của Hà so với số tiền của Ngọc là:

$\frac{3}{5}:\frac{2}{3}=\frac{9}{10}$ (số tiền của Ngọc).

Tổng số tiền của hai bạn là:

$1+\frac{9}{10}=\frac{19}{10}$ (số tiền của Ngọc).

Số tiền của Ngọc là:

$76\ 000:\frac{19}{10}=40\ 000$ (đồng)

Số tiền của Hà là:

76 000 – 40 000 = 36 000 (đồng).

Vậy số tiền của Ngọc và Hà lần lượt là 40 000 đồng và 36 000 đồng.

Giả sử sau x (phút) thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau.

Mỗi giờ, kim giờ quay được 5 vạch nhỏ, kim phút quay được 60 vạch nhỏ.

Do đó, mỗi phút kim giờ quay được $\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$ vạch nhỏ, kim phút quay được 1 vạch nhỏ.

Sau x (phút), kim giờ quay được $x.\frac{1}{12}$ vạch nhỏ, kim phút quay được x vạch nhỏ.

Để hai kim vuông góc với nhau thì kim phút phải vượt kim giờ $\frac{1}{4}$ số vạch nhỏ trên đồng hồ, tương ứng với 15 vạch nhỏ (Vì kim phút chạy nhanh hơn nên số vạch quay được lớn hơn so với kim giờ).

Khi đó ta có $x-x.\frac{1}{12}=15$

Suy ra $x.(1-\frac{1}{12})=15$

$x.\frac{11}{12}=15$

$x=15:\frac{11}{12}$

$x=15.\frac{12}{11}=\frac{180}{11}=16\frac{4}{11}$

Vậy thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau là: $16\frac{4}{11}$ phút.