Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất - SBT Toán 6

a) Ta có: 19 = 19, 46 = 2.23.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2.19.23.

Vậy BCNN(19, 46) = 2.19.23 = 874.

b) Ta có: 27 = 3$^{3}$, 315 = 3$^{2}$.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 33.5.7.

Vậy BCNN(27, 315) = 3$^{3}$.5.7 = 945.

c) Ta có: 60 = 2$^{2}$.3.5, 72 = 2$^{3}$.3$^{2}$, 63 = 3$^{2}$.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 23.32.5.7.

Vậy BCNN(60, 72, 63) = 2$^{3}$.3$^{2}$.5.7 = 2 520.

d) Ta có: 60 = 2$^{2}$.3.5, 100 = 2$^{2}$.5$^{2}$, 140 = 2$^{2}$.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2$^{2}$.3.5$^{2}$.7.

BCNN(60, 100, 140) = 22.3.52.7 = 2 100.

Ta có: 11 = 11, 12 = 2$^{2}$.3.

BCNN(11, 12) = 2$^{2}$.3.11 = 132.

BC(132) = {0; 132; 264; 396; 528; 660; 792; 924; 1 056; …}.

Các số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12 là: 132; 264; 396; 528; 660; 792; 924.

Vậy có tất cả 7 số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12.

Chu kì số ngày cả ba tàu cùng cập cảng là bội chung của 5, 8 và 10.

Mà cần tìm sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng nên số ngày gặp nhau là BCNN(5, 8, 10).

Ta có 5 = 5, 8 = 2$^{3}$, 10 = 2$^{2}$.5.

BCNN(5, 8, 10) = 2$^{3}$.5 = 40.

Vậy vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng thì sau ít nhất 40 ngày thì ba tàu sẽ lại cùng cập cảng.

Gọi số cây của lớp 6B đã trồng được là x (cây) ( x là số tự nhiên nhỏ nhất).

Theo đầu bài, ta có:

x chia 3 dư 2 nên x – 2 chia hết cho 3. Do đó x – 2 + 3 = x + 1 cũng chia hết cho 3;

x chia 4 dư 3 nên x – 3 chia hết cho 4. Do đó x – 3 + 4 = x + 1 cũng chia hết cho 4;

x chia 5 dư 4 nên x – 4 chia hết cho 5. Do đó x – 4 + 5 = x + 1 cũng chia hết cho 5;

x chia 10 dư 9 nên x – 9 chia hết cho 10. Do đó x – 9 + 10 = x + 1 cũng chia hết cho 10.

Suy ra x + 1 là bội chung của 3, 4, 5 và 10.

Mà x nhỏ nhất nên x + 1 nhỏ nhất nên x + 1 là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 5 và 10.

Ta có 3 = 3, 4 = 2$^{2}$, 5 = 5, 10 = 2.5.

Khi đó BCNN(3, 4, 5, 10) = 3.2$^{2}$.5 = 60.

Do đó x + 1 = 60. Suy ra x = 60 – 1 = 59 (thỏa mãn).

Vậy học sinh lớp 6B đã trồng được 59 cây.

Gọi số học sinh của trường đó là x (học sinh) (x ∈ N, x < 1200) .

Vì học sinh của trường đó khi xếp hàng 20 học sinh, hàng 25 học sinh, hàng 30 học sinh đều thừa 15 học sinh nên số học sinh của trường đó trừ đi 15 chia hết cho 20, 25, 30. Nghĩa là x – 15 thuộc BC(20, 25, 30).

Ta có 20 = 2$^{2}$.5, 25 = 5$^{2}$, 30 = 2.3.5.

Khi đó BCNN(20, 25, 30) = 2$^{2}$.3.5$^{2}$ = 300.

BC(20, 25, 30) = B(300) = {0; 300; 600; 900; 1 200; 1 500; …}.

Suy ra x – 15 ∈ {0; 300; 600; 900; 1 200; 1 500; …}.

Hay x ∈ {15; 315; 615; 915; 1 215; 1 515; …}.

Mà số học sinh xếp vào hàng 41 học sinh thì vừa đủ nên x chia hết cho 41.

Trong các giá trị của x ở trên ta thấy x = 615 chia hết cho 41 và nhỏ hơn 1 200.

Vậy trường đó có tất cả 615 học sinh.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x > 1).

Vì x chia cho 3 dư 1, chia cho 5 dư 1 nên x – 1 chia hết cho 3 và 5.

Mà x chia cho 4 dư 3 nên x có dạng 4a + 3 với a là số tự nhiên.

Suy ra x – 1 = 4a + 3 – 1 = 4a + 2 chia hết cho 3 và 5.

Hơn nữa 4a + 2 = 2.(2a + 1) chia hết cho 2.

Do đó x – 1 chia hết cho 2, 3 và 5 hay x – 1 là bội chung của 2, 3 và 5.

Mà x là số tự nhiên nhỏ nhất nên x – 1 cũng nhỏ nhất. Do đó x – 1 là BCNN(2, 3, 5).

Ta có 2 = 2, 3 = 3, 5 = 5.

Khi đó BCNN(2, 3, 5) = 2.3.5 = 30.

x – 1 = 30

x = 31.

Vậy x = 31.

Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 1).

Do a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên 2a chia cho 3, 5, 7 dư 1.

Suy ra 2a – 1 chia hết cho 3, 5, 7 hay 2a – 1 là bội chung của 3, 5, 7.

Như vậy để a là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 2a – 1 phải là BCNN(3, 5, 7).

Ta có 3 = 3, 5 = 5, 7 = 7.

Khi đó BCNN(3, 5, 7) = 3.5.7 = 105 nên 2a – 1 = 105 suy ra a = 53.

Vậy số cần tìm là 53.

Số tự nhiên cần tìm chia hết cho 6, 7, 11 và 27 nên số đó là bội chung của 6, 7, 11 và 27.

Ta có: 6 = 2.3, 7 = 7, 11 = 11, 27 = 3$^{3}$.

Khi đó BCNN(6, 7, 11, 27) = 2.3$^{3}$.11.27 = 4 158.

Do đó là bội của 4 158 hay tồn tại số tự nhiên k để = 4 158k.

Mặt khác 95 600 ≤ ≤ 95 699 nên 95 600 4 158k 95 699 hay 22 < k < 24.

Suy ra k = 23.

Ta có 4 158.23 = 95 634.

Do đó x = 3, y = 4.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 95 634.

Ta thấy BCNN(a, b) = 72 chia hết cho 2 nên trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 2.

Giả sử a chia hết cho 2, mà a + b = 42 chia hết cho 2 nên b chia hết cho 2. Như vậy, a và b đều chia hết cho 2.

Ta thấy BCNN(a, b) = 72 chia hết cho 3 nên trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 3, mà a + b = 42 chia hết cho 3 nên b chia hết cho 3. Như vậy, a và b đều chia hết cho 3.

Vì a, b vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên a, b đều chia hết cho 6 hay a, b là bội của 6.

Mặt khác 0 < a < b, a + b = 42 và BCNN(a, b) = 72 nên có bảng giá trị sau:

Vậy a = 18 và b = 24.