Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất - SBT Toán 6

a) Ta có: 19 = 19, 46 = 2.23.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2.19.23.

Vậy BCNN(19, 46) = 2.19.23 = 874.

b) Ta có: 27 = 3$^{3}$, 315 = 3$^{2}$.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 33.5.7.

Vậy BCNN(27, 315) = 3$^{3}$.5.7 = 945.

c) Ta có: 60 = 2$^{2}$.3.5, 72 = 2$^{3}$.3$^{2}$, 63 = 3$^{2}$.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 23.32.5.7.

Vậy BCNN(60, 72, 63) = 2$^{3}$.3$^{2}$.5.7 = 2 520.

d) Ta có: 60 = 2$^{2}$.3.5, 100 = 2$^{2}$.5$^{2}$, 140 = 2$^{2}$.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2$^{2}$.3.5$^{2}$.7.

BCNN(60, 100, 140) = 22.3.52.7 = 2 100.

Ta có: 11 = 11, 12 = 2$^{2}$.3.

BCNN(11, 12) = 2$^{2}$.3.11 = 132.

BC(132) = {0; 132; 264; 396; 528; 660; 792; 924; 1 056; …}.

Các số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12 là: 132; 264; 396; 528; 660; 792; 924.

Vậy có tất cả 7 số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12.

Chu kì số ngày cả ba tàu cùng cập cảng là bội chung của 5, 8 và 10.

Mà cần tìm sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng nên số ngày gặp nhau là BCNN(5, 8, 10).

Ta có 5 = 5, 8 = 2$^{3}$, 10 = 2$^{2}$.5.

BCNN(5, 8, 10) = 2$^{3}$.5 = 40.

Vậy vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng thì sau ít nhất 40 ngày thì ba tàu sẽ lại cùng cập cảng.

Gọi số cây của lớp 6B đã trồng được là x (cây) ( x là số tự nhiên nhỏ nhất).

Theo đầu bài, ta có:

x chia 3 dư 2 nên x – 2 chia hết cho 3. Do đó x – 2 + 3 = x + 1 cũng chia hết cho 3;

x chia 4 dư 3 nên x – 3 chia hết cho 4. Do đó x – 3 + 4 = x + 1 cũng chia hết cho 4;

x chia 5 dư 4 nên x – 4 chia hết cho 5. Do đó x – 4 + 5 = x + 1 cũng chia hết cho 5;

x chia 10 dư 9 nên x – 9 chia hết cho 10. Do đó x – 9 + 10 = x + 1 cũng chia hết cho 10.

Suy ra x + 1 là bội chung của 3, 4, 5 và 10.

Mà x nhỏ nhất nên x + 1 nhỏ nhất nên x + 1 là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 5 và 10.

Ta có 3 = 3, 4 = 2$^{2}$, 5 = 5, 10 = 2.5.

Khi đó BCNN(3, 4, 5, 10) = 3.2$^{2}$.5 = 60.

Do đó x + 1 = 60. Suy ra x = 60 – 1 = 59 (thỏa mãn).

Vậy học sinh lớp 6B đã trồng được 59 cây.

Gọi số học sinh của trường đó là x (học sinh) (x ∈ N, x < 1200) .

Vì học sinh của trường đó khi xếp hàng 20 học sinh, hàng 25 học sinh, hàng 30 học sinh đều thừa 15 học sinh nên số học sinh của trường đó trừ đi 15 chia hết cho 20, 25, 30. Nghĩa là x – 15 thuộc BC(20, 25, 30).

Ta có 20 = 2$^{2}$.5, 25 = 5$^{2}$, 30 = 2.3.5.

Khi đó BCNN(20, 25, 30) = 2$^{2}$.3.5$^{2}$ = 300.

BC(20, 25, 30) = B(300) = {0; 300; 600; 900; 1 200; 1 500; …}.

Suy ra x – 15 ∈ {0; 300; 600; 900; 1 200; 1 500; …}.

Hay x ∈ {15; 315; 615; 915; 1 215; 1 515; …}.

Mà số học sinh xếp vào hàng 41 học sinh thì vừa đủ nên x chia hết cho 41.

Trong các giá trị của x ở trên ta thấy x = 615 chia hết cho 41 và nhỏ hơn 1 200.

Vậy trường đó có tất cả 615 học sinh.