Bài 1. Phân số với tử và mẫu là số nguyên

a) Chia hình vuông thành 4 phần bằng nhau rồi tô màu 3 phần (hình vẽ).

b) Chia hình chữ nhật thành 3 phần bằng nhau rồi tô màu 2 phần (hình vẽ).

Phân số có dạng $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên và b ≠ 0.

Cách viết $-\frac{9{,}4}{11{,}5}$ không cho ta phân số vì 9,4 và 11,5 không phải là số nguyên.

Cách viết $\frac{n}{2}$ cho ta phân số vì n; 2 là các số nguyên và 2 ≠ 0.

Vậy cách viết c) và d) cho ta phân số.

• Do 3 . (–14) ≠ 7 . 6 nên $\frac{3}{7}$ và $\frac{6}{-14}$ không bằng nhau.

• Do 12 . 3 = (–4) . (–9) nên $\frac{12}{-4}=\frac{-9}{3}.$

• Do (–13) . (–9) = 9 . 13 nên $\frac{-13}{9}=\frac{13}{-9}.$

• Do – 5 = $\frac{-5}{1}$ và (–5) . 2 = 1. (–10) nên – 5 = $\frac{-10}{2}$.

• Do với x ∈ ℤ thì 2x . 3 = 6 . x nên $\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}.$

a) Ta có $\frac{28}{49}=\frac{28:7}{49:7}=\frac{4}{7}$

Do đó

• $\frac{4}{x}=\frac{4}{7}$ nên x = 7;

• $\frac{y}{21}=\frac{4}{7}$ nên y . 7 = 21 . 4 = 84

Suy ra y = 84 : 7 = 12.

Vậy x = 7, y = 12.

b) Ta có $\frac{x}{7}=\frac{9}{y}$ nên x . y = 7 . 9 = 63.

Mà 63 = 63.1 = 21.3 = 9.7 = (–1).(–63) = (–3).(–21) = (–7).(–9)

Lại có x > y nên ta có bảng sau:$\begin{matrix}x & 63 & 21 & 9 & -1 & -3 & -7 \\ y & 1 & 3 & 7 & -63 & -21 & -9\end{matrix}$

c) Ta có $\frac{x}{15}=\frac{3}{y}$ nên x . y = 15 . 3 = 45.

Mà 45 = (–45).(–1) = (–15).(–3) = (–9).(–5) = 45.1 = 15.3 = 9.5

Lại có x < y < 0 nên ta có bảng sau:$\begin{matrix}x & -45 & -15 & -9 \\ y & -1 & -3 & -5\end{matrix}$

d) Ta có $\frac{x}{y}=\frac{21}{28}=\frac{21:7}{28:7}=\frac{3}{4}=\frac{3k}{4k}$ với k ∈ ℤ, k ≠ 0.

Do đó có vô số giá trị x, y thoả mãn x = 3k và y = 4k (k ∈ ℤ, k ≠ 0).

b) $\frac{352\ 352}{-470\ 470}=\frac{352\ 352:(-1\ 001)}{(-470\ 470):(-1\ 001)}$

$=\frac{-352}{470}=\frac{(-352):2}{470:2}=\frac{-176}{235}$;

c) $\frac{199...99}{999...95}=\frac{1}{5}$ (Biết rằng có 100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số).

Vì 999…995 = 5 . 199…99

100 chữ số 9 100 chữ số 9

Do đó $\frac{199...99}{999...95}=\frac{1}{5}$.

b) Xét biểu thức $A=\frac{3}{n+2}$.

• Với n = 0 thì $A=\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$.

• Với n = 2 thì $A=\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}$.

• Với n = –7 thì $A=\frac{3}{-7+2}=\frac{3}{-5}$.

c) Với n là số nguyên, để $A=\frac{3}{n+2}$ là một số nguyên thì 3 ⋮ (n + 2) hay (n + 2) là ước của 3.

Mà Ư(3) = {–3; –1; 1; 3} nên (n + 2) ∈ {–3; –1; 1; 3}.

Ta có bảng sau:

$\begin{matrix}n+2 & -3 & -1 & 1 & 3 \\ n & -5 & -3 & -1 & 1\end{matrix}$

Vậy n ∈ {–5; –3; –1; 1}.

a) Ta có 1 + 2 + 3 + … + 9 = $\frac{9.(9+1)}{2}=45$;

11 + 12 + 13 + … + 19 = $\frac{9.(19+11)}{2}=135$.

Khi đó $A=\frac{1+2+3+...+9}{11+12+13+...+19}=\frac{45}{135}=\frac{45}{45.3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $A=\frac{1}{3}.$

b) Gọi số hạng cần xoá ở tử là m, số hạng cần xoá ở mẫu là n (1 ≤ m ≤ 9; 11 ≤ n ≤ 19; m, n ∈ ℕ).

Khi đó ta có $\frac{45-m}{135-n}=\frac{1}{3}$

Suy ra 3 . (45 – m) = (135 – n) . 1

Hay 3 . 45 – 3 . m = 135 – n

135 – 3m = 135 – n

3m = n

Ta có bảng sau:

Khi đó:

• Xoá số 4 ở tử và xoá số 12 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-4}{135-12}=\frac{41}{123}=\frac{41:41}{123:41}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 5 ở tử và xoá số 15 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-5}{135-15}=\frac{40}{120}=\frac{40:40}{120:40}=\frac{1}{3}$;

• Xoá số 6 ở tử và xoá số 18 ở mẫu, ta được kết quả $\frac{45-6}{135-18}=\frac{39}{117}=\frac{39:39}{117:39}=\frac{1}{3}$.

a) Vì 1 000 m$^{2}$ = 1 ha

Nên 3 600 m$^{2}$ = $\frac{3\ 600}{1\ 000}=\frac{3\ 600:400}{1\ 000:400}=\frac{9}{25}$ha.

Vậy một mẫu Bắc Bộ bằng $\frac{9}{25}$héc-ta.

b) Ta có 0,45 = $\frac{45}{100}=\frac{45:5}{100:5}=\frac{9}{20}$.

Vậy 0,45 kg = $\frac{9}{20}$ kg.

c) Do vòi chảy 48 phút vào bể không có nước thì đầy bể nên mỗi phút vòi chảy được

$\frac{1}{48}$ phần của bể.

Vậy 36 phút vòi chảy được $36.\frac{1}{48}=\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$ phần của bể.

Ta có bảng sau:

Vậy cô giáo khuyên em “VÂNG LỜI CHA MẸ”.

Gọi số cộng thêm vào tử và mẫu là m.

Khi đó ta có phân số mới là $\frac{-5+m}{9+m}=\frac{2}{9}$

Suy ra:

(–5 + m) . 9 = (9 + m) . 2

(–5) . 9 + m . 9 = 9 . 2 + m . 2

–45 + 9m = 18 + 2m

9m – 2m = 18 + 45

7m = 63

m = 63 : 7 = 9.

Vậy số cần cộng thêm vào tử và mẫu là 9.

Gọi d = ƯCLN(14n + 3; 21n + 4).

Khi đó 14n + 3 và 21n + 4 chia hết cho d.

Suy ra 3 . (14n + 3) và 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Do đó 3 . (14n + 3) – 2 . (21n + 4) chia hết cho d.

Hay 3 . 14n + 3 . 3 – 2 . 21n – 2 . 4 chia hết cho d.

Từ đó suy ra 42n + 9 – 42n – 8 = 1 chia hết cho d.

Khi đó ta có d = 1.

Vậy ƯCLN(14n + 3; 21n + 4) = 1 hay $\frac{14n+3}{21n+4}$ là phân số tối giản (n là số tự nhiên).