92 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án - Đề 3

Chọn D

Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt 3$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt 3$ là ${(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3$

Chọn B

Bán kính của mặt cầu: $r = IA = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 5$.

Phương trình mặt cầu: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$.

Chọn A

+ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow I\left( {3;3;1} \right)$.

$\overrightarrow {AB} \left( {4;2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {16 + 4 + 16} = 6$

+ Mặt cầu đường kính $AB$có tâm $I\left( {3;3;1} \right)$, bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = 3$ có phương trình là:

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Chọn D

Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I\left( {4\,;\,0\,;\,3} \right)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {56}$.

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56$.

Chọn D

Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm đoạn $MN$$\Rightarrow$$I\left( {1;2;1} \right)$.

Bán kính mặt cầu $R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6$.

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36$.

Chọn B

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; - 4;0} \right)$ có bán kính $3$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9$.

Chọn A

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right)$ và bán kính $R = 2$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$.

Chọn C

Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ có toạ độ là $\left( {{x_I}\,;\,{y_I}\,;\,{z_I}} \right)$.

Trong đó ${x_I} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3$; ${y_I} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1$; ${z_I} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1$. Suy ra $I\left( {3\,;\,1\,;\,1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)$, $IA = \sqrt {4 + 1 + 0} = \sqrt 5$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là $I\left( {3\,;\,1\,;\,1} \right)$ và bán kính $R = IA = \sqrt 5$ nên có phương trình là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$.

Chọn C

Phương trình của $\left( S \right)$là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2$

Chọn A

Mặt cầu đường kính $AB$nhận trung điểm $I$ của $AB$là tâm, bán kính $R = \frac{{AB}}{2}$

Ta có $I\left( {0{,}1{,}4} \right)$ và $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 3$

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3$

Chọn A

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 2m} \right)^2} + {\left( {y + m} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = 28 - 3{m^2}$ $\left( 1 \right)$.

$\left( 1 \right)$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow 28 - 3{m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{28}}{3}} < m < \sqrt {\frac{{28}}{3}}$.

Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}$.

Vậy có $7$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} - 3{m^2} + 5 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 10 < 0\\ \Leftrightarrow - 1 - \sqrt {11} < m < 1 + \sqrt {11} \end{array}$

Theo bài ra $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {\left. { - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}} \right. \Rightarrow$ có $7$ giá trị của $m$ nguyên thỏa mãn bài toán.

Chọn B

Giả sử ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0$ là phương trình mặt cầu.

Khi đó tâm mặt cầu là $I\left( {2;\, - m;\,0} \right)$, và bán kính $R = \sqrt {4 + {m^2} - \left( {3{m^2} - 2m} \right)} = \sqrt { - 2{m^2} + 2m + 4}$. với điều kiện$- 2{m^2} + 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;\,2} \right)$.

Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1} \right\}$.

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ bằng 1.

Chọn C

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;3;0} \right)$ và bán kính bằng $R = 2$ có dạng:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 4$.

Chọn A

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)$ và bán kính $R$ là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}$.

Ta có: $M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25$.

Vậy phương trình cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25$.

Chọn D

Gọi $I$là trung điểm $AB$ ta có $I\left( { - 1;3;3} \right)$ là tâm mặt cầu.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} .$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45$.

Chọn B

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;\,1;\,0} \right)$, đi qua điểm $B\left( {0;\,1;\,2} \right)$ nên mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;\,1;\,0} \right)$ và nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ là bán kính.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2:\,0;\,2} \right)$. $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$. Suy ra: $R = 2\sqrt 2$.

Vậy: $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8$.

Chọn D

Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt 3$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt 3$ là ${(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3$

Chọn A

+ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow I\left( {3;3;1} \right)$.

$\overrightarrow {AB} \left( {4;2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {16 + 4 + 16} = 6$

+ Mặt cầu đường kính $AB$có tâm $I\left( {3;3;1} \right)$, bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = 3$ có phương trình là:

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Chọn D

Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm đoạn $MN$$\Rightarrow$$I\left( {1;2;1} \right)$.

Bán kính mặt cầu $R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6$.

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36$.

Chọn D

Ta có: $MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 9{\overrightarrow {MB} ^2}$$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}$$\Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 8M{I^2}\,\,\left( 1 \right)$

Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB}$ nên $IB = \frac{1}{2};\,IA = \frac{9}{2}$.

Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $\Leftrightarrow 8M{I^2}\, = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}$ suy ra $M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).$

Chọn D

Gọi phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$

Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên:

$\left\{ \begin{array}{l}18 - 6a - 6b + d = 0\\18 - 6a - 6c + d = 0\\18 - 6b - 6c + d = 0\\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a - 6b + d = - 18\\ - 6a - 6c + d = - 18\\ - 6b - 6c + d = - 18\\ - 6a - 6b - 6c + d = - 27\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 0\end{array} \right.$

Suy ra tâm $I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)$ bán kính $R = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}$.

Chọn A

Gọi $I\left( {a;\,b;\,c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( { - a;\,1 - b;\,2 - c} \right);\,\overrightarrow {IH} = \left( {4 - a;\, - 3 - b;\, - 2 - c} \right)$

$ABCD$ là tứ diện đều nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện $\Rightarrow \overrightarrow {IA} = - 3\overrightarrow {IH}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 3\left( {4 - a} \right)\\1 - b = - 3\left( { - 3 - b} \right)\\2 - c = - 3\left( { - 2 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)$.

Chọn D

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ với $a,b,c > 0$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} = - 6\\\frac{b}{3} = - 12\\\frac{c}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 18\\b = - 36\\c = 54\end{array} \right.$.

Gọi phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0$. Vì $\left( S \right)$ qua các điểm $O,A,B,C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}q = 0\\36m + q = - {18^2}\\72n + q = - {36^2}\\ - 108p + q = - {54^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9\\n = - 18\\p = 27\\q = 0\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ tâm mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( { - 9; - 18;27} \right)$.

Chọn A

Ta dễ dàng chứng minh được: ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma } \right)$.

Suy ra tâm $I$ thuộc mặt cầu $\left( {S'} \right)$có tâm $O\left( {0;0;0} \right),R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^2}\beta + {{\cos }^2}\gamma } = 1$

Mặt cầu $\left( S \right)$ luôn tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$.

Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm là $O$, bán kính ${R_1} = \left| {OI - R} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1$.

Mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm là $O$, bán kính ${R_2} = OI + R = 1 + 2 = 3$.

Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng $4\pi \left( {R_1^2 + R_2^2} \right) = 4\pi \left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 40\pi$.

Chọn A

Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục ${\rm{O}}x$ là $I\left( {1;0;0} \right) = > IM = \sqrt {13}$.Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$.

Chọn A

Gọi $H$ là trung điểm $AB$ suy ra $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $Ox$ nên $H\left( {1;0;0} \right)$.

$IH = \sqrt {13} \Rightarrow R = IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = 4$.

Phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$.

Chọn B

Với điểm $M\left( {1; - 2;3} \right)$ thì hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là $I\left( {1;0;0} \right)$

Có $IM = \sqrt {13}$ vậy phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;0;0} \right)$ bán kính $IM$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$

Chọn A

Gọi phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {6^2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0\\{2^2} + {4^2} + {6^2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0$$\Rightarrow$$I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$ và $R = \sqrt {14}$ $\Rightarrow$$R' = 2\sqrt {14}$.

Vậy: mặt cầu $\left( {S'} \right)$ có tâm $I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$ và $R' = 2\sqrt {14}$:${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56$.

Chọn B

Gọi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Oy$$\Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {2;1; - 3} \right)$ và tiếp xúc với trục $Oy$ có bán kính $IM = \sqrt {13}$.

Vậy $\left( S \right)$ có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 13$.