92 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án - Đề 2

Chọn C

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ và bán kính $R$.

Nên mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 20$ có tâm và bán kính là $I\left( {1; - 2;4} \right),\,R = 2\sqrt 5 .$

Chọn A

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.( - 1).x + 2.0.y - 2.1.z - 7 = 0$.

$\Rightarrow a = - 1,{\rm{ }}b = 0,{\rm{ }}c = 1,{\rm{ }}d = - 7$.

$\Rightarrow$Tâm mặt cầu $I\left( { - 1;\,0;\,1} \right)$bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {1^2} + 7} = 3$.

Chọn D

Ta có $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)} = 3$.

Chọn D

Ta có $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 7 = 0 \Leftrightarrow \,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9$

Vậy bán kính của mặt cầu bằng $3.$

Chọn B

Mặt cầu đã cho có phương trình dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có bán kính là

$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 7} = 3$

Chọn D

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16.$

Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {4\,;\,--1\,;\,0} \right)$ và bán kính $R = 4.$

Chọn B

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Vậy bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = 3$.

Chọn D

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0$

$\Rightarrow I\left( {4; - 1;0} \right)$

$R = 4$.

Chọn C

Mặt cầu $\left( S \right)$có tâm là $I\left( { - 3; - 1;1} \right)$.

Chọn A

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Từ đó suy ra mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là: $(-1\ ;\ 2\ ;\ 1)$

Chọn A

Phương trình mặt cầu: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$ có tâm $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Ta có $a = 4$, $b = - 5$, $c = 3$, $d = 49$. Do đó $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 1$.

Chọn B

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là $\left( {2;\, - 1;\,3} \right)$.

Chọn D.

Giả sử phương trình mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\rm{ }}({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0)$

Ta có: $a = - 2,b = 1,c = 0,d = - 4 \Rightarrow$ Bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3$.

Chọn C

Mặt cầu đã cho có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Chọn B

Tâm của $\left( S \right)$ có tọa độ là $\left( {3;\, - 1;\,1} \right)$.

Chọn D

Điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.

Chọn A

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)$ và bán kính $R$ là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}$.

Ta có: $M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25$.

Vậy phương trình cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25$.

Chọn A

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là một phương trình mặt cầu

$\Leftrightarrow {1^2} + {1^2} + {2^2} - m > 0$ $\Leftrightarrow$ $m < 6$.

Chọn C

Ta có $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5$

vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là

${\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} + {\left( {z - {z_I}} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$

Chọn D

Gọi $I$là trung điểm $AB$ ta có $I\left( { - 1;3;3} \right)$ là tâm mặt cầu.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} .$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45$.

Chọn D

Mặt cầu có tâm $I\left( {1\,;\, - 4\,;\,3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {5\,;\, - 3\,;\,2} \right)$nên có bán kính $R = IA = 3\sqrt 2$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$.

Chọn B

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu đường kính $AB$.

Khi đó $I\left( {1\,;\,0\,;\,2} \right)$.

Bán kính của mặt cầu là: $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$.

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2$.

Chọn C

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I(0;3; - 1).$

$\overrightarrow {IA} = (2;1;2) \Rightarrow IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3.$

Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB nên có phương trình là ${x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.$

Chọn A

Đáp án B vì không có số hạng ${y^2}$. Đáp án C loại vì có số hạng $2xy$. Đáp án D loại vì ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 = - 2 < 0$.

Đáp án A thỏa mãn vì ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0$.

Chọn D

Tâm $I$ mặt cầu là trung điểm của $AB$

$I\left( {1;1; - 2} \right)$ bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4} = \frac{1}{2}\sqrt {24}$

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6$

Chọn D

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Chọn B

Tọa độ tâm mặt cầu là $I\left( {3;\,3;\,1} \right)$, bán kính $R = IA = 3$.

Chọn B

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {2;\,1;\, - 2} \right)$ bán kính $R = 2$ có hai dạng:

Chính tắc: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {2^2}$

Tổng quát: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$.

Chọn B

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;\,1;\,0} \right)$, đi qua điểm $B\left( {0;\,1;\,2} \right)$ nên mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {2;\,1;\,0} \right)$ và nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ là bán kính.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2:\,0;\,2} \right)$. $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$. Suy ra: $R = 2\sqrt 2$.

Vậy: $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8$.