82 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phương trình mặt phẳng có đáp án - Đề 3

Chọn D

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {4;2 - m;m} \right)$.

Ta có: $\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 4.1 + 2 - m - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Nên $m = 2$.

Chọn B

Ta có vec tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)$, vec tơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;4; - m} \right)$.

Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song khi $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn điều kiện trên.

Chọn A

+ Ta có: $(P):x + 2y - 2z - 1 = 0$, chọn $A\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)$.

+ Xét đáp án A, ta có $d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3.$ Vậy đáp án A thoả mãn.

Chọn C

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {0;0; - 1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 nên có dạng $\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)$.

Mặt khác ta có $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Do đó $\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0$ hoặc $\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2;0;0} \right)$, $B\left( {0;3;0} \right)$, $C\left( {0;0; - 1} \right)$. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $D\left( {1;1;1} \right)$và song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

A. $2x + 3y - 6z + 1 = 0$.

B. $3x + 2y - 6z + 1 = 0$.

C. $3x + 2y - 5z = 0$.

D. $6x + 2y - 3z - 5 = 0$.

Chọn B

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 1}} = 1$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên

$\left( P \right)\,:$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)$.

Do $D\left( {1;1;1} \right) \in \left( P \right)$có: $\frac{1}{2}.1 + \frac{1}{3}.1 - 1 + m = 0\,\,\, \Leftrightarrow m - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}$.

Vậy $\left( P \right):\,\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + \frac{1}{6} = 0\,\,\, \Leftrightarrow 3x + 2y - 6z + 1 = 0$.

Chọn A

$\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$.

$\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)$.

$\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow m = - 24$ (nhận).

Vậy phương trình của $\left( P \right)$ là $6x + 3y + 2z - 24 = 0$.

Chọn C

Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$

$$\Rightarrow vtpt\overrightarrow {{n_P}} = vtpt\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1\,;\,2\,;\,2} \right)$$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $x + 2y + 2z + D = 0$

Gọi $A\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right) \in \left( Q \right)$

$$\Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right) = 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + D} \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + D = 3\\3 + D = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 0\,\,\,\,\,(l),\,qua\,O\,\\D = - 6\,\,(n)\end{array} \right.$$

Chọn B

Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0$; $C \ne - 5$

Chọn $M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)$

Ta có $d\left( {\left( P \right)\,;\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,;\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.$

$C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.

$C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$.

Chọn D

Gọi $(P):\left\{ \begin{array}{l}qua{\rm{ }}A(1;0;0)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow n = (A;B;C) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}(P):A.(x - 1) + By + Cz = 0\\B \in (P): - A - 2B + 3C = 0 \Leftrightarrow A = - 2B + 3C{\rm{ (1)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}d(C;(P)) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 3({B^2} + {C^2} + 2BC) = 4({A^2} + {B^2} + {C^2})\\ \Leftrightarrow {B^2} + {C^2} - 6BC + 4{A^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}$$

Thay ${\rm{(1)}}$ vào ${\rm{(2)}}$ ta có: ${B^2} + {C^2} - 6BC + 4{( - 2B + 3C)^2} = 0 \Leftrightarrow 17{B^2} - 54BC + 37{C^2} = 0$

Cho $C = 1:{\rm{ }}17{B^2} - 54B + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow A = 1\\B = \frac{{37}}{{17}} \Rightarrow A = \frac{{ - 23}}{{17}}\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}(P):x + y + x - 1 = 0\\(P): - 23x + 37y + 17z + 23 = 0\end{array}$$

Chọn D

Gọi $\left( \alpha \right):\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0} \right)$.

$O \in \left( \alpha \right)$ nên ta có: $D = 0\,$$\left( 1 \right)$

$Q \in \left( \alpha \right)$ nên ta có: $Ax + By + Cz - 2A - C = 0$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow C = - 2A$.

Theo đề bài: $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {N,\left( \alpha \right)} \right)$.

$\Leftrightarrow \left| {2A + 2B} \right| = \left| { - 6A} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2A + B = 6A\\2A + B = - 6A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 2A\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\B = - 4A\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( * \right):$Chọn $A = 1 \Rightarrow B = 2,\,\,C = - 2\,\,$$\Rightarrow \left( \alpha \right):\,x + 2y - 2z = 0$.

Từ $\left( {**} \right):$Chọn $A = 1 \Rightarrow B = - 4,\,\,C = - 2\,\,$$\Rightarrow \left( \alpha \right):\,x - 4y - 2z = 0$.

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ ${\rm{Ox}}yz$như hình vẽ.

Ta có $O\left( {0;0;0} \right)$, $A \in {\rm{Oz}},\;B \in Ox,\;C \in Oy$sao cho $AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4$

$\Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)$.

Khi đó: $G$ là trọng tâm tam giác$ABC$ nên $G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)$

$M$là trung điểm $OB$nên $M\left( {1;0;0} \right)$

$N$là trung điểm $OC$nên $N\left( {0;2;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1$ hay $10x + 5y + 2z - 10 = 0$

Vậy khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$là:

$d\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{20}}{3} + \frac{{20}}{3} + \frac{{10}}{3} - 10} \right|}}{{\sqrt {100 + 25 + 4} }} = \frac{{20}}{{3\sqrt {129} }}$.

Chọn B

Hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AB$ $\Rightarrow$ Góc giữa $SB$ và mặt đáy là góc giữa $SB$ và $AB$ và bằng góc $\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow SA = 2a$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {0;2a;0} \right)$, $C\left( {a;a;0} \right)$, $D\left( {a;0;0} \right)$, $S\left( {0;0;2a} \right)$, $E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)$.

$\overrightarrow {AC} = \left( {a;a;0} \right)$, $\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \left( {{a^2}; - {a^2}; - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)$

$\Rightarrow$ mặt phẳng $\left( {ACE} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)$$\Rightarrow \left( {ACE} \right):2x - 2y - z = 0$.

Vậy $d\left( {B,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2a} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{4a}}{3}$.

Chọn D

Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)$.

$M$ là trung điểm của $SB$ $\Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)$.

Viết phương trình mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$:

$\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 4;0} \right)$, $\overrightarrow {CM} = \left( { - 2; - 2;2} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {CD} \wedge \overrightarrow {CM} = \left( { - 8;0; - 8} \right)$.

$\left( {CDM} \right)$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)$.

Suy ra $\left( {CDM} \right)$ có phương trình: $x + z - 2 = 0$.

Vậy $d\left( {B;\left( {CDM} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$.

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O \equiv A$, tia $Ox \equiv AD$; tia $Oy \equiv AB$.

Khi đó, $A\left( {0;\,0;\,0} \right)$; $B\left( {0;\,2500;\,0} \right)$; $C\left( {1800;\,2500;\,0} \right)$;$D\left( {1500;\,0;\,0} \right)$.

Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10\,{\rm{cm}}$, $a\,{\rm{cm}}$, $6\,{\rm{cm}}$ tương ứng ta có các điểm mới $B'\left( {0\,;\,2500\,;\, - 10} \right)$; $C'\left( {1800\,;\,2500\,;\, - a} \right)$;$D'\left( {1500\,;\,0\,;\, - 6} \right)$.

Theo bài ra có bốn điểm $A$; $B'$; $C'$; $D'$ đồng phẳng.

Phương trình mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0$.

Do $C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)$ nên có: $1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17{,}2$.

Vậy $a = 17{,}2\,{\rm{cm}}$.

Chọn C

Theo giả thiết $A\in Ox,B\in Oy,C\in Oz$ nên ta có thể đặt $A(a;0;0),B(0;;0),C(0;0;c)$

Vì $M(1;2;3)$ là trọng tâm tam giác ABC nên.$\{\begin{matrix}a=3 \\ b=6 \\ c=9\end{matrix}$

Từ đó ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:

$(P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-18=0$

Chọn B

Mp(P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C nên $A(a,0{,}0),B(0,b,0),C(0{,}0,c)$

Vì là trọng tâm tứ diện OABCnên $\{\begin{matrix}{x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}+{X}_{o}}{4}=\frac{a}{4} \\ {y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}+{y}_{O}}{4}=\frac{b}{4} \\ {z}_{G}=\frac{{z}_{A}+{{z}_{}}_{B}+{z}_{C}+{z}_{o}}{4}=\frac{c}{4}\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}a=4 \\ b=16 \\ c=12\end{matrix}$

Khi đó mp(P) có phương trình là $\frac{x}{4}+\frac{y}{16}+\frac{z}{12}=1$ hay $12x+3y+4z-48=0$.

Vậy mp(P) thỏa mãn là $12x+3y+4z-48=0$.

Chọn C

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc\ne 0$

Khi đó mặt phẳng ($α$) có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Do $M\in (α)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}-\frac{3}{c}=1(1)$

Ta có:

Do là trực tâm tam giác nên:

Thay vào ta có:

Do đó

Chọn A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {c^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\3a + 4b + c = 14\\4a - 7b + 3b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow abc = 6.$

Chọn A

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a.b.c \ne 0} \right)$

Vì $\left( P \right)$ qua $M$ nên $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3; - 2; - 1} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3;b - 2; - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)$

Vì M là trực tâm của tam giác $ABC$ nên: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = c\\3a = c\end{array} \right.\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $a = \frac{{14}}{3};b = \frac{{14}}{2};c = 14$. Khi đó phương trình $\left( P \right)$: $3x + 2y + z - 14 = 0$

Vậy mặt phẳng song song với $\left( P \right)$là: $3x + 2y + z + 14 = 0.$

Chọn A

Ta có $\underset{AB}{\rightarrow }=(2;-3;-2)$, $\underset{AC}{\rightarrow }=(-2;-1;-1)$ nên $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;6;-8)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x+6y-8z+10=0$.

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2x+y+z-2=0$.

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2x-3y-2z+6=0$.

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H(\frac{-22}{101},\frac{70}{101},\frac{176}{101})\$.

Mặt phẳng (P) đi qua A,H nên $\overrightarrow{{n}_{p}}\perp \overrightarrow{AH}=((\frac{-22}{101},\frac{-31}{101},\frac{-26}{101})=\frac{-1}{101}(22;31;26)$.

Mặt phẳng $(P)\perp (ABC)$ nên $\overrightarrow{{n}_{p}}\perp {n}_{(ABC)}=(1;6;-8)$.

Vậy $[\begin{matrix}{n}_{(ABC)}; & {u}_{AH}\end{matrix}]=(404;-202;-101)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn ${\overrightarrow{n}}_{P}=(4;-2;-1)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4x-2y-z+4=0$.

Chọn D

Giả sử (P) đi qua 3 điểm M(a,0,0), N(0,b,0), P(0,0,c)

Suy ra $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Mà (P) đi qua A(1;1;1) và B(0;2;2) nên ta có hệ $\{\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \\ \frac{2}{b}+\frac{2}{c}=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=2 \\ \frac{2}{b}+\frac{2}{c}=1\end{matrix}$

Theo giả thuyết ta có $OM=2ON\Leftrightarrow a=2|b|\Leftrightarrow b=1$

TH1. b=1 $\Rightarrow$c=-2 suy ra $(P):x+2y-z-2=0$

TH1. b=-1$\Rightarrow$ c=$\frac{-2}{3}$ suy ra $(P):x-2y+3z-2=0$

Chọn C

Mặt phẳng $(α)$ cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A(m,0{,}0)$ $B(0,n,0)$ $C(0{,}0,p)$, m,n$\notin$. Ta có phương trình mặt phẳng ($α$) có dạng . $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$

Mà $M\in (α)\Leftrightarrow \frac{1}{m}+\frac{2}{n}+\frac{3}{p}=1(1)$

Ta $\overrightarrow{AM}=(1-m;2;3),\overrightarrow{BM}=(1;2-n;3),\overrightarrow{BC}=(0;-n;p),\overrightarrow{AC}=(-M;0;p)$

M là trực tâm tam giác ABC$\Rightarrow \{\begin{matrix}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3n-2n=0 \\ 3p-m=0\end{matrix}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $m=14,n=7,p=\frac{14}{3}$

Suy ra $(α)$ có phương trình $\frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{3z}{14}=1\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0$.

Vậy $T=a+b+c=1+2+3=6$

Chọn D

Giả sử mặt phẳng $(α)$ cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A(m;0;0)$, $B(0;n,0)$, $C(0;0;p)$ (với $m,n,p>0$)

Theo giả thiết có $OC=2OA=2OB$$\Rightarrow p=2m=2n(1)$.

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$.

Do mặt phẳng $(α)$ đi qua $M(1;-3;8)$ nên $\frac{1}{m}-\frac{3}{n}+\frac{8}{p}=1(2)$

Thay (1) vào (2) ta được $\frac{1}{m}-\frac{3}{m}+\frac{8}{2m}=1\Leftrightarrow \frac{2}{m}=1\Leftrightarrow m=2\Rightarrow m=n=2,p=4$

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1\Leftrightarrow 2x+2y+z-4=0$

Từ đó suy ra $a=2t,b=2t,c=1,d=-4t(t\ne 0)$.

Vậy $S=\frac{a+b+c}{d}=\frac{5}{4}$.