8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tọa độ của vectơ (Thông hiểu) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;2)$ ta có:

$2\overrightarrow{a}=(4;-6)$ và $3\overrightarrow{b}=(-3;6)$

Do đó $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(4+3;-6-6)=(7;-12)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: A(1; 2), B(2; 3) nên $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-2)=(1;1)$;

C(1; ‒1), D(4; 5) nên $\overrightarrow{CD}=(4-1;5+1)=(3;3)$.

Ta thấy: $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: A(1; 3); B(2; 4) nên $\overrightarrow{AB}=(2-1;4-3)=(1;1)$;

A(1; 3); C(5; 3) nên $\overrightarrow{AC}=(5-1;3-3)=(4;0)$.

Suy ra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{1.4+1.0}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}.\sqrt{{4}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^{\circ}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi D (a; b).

Khi đó với A(2; 4) và B(4; 5) ta có:

$\overrightarrow{DA}=(2-a;4-b)$ và $\overrightarrow{DB}=(4-a;5-b)$.

$\overrightarrow{DA}=2.\overrightarrow{DB}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-a=2.(4-a) \\ 4-b=2.(5-b)\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-a=8-2a \\ 4-b=10-2b\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=6 \\ b=6\end{matrix}$ .

Vậy D(6; 6).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với A(2; 5), B(4; 2) ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3)$.

Gọi D có tọa độ là D(a; b) thì với C(5; 1) ta có $\overrightarrow{CD}=(a-5;b-1)$.

ABDC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a-5=2 \\ b-1=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=7 \\ b=-2\end{matrix}$

Vậy D(7; ‒2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với A(1; 2), B(2; 4), C(4; 2) ta có:

$\overrightarrow{AB}=(1;2),\overrightarrow{BC}=(2;-2),\overrightarrow{AC}=(3;0)$.

$\Rightarrow AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$;

$BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-2)}^{2}}=2\sqrt{2}$;

$AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{3}^{2}+{0}^{2}}=3$.

Vậy chu vi tam giác ABC là: $P=\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{u}=(\frac{1}{2};-5)$ suy ra $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}+{(-5)}^{2}}=\frac{\sqrt{101}}{2}$

$\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{v}=(k;-4)$ suy ra $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{{k}^{2}+{(-4)}^{2}}=\sqrt{{k}^{2}+16}$

Để $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|$ thì $\frac{\sqrt{101}}{2}=\sqrt{{k}^{2}+16}$

Û k$^{2}$ + 16 = $\frac{101}{4}$ Û k$^{2}$ = $\frac{37}{4}$

Û k = $\pm \frac{\sqrt{37}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi H(x; y) là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.

Với A(4; 3), B(2; 7) và C(– 3; –8) và H(x; y) ta có:

$\overrightarrow{AH}=(x-4;y-3);\ \overrightarrow{BC}=(-5;-15);\ \overrightarrow{BH}=(x-2;y-7)$

Từ giả thiết ta có AH ⊥ BC (1) và B, H, C thẳng hàng (2).

$(1)\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ Û –5(x – 4) – 15(y – 3) = 0

Û x + 3y = 13.

$(2)\Leftrightarrow \overrightarrow{BH},\ \overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-7}{-15}$

Û 3(x – 2) = y – 7 Û 3x – y = –1

Giải hệ: $\{\begin{matrix}x+3y=13 \\ 3x-y=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=4\end{matrix}$

Vậy H(1; 4).