8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Phần 2) (Thông hiểu)

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$

Suy ra $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-1$ nên $α=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={180}^{o}$.

Vậy α = 180°.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

Suy ra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}=\frac{3}{2.3}=\frac{1}{2}$.

Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}={60}^{o}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Do 2 vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau

Nên $(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$

$\Leftrightarrow 2{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$

$\Leftrightarrow {2.1}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

Suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ hay α = 90°.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Tam giác đều ABC có cạnh bằng a nên AB = AC = a và $\widehat{A}=60^{\circ}.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.\cos A={a}^{2}.\cos {60}^{o}=\frac{{a}^{2}}{2}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có AD2 = AC2 + CD2 (định lí Pythagore trong tam giác ACD vuông tại C).

Suy ra $AD=\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}}=a\sqrt{2}$.

Hình vuông ABDC nên góc AD là tia phân giác của $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên góc $\widehat{CAD}=45^{\circ}.$

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=AC.AD.cos\widehat{CAD}$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=a.a\sqrt{2}.cos45^{\circ}={a}^{2}\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}={a}^{2}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

• Vì AH vuông góc với BC nên $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})={90}^{o}$ và $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$.

Do đó phương án A và B đúng.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao cũng là đường phân giác.

Nên $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{A}={30}^{o}$, suy ra $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB})=\widehat{HAB}={30}^{o}$, vậy phương án C sai.

• Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos A$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.cos60^{\circ}=a.a.\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}}{2}$ nên phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

• Tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có:

BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pythagore)

Suy ra $BC=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}}=a\sqrt{2}$.

• Gọi D là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$, khi đó AD // BC nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=45^{\circ}$.

Suy ra $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=\widehat{CAD}=\widehat{BAD}+\widehat{BAC}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$.

Khi đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})$

$=a.a\sqrt{2}.\cos {135}^{o}=a.a\sqrt{2}.(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-{a}^{2}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

• Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}=60^{\circ}$ nên $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}>0$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án A sai.

• Do ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án B sai.

• ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD.

Do đó $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=0$, phương án C sai.

• Lấy điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$

Khi đó

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CA})=\widehat{ACE}=180^{\circ}-\widehat{ACD}$

Mà ABCD là hình thoi nên CA là tia phân giác góc BCD

Do đó $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{BCD}=\frac{1}{2}.60^{\circ}=30^{\circ}$.

Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})=180^{\circ}-\widehat{ACD}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$

Nên $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}<0$, phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.