8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5 có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

Đáp án đúng là: C

Hình vẽ trên mô tả con tàu chạy theo hướng nam được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{AB}$, dòng nước chảy về hướng đông được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{AC}$, do đó AB ⊥ AC.

Khi đó tàu sẽ di chuyển với vectơ vận tốc là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành).

Do đó tàu sẽ di chuyển với vận tốc là độ lớn của vectơ $\overrightarrow{AD}$:

$|\overrightarrow{AD}|=AD=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{40}^{2}+{20}^{2}}=20\sqrt{5}\approx 44{,}7$ (km/h).

Đáp án đúng là: C

Ba lực F1, F2, F3 cùng tác động vào một vật tại điểm M được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật đó đứng yên nên ta có $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=\overrightarrow{0}$

Hay $\overrightarrow{MC}=-(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$

Vẽ hình vuông AMBD. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}$.

Suy ra $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MD}\Rightarrow |\overrightarrow{MC}|=|-\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{DM}|=DM$.

Xét tam giác AMD vuông tại A có AM = AD = 100, theo định lí Pythagore ta có:

MD2 = MA2 + AD2

Suy ra MD = $\sqrt{M{A}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{100}^{2}+{100}^{2}}=100\sqrt{2}$.

Do đó MC = $100\sqrt{2}$, vậy độ lớn lực F3 là $100\sqrt{2}N$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=F.d.\cos (\overrightarrow{F},\overrightarrow{d})=F.d.\cos {60}^{o}$

$\Leftrightarrow 2\ 000=F.50.\frac{1}{2}\Rightarrow F=80\ (N)$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có $AC=BD=\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}+{a}^{2}}=a\sqrt{3}$

Lại có $\{\begin{matrix}\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\end{matrix}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

$=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}$

$=-A{B}^{2}+0+\frac{1}{2}.0+\frac{1}{2}A{D}^{2}$

$=-{a}^{2}+\frac{1}{2}{(a\sqrt{2})}^{2}=0$.

Vậy $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC}=0$ ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC},\ \forall M$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=x(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})+y(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (1-x-y)\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (x+y-1)\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

Theo bài ta có $\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Do đó với điểm M bất kì thì $\{\begin{matrix}2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \\ 2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\end{matrix}$

Để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=k$

$\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}|=k$

$\Leftrightarrow 4|\overrightarrow{MI}|=k\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{k}{4}$

$\Leftrightarrow MI=\frac{k}{4}$ (*)

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{k}{4}$.

Đáp án đúng là : B

Ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$

$=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}).$

$=9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}$

Ta chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$ (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\ \overrightarrow{IG}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9\ \overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG}=\overrightarrow{CA}$ (3)

Do đó $|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}|$

$\Leftrightarrow |9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{AB}|$

$\Leftrightarrow |9\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{AB}|$ (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$)

$\Leftrightarrow 9MI=AB\Leftrightarrow IM=\frac{AB}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\frac{AB}{9}=\frac{a}{9}.$

Đáp án đúng là: D

ABCD là hình bình hành nên ta có SABCD = 2SABC

Suy ra 2SABC = 54 (cm2) nên SABC = 27 (cm2).

Mà diện tích tam giác ABC là:

${S}_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat{ABC}$

$\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{2.{S}_{ABC}}{AB.AD}=\frac{2.27}{8.12}=\frac{9}{16}.$

Mà ${\sin }^{2}\widehat{ABC}+co{s}^{2}\widehat{ABC}=1$

$\Rightarrow co{s}^{2}\widehat{ABC}=1-{\sin }^{2}\widehat{ABC}=1-{(\frac{9}{16})}^{2}=\frac{175}{256}$

Mà $\widehat{ABC}$ là góc nhọn nên $cos\widehat{ABC}=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC}$ là góc ngoài của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra $cos(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=cos(180^{\circ}-\widehat{ABC})=-cos\widehat{ABC}=-\frac{5\sqrt{7}}{16}$.

Vậy ta chọn phương án D.