77 bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động (có lời giải) - Đề 2

Khi xe dừng hẳn thì $v = 0$$\Leftrightarrow$$36 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 9\,$.

Khi đó, quãng đường $s = \int\limits_3^9 {\left( {36 - 4t} \right)dt} = \left. {\left( {36t - 2{t^2}} \right)} \right|_3^9 = 72\,\,\left( m \right)$.

Vậy quãng đường $s = 72\,\,m$.

Xe dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow = - 3t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Suy ra thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bốn giây.

Quãng đường ô tô đi được là $S = \int\limits_0^4 {v\left( t \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\int\limits_0^4 {\left( { - 3t + 12} \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\left. {\left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^4 = 24{\rm{m}}$.

Ta có biểu thức vận tốc: ${v_{(t)}} = 15 - at{\rm{ }}(m/s)$

Tại thời điểm xe dừng hẳn ${v_{(t)}} = 0 \Rightarrow 15 - at = 0 \Rightarrow t = \frac{{15}}{a}$

Do ô tô đi được $20m$thì dừng hẳn

$$\Rightarrow S = \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {{v_{\left( t \right)}}dt = 20} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - at} \right)dt} = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{{a{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{{15}}{a}\\0\end{array} \right. = 20$$

$$\Leftrightarrow 15\left( {\frac{{15}}{a}} \right) - \frac{a}{2}.{\left( {\frac{{15}}{a}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow 225 = 40a \Rightarrow a = 5{,}625 \in \left( {5;6} \right).$$

Ô tô dừng lại khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Do đó từ lúc đạp phanh ($t = 0$) đến khi dừng hẳn ($t = 4$), ô tô di chuyển được quãng đường là:

$S = \int\limits_0^4 {( - 6t + 24)dt = \left. {( - 3{t^{{2^{}}}} + 24t)} \right|} _0^4 = 48$.

Ta có: $v\left( t \right) = 100 - 10t$

Khi vật dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy quãng đường vật di chuyển từ thời điểm $t = 0$ đến lúc vật dừng hẳn là

$S = \int\limits_0^{10} {\left( {100 - 10t} \right)dt = 500}$.

Vận tốc của ô tô sau khi tăng tốc là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{d}}t = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + C}$.

Tại thời điểm $t = 0$, ta có $v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15$$\Rightarrow v\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15$.

Vậy sau $10$giây tăng tốc, quãng đường ô tô đi được là

$S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15} \right){\rm{d}}t} = 250$.

$\left( P \right)$.

Khi xe dừng thì vận tốc bằng $0$$\Rightarrow - 5t + 10 = 0$$\Rightarrow t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường xe đi đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là

$\Rightarrow M\left( {\frac{1}{6} + t;\frac{5}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t} \right)$$= \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 10t} \right)} \right|_0^2 = 10\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Khoảng thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:

$- 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ $\left( {\rm{s}} \right)$.

Như vậy trong $10$ giây cuối cùng, ô tô chạy với vận tốc không đổi là $20$$\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ trong $5$ giây đầu tiên và chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + 20$ $\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ trong $5$ giây còn lại.

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được trong $10$ giây cuối cùng là:

$S = 20.5 + \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = 150$$\left( {\rm{m}} \right)$.

Theo đề bài vận tốc của xe lúc nhấn ga để về đích là $180{\rm{ km/h}}$ hay $50{\rm{ m/s}}$.

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của xe đua, ta có $v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t = \int {(2t + 1){\rm{d}}t = {t^2}} } + t + C$.

Vì vận tốc ban đầu của xe là $50{\rm{ m/s}}$ nên $v(0) = 50 \Rightarrow {0^2} + 0 + C = 50$$\Rightarrow$ $v(t) = {t^2} + t + 50$.

Vận tốc của xe tại thời điểm $t = 4\left( {\rm{s}} \right)$ là $v\left( 4 \right) = {4^2} + 4 + 50 = 70{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ hay $252\;{\rm{km/h}}.$

Vận tốc của xe sau 4 giây là 252km/h.

Khi ô tô dừng hẳn thì: $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( s \right)$.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: $s = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt = 40\left( m \right)}$.

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( {2t + \frac{1}{3}{t^2}} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + C$.

Vận tốc khi bắt đầu tăng tốc là $10\;m/s$: $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10$.

Vận tốc của vật là $v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10$.

Quãng đường vật đi được trong 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc:

$\int\limits_0^{12} v \left( t \right){\rm{dt = }}\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{dt = 1272}}\;{\rm{m}}$.

Thời gian kể từ kể từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẵn là $- 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10.$

Quảng đường ô tô đi được trong 10s kể từ lúc đạp phanh là $\int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}x} = 100$ m.

Quảng đường ô tô đi được trong 5s cuối trước khi đạp phanh là $20.5 = 100$ m.

Vậy trong 15s cuối, ô tô đi được quảng đường là $200$ m.

Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc $v\left( t \right) = 0$, tức là $v\left( t \right) = - 6t + 12 = 0$$\Leftrightarrow t = 2$.

Vậy ô tô còn di chuyển được quãng đường là: $\int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)} {\rm{d}}t$$= 12$$\left( m \right)$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}} t = \int {6t{\rm{d}}t = 3{t^2} + C}$

Đang chạy với vận tốc${\rm{10}}\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$thì bắt đầu tăng tốc, thời điểm bắt đầu tăng tốc là$t = 0$nên ta có

$v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = 3{t^2} + 10$.

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian$10\left( {\rm{s}} \right)$kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

$\int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right){\rm{d}}t = 1100\left( {\rm{m}} \right)}$.

Khi dừng hẳn thì $v(t) = - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được:

$s = \int\limits_0^3 {v(t){\rm{d}}t} = \int\limits_0^3 {( - 5t + 15){\rm{d}}t} = \left. {( - \frac{5}{2}{t^2} + 15t)} \right|_0^3 = 22{,}5\,{\rm{m}}$.

Vận tốc chuyển động $v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t} = \int {(3{t^2} + t){\rm{d}}t} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C.$

Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì $v(0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow v(t) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2.$

Khi đó tại thời điểm $2\,{\rm{s}}$ thì $v(2) = 12\,{\rm{m/s}}.$

Gọi ${t_0}$ là thời điểm vật dừng lại, khi đó $v({t_0}) = 0$$\Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0$$\Leftrightarrow {t_0} = 16$.

Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại là $S = \int\limits_0^{16} {(160 - 10t)} {\rm{d}}t = 1280{\rm{ (m)}}$.

Công thức xác định tọa độ của chất điểm theo thời gian là:

$x(t) = \int {v(t)dt = \int {(3{t^2} + 4t)dt = {t^3} + 2{t^2} + c} }$

Vì lúc bắt đầu chuyển động thì chất điểm ở vị trí có tọa độ$x = 2$nên ta có:$x(0) = {0^3} + {2.0^2} + c = 2 \Rightarrow c = 2$.

Vậy công thức biểu thị tọa độ chất điểm đi được theo thời gian là: $x\left( t \right) = {t^3} + 2{t^2} + 2.$

Nên tọa độ của chất điểm sau $1$ giây chuyển động là:$x(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2 = 5$.

Quãng đường đi được trong $10$ giây đầu tiên là: $\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + k} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{250}}{3} + 10k = 120$ $\Rightarrow k = \frac{{11}}{3}$.

Quãng đường đi được trong $12$ giây đầu tiên là: $\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + \frac{{11}}{3}} \right)} {\rm{d}}t = 188\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Sau 5 giây đầu tiên, vận tốc của vật là: ${v_5} = {5^2} = 25\,\,$(m/s)

Suy ra trong 15 giây tiếp theo, vật chuyển động thẳng đều với vận tốc là 25 (m/s)

Vậy quãng đường vật đi được trong 20 giây đầu tiên là:

$S = \int\limits_0^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {vdt} + \int\limits_5^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {{t^2}dt} + \int\limits_5^{20} {25dt} = \frac{{1250}}{3}$ (m).

Chọn hệ quy chiếu có chiều dương là chiều chuyển động của vật, gốc thời gian là tại thời điểm vật bắt đầu chịu tác dụng của lực hãm.

Vận tốc của vật là $v = \int {a{\rm{d}}t = } \int {\left( {1 - 2t} \right){\rm{d}}t = t - {t^2} + C{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)}$.

Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có ${v_0} = 20 = C \Rightarrow v = t - {t^2} + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Vật dừng lại khi $v = t - {t^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\\t = 5\end{array} \right.$

Theo cách hệ hệ quy chiếu ta có $t = 5{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$ thỏa mãn.

Suy ra quãng đường vật đi được tính từ lúc chịu tác dụng của lực hãm cho đến khi dừng lại là

$\int\limits_0^5 {\left| v \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^5 {\left| {t - {t^2} + 20} \right|{\rm{d}}t = } \frac{{425}}{6}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm $B$ bắt kịp thì $A$ đi được $15$ giây, $B$ đi được 10 giây.

+) Biểu thức vận tốc của chất điểm $B$ có dạng ${v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C$, lại có ${v_B}\left( 0 \right) = 0$ nên ${v_B}\left( t \right) = at$.

+) Từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm $B$ bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó

$\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {at{\rm{d}}t}$$\Leftrightarrow 75 = 50a$$\Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$.

Từ đó, vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng ${v}_{B}(10)=\frac{3.10}{2}$ = 15

Tìm được phương trình của vận tốc là $v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6$

Vậy $S = \int\limits_0^3 {( - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} )dt =$ 24,75.

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của vật, ta có $v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C$.

Do $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,$.

Khi đó $s={\int }_{0}^{12}({t}^{3}+{t}^{2}+10)dt=(\frac{{t}^{4}}{4}+\frac{{t}^{3}}{3}+10t)\{\begin{matrix}12 \\ 0\end{matrix}=5880(m)$

Ta có: $v = 0 \Rightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15$.

Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được quãng đường là:

$s = \int\limits_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}$.