77 bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động (có lời giải) - Đề 1

Xét phương trình $- 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.$ Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là

${\int }_{0}^{2}(-5t+10)dt=(\frac{-5}{2}{t}^{2}+10t)|\frac{2}{0}|=10m$

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\frac{2}{{t + 1}}} \,{\rm{d}}t = 2\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Theo giả thiết ta có: $v\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4$. Suy ra $v\left( t \right) = 2\ln \left| {t + 1} \right| + 4$.

Từ đó ta có vận tốc của vật sau $20$ giây là $v\left( {20} \right) = 2.\ln 21 + 4 \approx 10{,}09$.

Tại thời điểm vật dừng hẳn ta có: $v(t) = 0 \Leftrightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15$

Do vậy trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được một quảng đường bằng

$S = \int_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Vận tốc của vật là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\frac{{3{\rm{dt}}}}{{t + 1}}} {\mkern 1mu} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Tại thời điểm vật bắt đầu tăng tốc$v\left( 0 \right) = C = 6$. Suy ra $v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$

Vậy vận tốc của vật sau $10$ giây bằng $v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\, \approx 13\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}v(t) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right|} + C\\v(0) = 6 \Rightarrow 3\ln 1 + C = 6 \Rightarrow C = 6;{\rm{ }} \Rightarrow v(10) = 3\ln 11 + 6\end{array}$

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \int {\left( {2 + 6t} \right){\rm{d}}t = } 2t + 3{t^2} + C$.

Tại thời điểm ô tô bắt đầu chuyển động $v\left( 0 \right) = C = 60$.

Quãng đường ô tô đi được là $S = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3{t^2} + 60} \right){\rm{d}}t} = \left( {{t^2} + {t^3} + 60t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 62\,{\rm{km}}$.

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: ${v_1}\left( 5 \right) = 35\left( {m/s} \right)$.

Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: ${v_2}\left( t \right) = - 70t + C$.

Do ${v_2}\left( 0 \right) = 35$ $\Rightarrow C = 35$ $\Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 70t + 35$.

Khi xe dừng hẳn tức là ${v_2}\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 70t + 35 = 0$ $\Rightarrow t = \frac{1}{2}$.

Quãng đường $S\left( m \right)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:

$S\left( m \right) = \int\limits_0^5 {7t.\,dt} + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)\,dt}$ $= 96{,}25\left( m \right)$.

Tại thời điểm ô tô có vận tốc $19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$tương ứng với $t = 0\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Khi ô tô dừng lại thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right){\rm{d}}t} = \left( { - 19{t^2} + 19t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{1}{2}}} \right. = 4{,}75\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Gọi ${t_0}$ là thời điểm lúc ô tô bắt đầu đạp phanh, ta có $9 = - 3{t_0} + 9$ $\Leftrightarrow {t_0} = 0$.

Gọi ${t_1}$ là thời điểm lúc ô tô dừng hẳn, ta có $0 = - 3{t_1} + 9$$\Leftrightarrow {t_1} = 3$.

Vậy quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là

$S\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^3 {\left( { - 3t + 9} \right){\rm{d}}t}$$\left. { = \left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 9t} \right)} \right|_0^3 = 13{,}5$ $\left( {\rm{m}} \right)$.

Khi ôtô dừng hẳn ta có $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}$.

Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$$S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v\left( t \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \left. {\left( { - 5.\frac{{{t^2}}}{2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = 40$$

$$- \frac{5}{2}.\frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{10}} = 40 \Leftrightarrow a = 20.$$

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của vật, ta có $v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C$.

Do $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,$.

Khi đó $S = \int\limits_0^{12} {\left( {{t^3} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 5880\,\left( {\rm{m}} \right)$.

$a\left( t \right) = {t^2} + 4t$ $\Rightarrow v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C{\rm{ }}$$\left( {C \in \mathbb{R}} \right)$.

Mà $v\left( 0 \right) = C = 15$ $\Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15$.

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right){\rm{d}}t} = 69{,}75\;{\rm{m}}$.

Đặt ${t_0} = 0$ là thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc triệt tiêu nên

$- 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường:

$\int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{dt}}} = 50$ mét.

Có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t = 10t - {t^2} + C}$.

Lại có $v\left( 0 \right) = 5$ $\Leftrightarrow C = 5$. Vậy $v\left( t \right) = 10t - {t^2} + 5$.

Khi đó vận tốc của vật sau $5$ giây là $v\left( 5 \right) = 10.5 - {5^2} + 5 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: $- 2t + 20 = 0$$\Leftrightarrow t = 10{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường ôto đi được trong $15$ giây cuối cùng là:

$s = 20.5 + \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}t} = 100 + \left. {\left( { - {t^2} + 20t} \right)} \right|_0^{10} = 100 + \left( { - 100 + 200} \right) = 200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t}$$= {t^2} + t + C$.

Mặt khác vận tốc ban đầu là $180$ ${\rm{km/h}}$ hay $50$ ${\rm{m/s}}$ nên ta có $v\left( 0 \right) = 50$$\Leftrightarrow C = 50$.

Khi đó vận tốc của vật sau $5$ giây là $v\left( 5 \right) = {5^2} + 5 + 50 = 80$${\rm{m/s}}$ hay $288$${\rm{km/h}}$.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} + 9t - 6 = 24 \Rightarrow t = 2$$\left( {\rm{s}} \right)$.

Lại có $a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t + 9 \Rightarrow a\left( 2 \right) = 21$$\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$.

Ta có $v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}$ và $v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t$$= \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}$.

Quãng đường vật đi được là $S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6$$= 216\,{\rm{m}}$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}{\rm{d}}t}$ $= 3\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Theo giả thiết ta có $v\left( 0 \right) = 6$ $\Leftrightarrow C = 6$. Suy ra $v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6$.

Vận tốc của vật sau $10$ giây là $v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13{\rm{m/s}}$.

* Xe dừng lại khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$.

* Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:

$$\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} {\rm{ = }}\left. {\left( {20t - \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4{\rm{ = 40 m}}$$

* Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: $45 - 40 = 5{\rm{ m}}$.

Gia tốc $a\left( t \right) = v'\left( t \right)$$= 3{t^2} - 3$. Tại thời điểm vật có gia tốc $24$${\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$thì $24 = 3{t^2} - 3$$\Leftrightarrow t = 3$.

Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng $24$${\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$là quãng đường vật đi từ vị trí $t = 0$đến vị trí $t = 3$. Nên $S\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {\left( {{t^3} - 3t + 1} \right){\rm{d}}t} = \frac{{39}}{4}$.

Gọi $a$ là gia tốc của chuyển động chậm dần đều nên $a$ là hằng số thực âm.

Ta có: $v = \int_{}^{} {a\,{\rm{d}}t} = at + C$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}v\left( 0 \right) = 72\,{\rm{km/h}}\\{\rm{v}}\left( {10} \right) = 54\,{\rm{km/h}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\10a + C = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\a = - \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Do đó: $v = - \frac{9}{5}t + 72$. Vậy $v = 36$$\Leftrightarrow 72 - \frac{9}{5}t = 36$ $\Leftrightarrow t = 20{\rm{s}}$.

Vật tốc $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6t + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t}$$= 3{t^2} + 4{t^3} + C$

Tại thời điểm $t = 0$ (lúc bắt đầu tăng tốc) thì $v\left( t \right) = 10$ ${\rm{m/s}}$$\Leftrightarrow v\left( 0 \right) = 10$ $\Leftrightarrow C = 10$.

Vậy $v\left( t \right) = 3{t^2} + 4{t^3} + 10$.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

$S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t}$ $= \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 4{t^3} + 10} \right){\rm{d}}t}$$= 11100$ ${\rm{m}}$.

Khi ô tô dùng hẳn thì $V\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Quãng đường di chuyển của ô tô từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là

$s = \int\limits_0^3 {\left( { - 5t + 15} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 15t} \right)} \right|_0^3 = 22{,}5$m.