75 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 2

Chọn D

Trục $Ox$đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)$nên có phương trình tham số là:

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 0 + 0.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right..$$

Chọn B

Vì đường thẳng song song với đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t = - 1 + 2t'\end{array} \right.$nên nó có vectơ chỉ phương là $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t = - 1 + 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - at' = 0\\ - 2t - t' = - 2\\t - 2t' = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\0 - a.2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\a = 0\end{array} \right. \cdot$ hoặc $a = 0$ nên loại phương án C và D.

Vì điểm $M\left( {2;\,1;\, - 1} \right)$thuộc đường thẳng $\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$ nên chọn phương án B.

Vậy phương trình của đường thẳng là $\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.$

Chọn B

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Do $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2\,; - 3\,; - 1} \right)$.

Vậy phương trình của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.$.

Chọn B

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$nên nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương. Mặt khác $d$ đi qua $A\left( {1;1;1} \right)$nên:

$\Rightarrow$ Đường thẳng $d$ có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Chọn A

Ta có mặt phẳng $(P):x + z - 2 = 0$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;0;1} \right)$

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$. Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $\left( P \right)$nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;0;1} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(3;2; - 1)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;0;1} \right)$là:

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z = - 1 + t\end{array} \right..$$

Chọn A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;4;2} \right)$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)$.

Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là$\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Chọn B

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {BCD} \right)\,.$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {BD} = \left( {0\,; - 1\,;\, - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ có vec tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {BC} \,} \right] = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\,.$

Gọi ${\overrightarrow u _d}$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vì $d \bot \left( {BCD} \right)$ nên $\overrightarrow {{u_d}} = {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Đáp A và C có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)$ nên loại B và D.

Ta thấy điểm $A\left( {0\,;\,0\,;2\,} \right)$thuộc đáp án C nên loại A.

Chọn C

$\left( P \right):x + z - 5 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)$

$\left( Q \right):x - 2y - z + 3 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 1} \right)$

Gọi $\Delta$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì $\Delta$ có 1 vtcp $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Chọn B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\underset{u}{\rightarrow }=(1;-2;1)$.

Mặt phẳng (T) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{T}}{\rightarrow }=(1;1;2)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{2}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{T}}{\rightarrow }$. Do đó d không vuông góc với (T).

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{P}}{\rightarrow }=(1;-2;1)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}=\frac{1}{1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ cùng phương với $\underset{{n}_{P}}{\rightarrow }$. Do đó d vuông góc với (P).

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n$\underset{{n}_{Q}}{\rightarrow }=(1;-2;-1)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{1}{-1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{Q}}{\rightarrow }$. Do đó d không vuông góc với (Q).

Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{R}}{\rightarrow }=(1;1;1)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{R}}{\rightarrow }$. Do đó d không vuông góc với (R).

Chọn D

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ nên nhận véc tơ chỉ phương $\underset{{u}_{d}}{\rightarrow }=(1;1;1)$ làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0, mặt khác (P) đi qua gốc tọa độ nên D = 0.

Vậy phương trình (P) là:x + y + z = 0.

Chọn A

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 0; 3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\underset{u}{\rightarrow }=(2;-1;1)$ làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x - y + z - 3 = 0

Chọn A

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)$

Để mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow u$ phải cùng phương với $\overrightarrow n$ $\Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2$.

Chọn A

$\Delta$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 3} \right)$ và $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$.

$\left( \alpha \right)$ qua $O$ và nhận $\overrightarrow {n'} = - \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( {1;2;1} \right)$

Suy ra $\left( \alpha \right):x + 2y + z = 0$.

Chọn D

Đường thẳng ${d_2}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1; - 2;3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( { - 3;1; - 4} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0$; $\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;4; - 6} \right)$; $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN} = - 16 + 20 - 12 = - 8 \ne 0$

$\Rightarrow$ ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ nhận $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ của đoạn $MN$

Suy ra phương trình của $\left( P \right)$: $4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0$

$\Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2$ $\Rightarrow a + 2b + 3c = 20$.

Chọn C

Đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ đi qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right)$, có một VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau ${d_1},{d_2}$$\Rightarrow$$\left( P \right)$ qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right),$ có một VTPT là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là :

$\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0$.

Chọn A

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 4} \right)$.

Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {0;1; - 1} \right)$.

Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_P}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}}$ và $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}}$ nên chọn $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;0} \right),$ VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;1} \right)$ có phương trình là: $3x + y + z - 1 = 0$.

Chọn A

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua $A\left( {2;6; - 2} \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Gọi $\overrightarrow n$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$. Do mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${d_1}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${d_2}$ nên $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {2;6; - 2} \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;5;8} \right)$ là $x + 5y + 8z - 16 = 0$.

Chọn C

Phương trình đường thẳng qua hai điểm $A$, $O$ có dạng $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm $A$, $O$ nên $\left( P \right)$: $m\left( {x - y} \right) + nz = 0$, ${m^2} + {n^2} > 0$. Khi đó véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ có dạng $\overrightarrow n = \left( {m; - m;n} \right)$.

Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3$ $\Leftrightarrow 2{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{n} = 1\\\frac{m}{n} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là $\overrightarrow n = \left( {\frac{1}{5}n;\frac{{ - 1}}{5}n;n} \right) = \frac{n}{5}\left( {1; - 1;5} \right)$.

Chọn C

VTCP của $d$ là $\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)$ và $B\left( {1; - 2;1} \right) \in d$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;1} \right)$.

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)$.

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là $5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $5x - 2y - 4z - 5 = 0$.

Chọn A

Ta có: Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm $A\left( {0;1;2} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song ${d_1};{d_2}$ nên $\left( P \right)$ có VTPT là $n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)$

Do đó: Mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $y - z + m = 0$

Mặt khác: $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$ nên

$d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

Vậy $\left( P \right)$:$y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0$.

Chọn C

+ Từ hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)$,$A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,$

$B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,$$C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).$

+ Ta thấy $OC \bot \left( {BB'D'D} \right)$ và $\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)$ nên suy ra mặt phẳng $\left( {BB'D'D} \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)$.

+ Đường thẳng $A'B$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)$ ta chọn $\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).$

+ Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Chọn B

Gọi $I = AC \cap BD$.

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt 2$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SI \bot BD\\AI \bot BD\end{array} \right.$$\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}$.

Ta có $\tan \alpha = \tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = a$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {a;\,0;\,0} \right)$, $C\left( {a;\,a;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\,a} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {SA} = \left( {0;\,0;\, - a} \right)$; $\overrightarrow {SC} = \left( {a;\,a;\, - a} \right)$; $\overrightarrow {SB} = \left( {a;\,0;\, - a} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {1;\,0;\,1} \right)$.

Suy ra $\cos (\widehat{(SAC);(SBC)})=\frac{|{\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}|}{|{\overrightarrow{n}}_{1}|.|{\overrightarrow{n}}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow (\widehat{(SAC);(SBC)})=60^{\circ}$

Chọn D

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. $O \equiv A(0;0;0)$; $B(1;0;0);D(0;1;0);C(1;1;0);S(0;0;2)$

Do M là trung điểm của SD nên $M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$

$\overrightarrow {BC} = (0;1;0);\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2;0;1} \right)$

$\overrightarrow {MA} = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow {AC} = (1;1;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)$. VTPT của (AMC) là: $\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)$

$$\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \tan \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$$

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ $Ox{\rm{yz}}$ sao cho $A \equiv O$, $B \in Ox$, $D \in Oy$, $S \in Oz$.

$\Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)$, $S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$. Khi đó $E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)$, $F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)$, $\overrightarrow {AF} = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mp$\left( {AEF} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).$.

Vectơ pháp tuyến của mp$\left( {ABCD} \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {AS} = (0\,;\,0\,;\,a)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).$.

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$và $\left( {ABCD} \right)$ là.

$\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot$.

Chọn C

Cách 1:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Ta có: $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $A\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)$, $B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $C\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$, $M\left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BC}=(-a\ ;\ 0\ ;\ a),\overrightarrow{OM}=(\frac{a}{2}\ ;\ \frac{a}{2}\ ;\ 0)$

$\Rightarrow \cos \widehat{(\overrightarrow{BC}\ ;\ \overrightarrow{OM})}=\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM}=\frac{-\frac{{a}^{2}}{2}}{a.\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{(\overrightarrow{BC}\ ;\ \overrightarrow{OM})}=120^{\circ}$

Cách 2:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\\\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{2}O{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

$BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 2$ và $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó: $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{OM.BC}=\frac{-\frac{{a}^{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow (\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC})=120^{\circ}$

Chọn B

Gọi $O = AC \cap BD$.

Tam giác $SAO$ vuông : $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ

$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right)$, $C\left( {a;a;0} \right)$, $D\left( {0;a;0} \right)$, $O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)$, $S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)$.

Ta có : $\overrightarrow {AS} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)$ $= \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)$, $\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)$.

Góc giữa đường thẳng $BG$ với đường thẳng $SA$ bằng:

$\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}$$= \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn A

* Chọn $AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3$, đặt

$AA' = h$, chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ ta có: $D\left( {1;0;0} \right)$, $B\left( { - 1;0;0} \right)$, $C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)$, $D'\left( {1;0;h} \right)$, $C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)$, $B'\left( { - 1;0;h} \right)$.

$\Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)$, $\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;h} \right)$, $\overrightarrow {B'D} = \left( {2;0; - h} \right)$.

* Do $MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D} = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)$. Ta có:

$MN{\rm{//}}\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)$, $\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n = \overrightarrow j = \left( {0;0;1} \right)$.

* Do $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ nên ta có:

$\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Chọn C

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông $a = 1$.

Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Vì $SAB$ là tam giác đều và $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Xét hệ trục $Oxyz$ có $O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$. Khi đó $C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {SA} = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)$.

Vậy $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}$.

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ $O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.$

Khi đó:$A'(0;0;0)$, $D'(a;0;0)$, $B'(0;a;0)$, $C'(a;a;0)$,

$A(0;0;a)$, $D(a;0;a)$, $B(0;a;a)$, $C(a;a;a)$.

$$\Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).$$

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).$

Chọn $\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).$