75 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 1

Chọn C

Từ phương trình đường thẳng $d$ ta thấy véctơ $\overrightarrow {{u_3}} = (1; - 2;3)$là một véctơ chỉ phương của $d$.

Chọn B

Đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}$ có một vectơ chỉ phương là. $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 5;3} \right)$

Chọn B

Đường thẳng $\left( P \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;\, - 1;\,2} \right) = - 1\left( { - 1;\,1;\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 1;\,1;\, - 2} \right)$.

Chọn D

Ta có một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)$.

$\overrightarrow {{u_2}} = - 3\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_3}} = - \overrightarrow {{u_1}}$ $\Rightarrow$ các vectơ $\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$ cũng là vectơ chỉ phương của $d$.

Không tồn tại số $k$ để $\overrightarrow {{u_4}} = k\overrightarrow {.{u_1}}$ nên $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 2;4;3} \right)$ không phải là vectơ chỉ phương của $d$.

Chọn C

Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là $\left( { - 2; - 1; - 1} \right) = - \left( {2;1;1} \right)$(thỏa đề bài).

Chọn D

Xét đường thẳng được cho ở câu D, có một vectơ chỉ phương là

$\vec u = (2; - 4; - 5) = - ( - 2;4;5)$$\left( { - 2; - 1; - 1} \right) = - \left( {2;1;1} \right)$(thỏa đề bài).

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)$ suy ra đường thẳng $AB$ có VTCP là $\vec b = \left( { - 1;0;2} \right)$.

Chọn A

${M_1}$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox \Rightarrow {M_1}\left( {1;0;0} \right)$.

${M_2}$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Oy \Rightarrow {M_2}\left( {0;2;0} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;2;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${M_1}{M_2}$.

Chọn C

Cho $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\\z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = - 1\end{array} \right.$ vậy $P\left( {2;1; - 1} \right) \in d$.

Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm $P\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ thỏa $\frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 2}}{3} = \frac{{1 - 1}}{3} = 0$. Vậy điểm $P\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ thuộc đường thẳng yêu cầu.

Chọn A

Thế điểm $N(4;2; - 1)$ vào $d$ ta thấy thỏa mãn nên chọn A.

Chọn C

Với $t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {1;\;5;\;2} \right) \in d$.

Chọn C

${d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)$; ${d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2; - 1;2} \right)$

$\overrightarrow {{u_1}} = - \overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow {d_1}//{d_2} \vee {d_1} \equiv {d_2}$

Điểm $M\left( {1;0; - 2} \right) \in {{\rm{d}}_1}$; $M \notin {d_2}$ nên${d_1}//{d_2}$

Chọn C

$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$có VTCP $\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$và đi qua $m$

$\Delta$có VTCP $(S)$và đi qua $m = \frac{{15}}{2}$

Từ đó ta có

$m = \frac{5}{2}$và $m > \frac{{15}}{2}$

Lại có $m < \frac{5}{2}$

Suy ra $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ chéo nhau với $m \in \mathbb{R}$.

Chọn A

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$có VTCP $\Delta$và đi qua $(S)$

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = \frac{{15}}{2}}\\{m = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.$có VTCP $Oxyz$và đi qua ${(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1$

Từ đó ta có

$\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.$và $m$

Lại có $\Delta$

Suy ra $(S)$ song song với $\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$.

Chọn A

$m = \frac{{15}}{2}$có VTCP $m = \frac{5}{2}$và đi qua $m \in \mathbb{R}$

$\Delta$có VTCP $(S)$và đi qua ${(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1$

Từ đó ta có

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{ (1)}}\end{array}$$

Suy ra $\Delta$và $(S)$

Suy ra $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}$ trùng với $Oxyz$.

Chọn D

d có VTCP $\underset{u}{\rightarrow }=(-2;1;3)$ và đi qua M(1; -2; 4)

d' có VTCP $\underset{{u}^{'}}{\rightarrow }=(1;-1;3)$ và đi qua M'(-1; 0; -2)

Từ đó ta có

$\underset{MM'}{\rightarrow }=(-2;2;-6)$

$[\underset{u}{\rightarrow },\underset{u'}{\rightarrow }]=(6;9;1)\ne \underset{0}{\rightarrow }$ và $[\underset{u}{\rightarrow },\underset{u'}{\rightarrow }].\underset{MM'}{\rightarrow }=0$

Suy ra d cắt d'.

Chọn A

Áp dụng công thức ở lý thuyết.

Chọn D

Gọi $\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

$\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( - \,1;\,\,0;\,\,1)$

Áp dụng công thức ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| { - \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow ({d}_{1},{d}_{2})\ =\ 60^{\circ}$

Chọn C

Gọi $\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n$ lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). $\overrightarrow u = \left( {1;\,\, - 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)$

Áp dụng công thức ta có $\sin (Δ,(P))=|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})|=\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|1.5-11.2+1.2|}{\sqrt{{5}^{2}+{11}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \ (Δ,(P))\ =\ 30^{\circ}.$

Chọn A

Đường thẳng $d$có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$

Gọi $\alpha$là góc giữa Đường thẳng $d$và Mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có

$\sin α=\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|-1.1+2.(-1)+1.0|}{\sqrt{{(-1)}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{(-1)}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó $α={60}^{0}$

Chọn A

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow n = ( - \sqrt 3 ;1;0)$

Trục $Ox$có VTCP $\overrightarrow i = (1;0;0)$

Góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$

$\text{sin((P);}Ox\text{)}=|\text{cos((P);}Ox\text{)}|\text{=}\frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{i}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{i}|}=\frac{|-\sqrt{3}.1+1.0+0.0|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ bằng ${60}^{0}$.

Chọn A

Đường thẳng d có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2t\\y\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, - \frac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R$. Suy ra VTCP của d là $\overrightarrow {{u_d}} (2;\,\,1;\,\,1)$

Ta có $\sin (d,(P))=\ |cos(\overrightarrow{{u}_{d}},\ \overrightarrow{n})|=\frac{|\overrightarrow{{u}_{d}}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{u}_{d}}|.|\overrightarrow{n}|}\ =\ \frac{|2.3\ +\ 1.4\ +\ 1.5|}{\sqrt{{2}^{2}\ +\ {1}^{2}\ +\ {1}^{2}}.\sqrt{{3}^{2}\ +\ {4}^{2}\ +\ {5}^{2}}}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \ (d,(P))\ =\ 60^{\circ}$

Chọn A

Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }}$, $\,\overrightarrow {{n_\beta }}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)$.

Áp dụng công thức:

$cos((α),\ (β))\ =\ |cos(\overrightarrow{{n}_{α}},\ \overrightarrow{{n}_{β}})|\ =\ \frac{|\overrightarrow{{n}_{α}}.\ \overrightarrow{{n}_{β}}|}{|\overrightarrow{{n}_{α}}|.\ |\overrightarrow{{n}_{β}}|}=\ \frac{|2.1-1.2-2.2|}{\sqrt{{2}^{2}+\ {(-1)}^{2}\ +\ {2}^{2}}.\sqrt{({1}^{2}\ +\ {2}^{2}\ +\ {(-2)}^{2}}}\ =\ \frac{4}{9}.$

Chọn B

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

$\cos ((P),(Q))=\frac{|\overrightarrow{{n}_{P}}.\overrightarrow{{n}_{Q}}|}{|\overrightarrow{{n}_{P}}|.|\overrightarrow{{n}_{Q}}|}\ =\ \cos 60^{\circ}\ =\ \frac{1}{2}$

Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng.

Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.

Chọn A

Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)$, ${\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)$

$$(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.$$

Chọn C

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2;2;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;2; - 3} \right)$, phương trình của $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$

Chọn D

Đường thẳng MN nhận $\overrightarrow {MN} = (\,2;\,2;\, - 2)$ hoặc $\overrightarrow u (\,1;\,1;\, - 1)$ là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A, B và C.

Thay tọa độ điểm $M(\,1;\,0;\,1)$ vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.

Chọn D

Do đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$ đi qua điểm $M(1;0; - 2)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec u(2;3;1)$ nên có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.$

Chọn B

Đường thẳng $Oy$ đi qua điểm $A\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ }}0} \right)$ và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow j = \left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 0.t\\y = 2 + 1.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2 + t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Chọn D

Trục $Oz$ đi qua gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận vectơ đơn vị $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.