67 bài tập Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) (có lời giải)

Hàm só́ $f(x)$ cân tìm là một nguyên hàm của hảm số ${f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$.

Ta có: $\int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = {x^2} - \frac{1}{x} + C.$

Do đó, hàm só́ $f(x)$ có dạng $f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + C,x \in (0; + \infty )$.

Theo già thiết, $f(1) = {1^2} - 1 + C = 1$ nên $C = 1$ và $f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1,x \in (0; + \infty )$.

Đáp số: $f(4) = \frac{{67}}{4}$.

Dùng tính chất và công thức nguyên hàm của hàm số luỹ thừa.

Đáp số: $\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + {x^2} - x + C$.

Ta có ${\left[ {{{(2x + 1)}^3}} \right]^\prime } = 3{(2x + 1)^2}{(2x + 1)^\prime } = 6{(2x + 1)^2}$. Do đó $\frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6}$ là một nguyên hàm của hàm số ${(2x + 1)^2}$ trên $\mathbb{R}$. Vậy $\int {{{(2x + 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6} + C$.

GV có thể hướng dẵn HS khai triển hằng đẳng thức và dùng tính chất của nguyên hàm kết hợp với bảng nguyên hàm.

Ta có $f(x) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2} = 4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}$ nên

$\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \int 4 {x^2}\;{\rm{d}}x - \int 4 \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{4{x^3}}}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C$.

Ta có:

$\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 3 \sqrt x \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \;{\rm{d}}x = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C$

Đáp số: $\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$.

Phån tích tương tưu, ta có:

$\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = \int 7 {x^{\frac{5}{2}}}\;{\rm{d}}x - \int 3 {x^{\frac{1}{2}}}\;{\rm{d}}x = 7 \cdot \frac{2}{7}{x^{\frac{7}{2}}} - 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C{\rm{. }}$

Đap só: $\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = 2\left( {{x^3} - x} \right)\sqrt x + C$.

Khai triên ${(2x + 1)^2} = 4{x^2} + 4x + 1$ và chia cho ${x^2}$. Dùng tính chắt của nguyên hàm.

Đáp số; $\int {\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = 4x + 4\ln |x| - \frac{1}{x} + C$.

Biến đối $4{\sin }^{2}\frac{x}{2}=4\cdot \frac{1-\cos x}{2}=2(1-\cos x)$

Đáp số: $\int 4{\sin }^{2}\frac{x}{2}\text{d}x=2(x-\sin x)+C$

Biến đời ${(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}^{2}={\sin }^{2}\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^{2}\frac{x}{2}=1-\sin x$

Đáp số: $\int {(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}^{2}\text{d}x=x+\cos x+C$

Sử dụng còng thức biến đôi $1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ ta được

$\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = \int x \;{\rm{d}}x - \int {\rm{d}} x + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x.$

Đap só: $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} - x + \tan x + C$.