TopStudy

Đáp án và lời giải

66 bài tập Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) (có lời giải) - Đề 1

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫x6  dx=17x7+C\int {{x^6}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{7}{x^7} + C

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫x2  dx=x33+C\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + C trên R\mathbb{R}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) ∫1x  dx=∫x−12  dx=2x12+C=2x+C\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x = 2{x^{\frac{1}{2}}} + C = 2\sqrt x + C.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

d) ∫x4  dx=x55+C\int {{x^4}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^5}}}{5} + C;

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

e) ∫1x3  dx=∫(x−3)dx=x−2−2+C=−12x2+C\int {\frac{1}{{{x^3}}}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {{x^{ - 3}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C;

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

f) ∫x  dx=∫x12  dx=x323=2xx3+C\int {\sqrt x } \;{\rm{d}}x = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{3} = \frac{{2x\sqrt x }}{3} + C.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hàm só́ f(x)f(x) cân tìm là một nguyên hàm của hảm số f′(x)=2x+1x2{f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}.

Ta có: ∫(2x+1x2)dx=∫2x  dx+∫1x2  dx=x2−1x+C.\int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = {x^2} - \frac{1}{x} + C.

Do đó, hàm só́ f(x)f(x) có dạng f(x)=x2−1x+C,x∈(0;+∞)f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + C,x \in (0; + \infty ).

Theo già thiết, f(1)=12−1+C=1f(1) = {1^2} - 1 + C = 1 nên C=1C = 1 và f(x)=x2−1x+1,x∈(0;+∞)f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1,x \in (0; + \infty ).

Đáp số: f(4)=674f(4) = \frac{{67}}{4}.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫1sin⁡2x  dx=−cot⁡x+C\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = - \cot x + C trên (0;π)(0;\pi ).

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫2sin⁡x2cos⁡x2  dx=∫sin⁡x  dx=−cos⁡x+C.\int 2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\;{\rm{d}}x = \int {\sin } x\;{\rm{d}}x = - \cos x + C{\rm{. }}

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫3x  dx=3xln⁡3+C\int {{3^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C;

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫e2x  dx=∫(e2)x  dx=e2xln⁡e2+C=e2x2+C\int {{e^{2x}}} \;{\rm{d}}x = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{e^{2x}}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫2sin⁡x3  dx=23∫sin⁡x  dx=−23cos⁡x+C\int {\frac{{2\sin x}}{3}} \;{\rm{d}}x = \frac{2}{3}\int {\sin } x\;{\rm{d}}x = - \frac{2}{3}\cos x + C;

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫3x−12  dx=12∫3x3  dx=16∫3x  dx=3x6ln⁡3+C\int {\frac{{{3^{x - 1}}}}{2}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\frac{{{3^x}}}{3}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{6}\int {{3^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{3^x}}}{{6\ln 3}} + C.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(−cos⁡x4)dx=−14∫cos⁡x  dx=−14(sin⁡x+C1)=−14sin⁡x+C(C=−C14)\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)} {\rm{d}}x = - \frac{1}{4}\int {\cos } x\;{\rm{d}}x = - \frac{1}{4}\left( {\sin x + {C_1}} \right) = - \frac{1}{4}\sin x + C\left( {C = - \frac{{{C_1}}}{4}} \right);

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫22x+1  dx=2∫4x  dx=2(4xln⁡4+C1)=4xln⁡2+C(C=2C1)\int {{2^{2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = 2\int {{4^x}} \;{\rm{d}}x = 2\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + {C_1}} \right) = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C\left( {C = 2{C_1}} \right).

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(3cos⁡x−4x)dx=3∫cos⁡x  dx−4∫1x  dx=3sin⁡x−4ln⁡∣x∣+C(x≠0)\int {\left( {3\cos x - \frac{4}{x}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {\cos } x\;{\rm{d}}x - 4\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = 3\sin x - 4\ln |x| + C(x \ne 0);

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(2x+1)3  dx=∫(8x3+12x2+6x+1)dx=8∫x3  dx+12∫x2  dx+6∫x  dx+∫1  dx\int {{{(2x + 1)}^3}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 8\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x + 12\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 6\int x \;{\rm{d}}x + \int 1 \;{\rm{d}}x =2x4+4x3+3x2+x+C= 2{x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + x + C.

Câu 18

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(3x3+2x35)dx=3∫x3  dx+2∫x−35  dx=3⋅x44+2⋅x2525+C=3x44+5x25+C\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x + 2\int {{x^{ - \frac{3}{5}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} + 2 \cdot \frac{{{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} + C = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5\sqrt[5]{{{x^2}}} + C;

Câu 19

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(3cos⁡2x−1sin⁡2x)dx=3∫1cos⁡2x  dx−∫1sin⁡2x  dx=3tan⁡x+cot⁡x+C\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = 3\tan x + \cot x + C.

Câu 20

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫x5  dx=x66+C\int {{x^5}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^6}}}{6} + C;

Câu 21

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫1x23  dx=∫x−23  dx=3x13+C=3x3+C(x>0)\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - \frac{2}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C(x > 0);

Câu 22

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫7x  dx=7xln⁡7+C\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C

Câu 23

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫3x5x  dx=∫(35)x  dx=(35)xln⁡35+C=3x(ln⁡3−ln⁡5)5x+C\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}} + C = \frac{{{3^x}}}{{(\ln 3 - \ln 5){5^x}}} + C.

Câu 24

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(2x5+3)dx=2∫x5  dx+3∫dx=x63+3x+C\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)} {\rm{d}}x = 2\int {{x^5}} \;{\rm{d}}x + 3\int {\rm{d}} x = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C;

Câu 25

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(5cos⁡x−3sin⁡x)dx=5∫cos⁡x  dx−3∫sin⁡x  dx=5sin⁡x+3cos⁡x+C\int {(5\cos x - 3\sin x)} {\rm{d}}x = 5\int {\cos } x\;{\rm{d}}x - 3\int {\sin } x\;{\rm{d}}x = 5\sin x + 3\cos x + C;

Câu 26

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(x2−2x)dx=12∫x12  dx−2∫1x  dx=12⋅13⋅x32−2ln⁡x+C=13xx−2ln⁡x+C(x>0)\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)} {\rm{d}}x{\rm{ }} = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x - 2\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot {x^{\frac{3}{2}}} - 2\ln x + C = \frac{1}{3}x\sqrt x - 2\ln x + C(x > 0)

Câu 27

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫(ex−2−2sin⁡2x)dx=1e2∫ex  dx−2∫1sin⁡2x  dx=exe2+2cot⁡x+C=ex−2+2cot⁡x+C\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}} \;{\rm{d}}x - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C = {e^{x - 2}} + 2\cot x + C

Câu 28

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫x(2x−3)2  dx=∫(4x3−12x2+9x)dx\int x {(2x - 3)^2}\;{\rm{d}}x = \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)} {\rm{d}}x=4∫x3  dx−12∫x2  dx+9∫x  dx=x4−4x3+9x22+C= 4\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x - 12\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 9\int x \;{\rm{d}}x = {x^4} - 4{x^3} + \frac{{9{x^2}}}{2} + C

Câu 29

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫sin⁡2x2  dx=∫1−cos⁡x2  dx=12(∫dx−∫cos⁡x  dx)=12(x−sin⁡x)+C\int {{{\sin }^2}} \frac{x}{2}\;{\rm{d}}x = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\rm{d}} x - \int {\cos } x\;{\rm{d}}x} \right) = \frac{1}{2}(x - \sin x) + C

Câu 30

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫tan⁡2x  dx=∫(1cos⁡2x−1)dx=∫1cos⁡2x  dx−∫dx=tan⁡x−x+C\int {{{\tan }^2}} x\;{\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x - \int {\rm{d}} x = \tan x - x + C

Câu 31

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫23x⋅3x  dx=∫24x  dx=24xln⁡24+C\int {{2^{3x}}} \cdot {3^x}\;{\rm{d}}x = \int 2 {4^x}\;{\rm{d}}x = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C

Câu 32

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫3x2dx=3∫x2dx=3⋅x33+C=x3+C\int 3 {x^2}dx = 3\int {{x^2}} dx = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = {x^3} + C.

Câu 33

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

∫−32x2dx=−32∫x2dx=−32⋅x33+C=−12x3+C\int - \frac{3}{2}{x^2}dx = - \frac{3}{2}\int {{x^2}} dx = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = - \frac{1}{2}{x^3} + C.