64 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án - Đề 2

Chọn B

Ta có: $\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)} dx = {e^x} + 2x + C$

Chọn A

Ta có $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x$$= \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x = {e^x} + {x^2} + C}$.

Chọn A

Áp dụng công thức $\int {{a^x}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,,\left( {0 < a \ne 1} \right)$

Chọn C

Do theo bảng nguyên hàm: $\int {{a^x}{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln \,a}} + C}$.

Chọn A

Cách 1: $\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ - x}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left( {{3^{ - 1}}} \right)}^x}{\rm{d}}(x)} = \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln {3^{ - 1}}}} + C = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C$

Cách 2: $\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ - x}}{\rm{d}}x} = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C$.

Chọn A

$\int {\left( {{3^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C$

Chọn B

Ta có: $\int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx = {e^x} - {x^2} + C}$

Chọn C

$$\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{e^x}\left( {2017 - \frac{{2018{e^{ - x}}}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {2017{e^x} - \frac{{2018}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2017{e^x} + \frac{{504{,}5}}{{{x^4}}} + C$$

Chọn C

Ta có: $\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}$.

Chọn D

Ta có $\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C}$.

Chọn C

Ta có$\int {(1 + {e^{2x}})dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.}$

Chọn C

Ta có: $\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{e^x}{\rm{d}}x} + \int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}x} = \int {{e^x}{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}\left( { - 2x} \right)} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Chọn D

Ta có: $\int {{{\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{\rm{d}}x} + \frac{1}{2}\int {\cos x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$.

Chọn B

Ta có $\int {\left( {{5^{2x}} - 6{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{{25}^x}{\rm{d}}x} + 12\int {{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}d\left( { - \frac{x}{2}} \right)} = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C = \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C$.

Chọn D

$F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C;\;F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}$.

Khi đó $F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4$.

Chọn B

$$F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$$

$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$$

$F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}$

$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}$$

$\Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}$

Chọn C

Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \cos x + \sin x + C$

Do $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1$$\Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1$.

Chọn A

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C$

Theo bài ra ta có: $F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.

Chọn C

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C$

Theo giả thiết $f\left( 0 \right) = 10$ nên $5 + C = 10 \Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.$

Chọn D

Ta có: $\int {f'\left( x \right){\rm{d}}} x$$= \int {\left( {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \right){\rm{d}}} x$$= {{\rm{e}}^{2x}} + x + C$.

Suy ra $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C$.

Theo bài ra ta có: $f\left( 0 \right) = 2$$\Rightarrow 1 + C = 2$$\Leftrightarrow C = 1$.

Vậy: $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1$.

Chọn C

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {2 - 5\sin x} \right){\rm{d}}x\, = 2x + 5\cos x + C}$.

Mà $f\left( 0 \right) = 10$ nên $5 + C = 10 \Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5$.

Chọn C

Ta có :

$h'\left( t \right) = 10t + 500$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t$

thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

$h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)$

Chọn A

Ta có :

$h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}$$

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : $h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150$

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :$h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100$

Ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}$$

thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}$

Chọn D

Ta có :

$h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}$

mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: $h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1{,}64m$

Chọn D

Ta có :

$N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}$

$\Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C$

Chọn $t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000$

số lượng vi rút sau 10 ngày là: $N\left( {10} \right) = 1000.\ln 10 + 250000 \approx 252302$