64 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án - Đề 1

Chọn B

$\int (2x+6)dx={x}^{2}+6x+C$

Chọn B

Ta có $\int {x}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^{3}+C$

Chọn D

$\int (3{x}^{2}+1)dx={x}^{3}+x+C.$

Chọn A

$\int ({x}^{3}+{x}^{2})\text{d}x$$=\frac{1}{4}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+C$

Chọn A

$\int f(x)dx=\int ({x}^{4}+{x}^{2})dx=\frac{1}{5}{x}^{5}+\frac{1}{3}{x}^{3}+C$

Chọn C

Ta có: $\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C$là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2022}}$.

Chọn C

Sử dụng công thức $\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C}$ ta được:

$\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx = } \frac{1}{3}.\frac{{{x^4}}}{4} - 2.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C = \frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2024x + C.$

Chọn C

Ta có: $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6$

$\Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$.

Chọn A

Ta có $\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$.

Chọn B

$\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} = \int {\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } dx} = \int {\sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} dx} = \int {{x^{\frac{7}{8}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{7}{8} + 1}}}}{{\frac{7}{8} + 1}} + C = \frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$

Chọn B

$$\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} - 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx}$$

$$= \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} - 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[5]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$$

Ta có: $f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$

Chọn C

Ta có:$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$.

Chọn C

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$.

Chọn D

Chọn A

Ta có: $f(x) = F'(x) = {\left( {2{x^3} - 2x + 1} \right)^\prime } = 6{x^2} - 2$.

Chọn B

Đặt $t = 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{d}}t$.

Ta có $\int {{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{t^{\sqrt 2 }}dt} = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C$.

Thay $t = 2x$ ta có $\int {{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C = \frac{{{2^{\sqrt 2 }}{x^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C$.

Chọn A

Ta có: ${\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 + \sin x$.

Khi đó $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x = x - \cos x + C}$.

Chọn D

Có $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C$ suy ra $F\left( x \right) = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f_3}\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

Chọn A

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C}$.

Chọn B

Ta có:$f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C$

Chọn C

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = x - \tan x + C$.

Chọn A

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} }$.

Chọn A

$\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C}$

Chọn D

Ta có $\int {\left( {x - \sin x} \right){\rm{d}}x\,{\rm{ = }}\,} \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C$.

Chọn C

Ta có $\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - \cos x + C$.

Chọn D

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| - \cos x + C$.

Chọn C

Áp dụng công thức $\smallint {\rm{sin}}x{\rm{\;d}}x = - {\rm{cos}}x + C$. Suy ra $f\left( x \right) = {\rm{sin}}x$.

Chọn D

$\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C$

Chọn B

Cách 1:$\int {{e^{3x}}} dx = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + C$

Cách 2: Trắc nghiệm$\int {{e^{3x}}{\rm{d}}x = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C,}$ với $C$ là hằng số bất kì.

Chọn C

Cách 1: $\int {{e^{2x - 1}}} dx = \int {{e^{ - 1}}.{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} dx = {e^{ - 1}}.\frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{2} + C$

Cách 2:$\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}\left( {2x - 1} \right) = } \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C$.