6 bài tập Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (có lời giải)

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2$

Theo hệ thức Viète : $S = {x_1} + {x_2} = - m\,;$$P = {x_1}{x_2} = 1$.

a) Ta có $x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m$.

b) $\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2$.

$= \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2$.

1. Với $m = - 3$ ta có phương trình ${x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.$

2. Phương trình $\left( 1 \right)$có 2 nghiệm phân biệt khi

${\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0$
$\Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0$ đúng với mọi $m$
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo hệ thức Viète ta có $\{\begin{matrix}{x}_{1}+{x}_{2}=2(m-1)\ \\ {x}_{1}{x}_{2}=-m-3\ \end{matrix}$
Ta có:

$$\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}$$

Vậy với $m = 0$ hoặc $m = \frac{3}{2}$thỏa yêu cầu bài toán

$$\Delta = {5^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 29 - 12m$$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}$

Áp dụng hệ thức Viète $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.$

Ta có: $x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75$

$\Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75$

$\Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75$

$\Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75$

$\Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3$

Kết hợp ${x_1} + {x_2} = - 5$ suy ra ${x_1} = - 1;{x_2} = - 4$ Thay vào ${x_1}{x_2} = 3m - 1$ suy ra $m = \frac{5}{3}$

Vậy $m = \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm

a) Với $m = 0$, phương trình đã cho trở thành: ${x^2} - 2x - 1 = 0$

$\Delta ' = 2{\rm{ ; }}{{\rm{x}}_{1{,}2}} = 1 \pm \sqrt 2$

Vậy với $m = 0$ thì nghiệm của phương trình đã cho là ${x_{1{,}2}} = 1 \pm \sqrt 2$.

b) $\Delta ' = m + 2$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 1\end{array} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2(m + 1)}}{{{m^2} + m - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 1 \ne 0\\m + 1 = 2({m^2} + m - 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 1 \ne 0\\2{m^2} + m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m \in \left\{ {1; - \frac{3}{2}} \right\}$ là các giá trị cần tìm.

a) Với $m = - 1$ phương trình trở thành $\frac{1}{2}{x^2} + x - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 9 = 0$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 1 - \sqrt {10} \\{x_2} = - 1 + \sqrt {10} \end{array} \right.$$

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$

$$\Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow - 8m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$$

Để phương trình có nghiệm khác 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1 \ne 0$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_1} \ne - 4 - 3\sqrt 2 \\{m_2} \ne - 4 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.$$

Ta có $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} - 1 = 0\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 0\\{m^2} + 8m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4 - \sqrt {19} \\m = - 4 + \sqrt {19} \end{array} \right.$$

Kết hợp với điều kiện ta được $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.$ là các giá trị cần tìm.