56 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án - Đề 2

Chọn A

Ta có: $V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( {\sqrt {2 + \sin x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {2 + \sin x} \right){\rm{d}}x}$$= \pi \left. {\left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)$.

Chọn A

Vậy thể tích khối tròn xoay được tính $V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} }$.

Câu 1.Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 3,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$.

Chọn A

Thể tích của vật thể được tạo nên là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} .$

Chọn C

Công thức tính: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Chọn D

Ta có

$$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right){\rm{d}}x = \pi .\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi .\left( {\frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{{15}}} .$$

Chọn B

$V = \pi \int\limits_1^2 {xdx}$ $= \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}$.

Chọn B

Theo công thức ta chọn $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}$

Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

$V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x}$$= \pi \int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right)} {\rm{d}}x$$= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9$$= \pi \left( {\frac{{81}}{2} - 72 + 36} \right) - \pi \left( {\frac{{16}}{2} - \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}$.

Chọn B

Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x}$.

Chọn D

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$ (như hình vẽ).

Chọn D

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$ (như hình vẽ).

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

$S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}$$= \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}$.

Số tiền phải trả là: $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $AB$ trùng $Ox$, $A$ trùng $O$ khi đó parabol có đỉnh $G\left( {2;4} \right)$ và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng $y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.

Vì parabol có đỉnh là $G\left( {2\,;4} \right)$ và đi qua điểm $O\left( {0\,;0} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 4\end{array} \right.$\[

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\].

Suy ra phương trình parabol là $y = f(x) = - {x^2} + 4x$.

Diện tích của cả cổng là $S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Mặt khác chiều cao $CF = DE = f\left( {0{,}9} \right) = 2{,}79({\rm{m}})$; $CD = 4 - 2.0{,}9 = 2{,}2\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích hai cánh cổng là ${S_{CDEF}} = CD.CF = 6{,}138\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích phần xiên hoa là ${S_{xh}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6{,}14 = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy tổng số tiền để làm cổng là $6{,}138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}\,.900000 = 11441400$ đồng.

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.{x^2}$ $\left( P \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( { - 6; - 18} \right)$ suy ra: $- 18 = a.{\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}$.

Từ hình vẽ ta có: $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$.

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}x_1^2$ là

${S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]{\rm{d}}x}$$\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD$ $y = - \frac{1}{2}x_2^2$ là

${S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]{\rm{d}}x}$$\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3$

Từ giả thiết suy ra ${S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3$$\Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Vậy $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Chọn B

Vì $AB = 4dm;BC = 8dm.$$\Rightarrow A( - 2;4),$$B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)$.

parabol là: $y = {x^2}$ hoặc $y = - {x^2}$

Diện tích phần tô đậm là ${S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx = \frac{{32}}{3}\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\end{array}(d{m^2})}$

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\end{array}({m^2})$

Diện tích phần trắng là ${S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\end{array}(d{m^2})$

Tổng chi phí trang chí là:$T=(\frac{32}{3}.5000+\frac{64}{3}.2500)\approx 106666667đ$

Đưa parabol vào hệ trục $Oxy$ ta tìm được phương trình là: $\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 5$ là: $S = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{40}}{3}$.

Tổng diện tích phần bị khoét đi: ${S_1} = 4S = \frac{{160}}{3}$ ${\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Diện tích của hình vuông là: ${S_{hv}} = 100{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

diện tích bề mặt hoa văn là: ${S_2} = {S_{hv}} - {S_1} = 100 - \frac{{160}}{3} = \frac{{140}}{3}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: $\frac{{140}}{3}.50000 \approx 2333333$ đồng

Chọn C

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng $10cm = 1dm$), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình $y = \frac{{{x^2}}}{2}$, $y = - \frac{{{x^2}}}{2}$,$x = - \frac{{{y^2}}}{2}$,$x = \frac{{{y^2}}}{2}$.

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số$y = \frac{{{x^2}}}{2}$,$y = \sqrt {2x}$ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$.

Do đó diện tích một cánh hoa bằng

$\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x}$ $= \left. {\left. {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {{{\left( {2x} \right)}^3}} - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|} \right|_0^2$$= \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$$= \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chọn A

Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {14 - 3{x^2}} .\sqrt {14 - 3{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)dx = 20}$

Chọn D

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

Gọi $\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}$ là Parabol đi qua hai điểm $A\left( {\frac{{19}}{2};0} \right),B\left( {0;2} \right)$

Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + 2\\2 = b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{8}{{361}}\\{b_1} = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2$.

Gọi $\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}$ là Parabol đi qua hai điểm $C\left( {10;0} \right),D\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$

Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_2}.{\left( {10} \right)^2} + \frac{5}{2}\\\frac{5}{2} = {b_2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = - \frac{1}{{40}}\\{b_2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}$.

Ta có thể tích của bê tông là: $V = 5.2\left[ {\int_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)} {\rm{d}}x - \int_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} {\rm{d}}x} \right] = 40\,{{\rm{m}}^3}$.

Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: $5.40 = 200$ triệu đồng

Chọn B

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng $y = a{x^2} + b,\;a \ne 0$. Do I, A, B thuộc nên ta có $y = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$

Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là

$V = 6.2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {( - \frac{4}{3}} {x^2} + 3)dx = 36$

Chọn A

Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích ${V_1}$ như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y = \sqrt {{R^2} - {x^2}}$,$x \in \left[ { - R;R} \right]$.

Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $M$ có hoành độ $x$, cắt hình nêm theo thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và có $\widehat {PMN} = {30^0}$.

Ta có $NM = y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \Rightarrow NP = MN.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 3 }}$.

$\Delta MNP$ có diện tích $S\left( x \right) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}$.

Thể tích hình nêm là ${V_1} = \int\limits_{ - R}^R {S\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - R}^R {\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}} {\rm{d}}x$$= \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left. {\left( {{R^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}$.

* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm:

${V_1} = \frac{2}{3}{R^2}h = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha$, trong đó $R = \frac{{AB}}{2}$, $\alpha = \widehat {PMN}$.

Chọn A

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là $h$ và độ dài đáy $2h$ và chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ trên.

Parabol $\left( P \right)$ có phương trình $\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + h,\,\,\left( {a < 0} \right)$

Có $B\left( {h;\,0} \right) \in \left( P \right)$ $\Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h$ $\Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\,\,\left( {do\,h > 0} \right)$

Diện tích $S$ của thiết diện: $S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)\,{\rm{dx}}} = \frac{{4{h^2}}}{3}$, $h = 3 - \frac{2}{5}x$

$$\Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}$$

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

$\Rightarrow V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right){\rm{dx}}} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}{\rm{dx}}} \approx 28{,}888$

$$\Rightarrow V \approx 29\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$$

Chọn B

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là $V$.

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng $OA = 10$ cm và đường cao $OO' = 5$ cm là ${V_1}$.

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $AB$và hai trục tọa độ quanh trục $Oy$là ${V_2}$.

Ta có $V = {V_1} + {V_2}$

${V_1} = {5.10^2}\pi = 500\pi$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh $A$ nên nó có phương trình dạng $(P):y = a{(x - 10)^2}$.

Vì $\left( P \right)$ qua điểm $B\left( {0;20} \right)$ nên $a = \frac{1}{5}$.

Do đó, $\left( P \right):y = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}$. Từ đó suy ra $x = 10 - \sqrt {5y}$ (do $x < 10$).

Suy ra ${V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}{\rm{dy}}} = \pi \left( {3000 - \frac{{8000}}{3}} \right) = \frac{{1000}}{3}\pi$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Do đó $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000}}{3}\pi + 500\pi = \frac{{2500}}{3}\pi$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Chọn D

Gọi hình chiếu của $P,\,Q$ trên $AF$ và $BE$ là $R$ và$S$.

Vật thể được chia thành hình lập phương $ABCD.PQRS$ có cạnh $2{,}5\,cm$, thể tích ${V_1} = \frac{{125}}{8}\,c{m^3}$ và phần còn lại có thể tích ${V_2}$. Khi đó thể tích vật thể $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{125}}{8} + {V_2}$.

Đặt hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với$F$, $Ox$ trùng với$FA$, $Oy$ trùng với tia $Fy$ song song với $AD$. Khi đó Parabol $\left( P \right)$có phương trình dạng$y = a{x^2}$, đi qua điểm $P\left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^2}$.

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M\left( {x;0;0} \right),\,0 \le x \le 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}{x^2}$ và $MK = \frac{5}{2}$do đó diện tích $S\left( x \right) = \frac{{25}}{4}{x^2}$

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có ${V_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{25}}{4}{x^2}dx} = \frac{{25}}{{12}}$

Từ đó $V = \frac{{125}}{8} + \frac{{25}}{{12}} = \frac{{425}}{{24}}c{m^3}$

Chọn A

Đường elip có trục lớn $28\,{\rm{cm}}$, trục nhỏ $25\,{\rm{cm}}$ có phương trình $+ \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{{25}}{2}} \right)}^2}}} = 1$$\Leftrightarrow {y^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)$$\Leftrightarrow y = \pm \frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}}$.

Do đó thể tích quả dưa là $V = \pi \int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {\frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} } \right)}^2}{\rm{d}}x}$$= \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)}^2}{\rm{d}}x}$$= \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{{{3.14}^2}}}} \right)} \right|_{ - 14}^{14}$$= \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\frac{{56}}{3}$$= \frac{{8750\pi }}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Do đó tiền bán nước thu được là $\frac{{8750\pi .20000}}{{3.1000}} \approx 183259\,$đồng.

Chọn C

Parabol có phương trình $y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y$

Thể tích tối đa cốc:

$V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} .dy \approx 251{,}33$.

Chọn A

Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: $S\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha$ $\Rightarrow S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\tan \alpha$.

Thể tích hình cái nêm là: $V = \frac{1}{2}\tan \alpha \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} {\rm{ d}}x = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha$.

Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên ${V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha$. $\Rightarrow {V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}.\frac{h}{R} = 240\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$

Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục $Ox$ với khối nước, mặt phẳng này cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $h \ge x \ge 0$.

Gọi $\widehat {IOJ} = \alpha ,\,\widehat {FHN} = \beta ,\,OE = x$

$\tan \alpha = \frac{{IJ}}{{OJ}} = \frac{6}{{10}} = \frac{{EF}}{{OE}}$ $\Rightarrow EF = \frac{{6x}}{{10}}$ $\Rightarrow HF = 6 - \frac{{6x}}{{10}}$.

$\cos \beta = \frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{6 - \frac{{6x}}{{10}}}}{6} = 1 - \frac{x}{{10}}$; $\beta = \arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)$

$S\left( x \right) = {S_{\left( {hinh\,quat} \right)}} - {S_{HMN}} = \frac{1}{2}H{N^2}.2\beta - \frac{1}{2}HM.HN.\sin 2\beta$

$\Rightarrow S\left( x \right) = {6^2}\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - \frac{1}{2}.6.6.2\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}}$

$\Rightarrow V = \int\limits_0^{10} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{10} {\left( {36\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - 36\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}} } \right){\rm{d}}x} = 240$.

Chọn C

Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục $Oy$ tại điểm $O$.

Cạnh của tam giác đều thiết diện là: $a = 2\sqrt {1 - {x^2}}$.

Diện tích tam giác thiết diện là: $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3$.

Thể tích khối cần tìm là:

$V = 2\int\limits_0^1 {Sdx} = 2\int\limits_0^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right) = \left. {2\sqrt 3 \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}}$.

Chọn B

Chọn hệ trục như hình vẽ

Ta cần tìm diện tích của $S\left( x \right)$thiết diện.

Gọi $d\left( {O,MN} \right) = x$

$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.$

Lúc đó $MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)} = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}$

$$\Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)$$

$$S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).$$

Thể tích khoảng không cần tìm là

$V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right) \approx 115586{m^3}.}$

Chọn C

· Đặt hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp $\left( {Oyz} \right)$ cắt trục $Ox$ tại $x$: thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh $\sqrt {{a^2} - {x^2}}$ $\left( {0 \le x \le a} \right)$.

· Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: $S\left( x \right) = {a^2} - {x^2}$.

· Vậy ${V_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^a {S\left( x \right){\rm{d}}x}$$= \int\limits_0^a {\left( {{a^2} - {x^2}} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {\left( {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a$$= \frac{{2{a^3}}}{3}$.

Chọn A

$\int\limits_0^3 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 90}$$\Leftrightarrow$$\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 90$$\Leftrightarrow$$54a + 9b = 90$ (1)

$\int\limits_0^6 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 504}$$\Leftrightarrow$$\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^6 = 504$$\Leftrightarrow$$432a + 36b = 504$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = 6\end{array} \right.$. Sau khi bơm $9$ giây thì thể tích nước trong bể là:

$V = \int\limits_0^9 {\left( {4{t^2} + 12t} \right){\rm{d}}t}$= $\left. {\left( {\frac{4}{3}{t^3} + 6{t^2}} \right)} \right|_0^9 = 1458\left( {{m^3}} \right)$.

Chọn C

Gọi $t$ là thời điểm bơm được số nước bằng $\frac{3}{4}$ độ sâu của bể ($t$ tính bằng giây).

Ta có: $\int\limits_0^x {\frac{1}{{500}}\sqrt[3]{t}{\rm{d}}t} = \frac{3}{4}.280$$\left. { \Rightarrow \frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}}} \right|_0^x = 105000$$\Rightarrow t\sqrt[3]{t} = 140000$

$\Rightarrow \sqrt[3]{{{t^4}}} = 140000$$\Rightarrow x = \sqrt[4]{{{{140000}^3}}}$$\Rightarrow t \approx 7237{,}6242$ giây

$\Rightarrow$$2$ giờ $38$ giây.