56 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án - Đề 1

Chọn C

Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$.

Chọn A

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức $S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$

Chọn A

Ta có:$S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x = } \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \frac{2}{3}$.

Chọn A

Ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = 6$.

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 5 = 6x \Leftrightarrow x = 5;x = 1$.

Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|{\rm{d}}x} = \frac{7}{3}$.

Chọn D

$$S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|} dx = \left| {\int\limits_1^e {\left( {\ln x - 1} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {x\left( {\ln x - 1} \right)} \right|_{\left. 1 \right|}^e - \int\limits_1^e {dx} } \right| = \left| {1 - \left. x \right|_1^e} \right| = \left| {1 - \left( {e - 1} \right)} \right| = \left| {2 - e} \right| = e - 2$$

Chọn C

diện tích hình phẳng cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}$.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $\left( C \right):y = {x^2} - 2x$ và $\left( d \right):y = 0$ là: ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu:

Diện tích cần tìm: $S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 10}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^{10}$$= \frac{{1300}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{704}}{3} = \frac{{2008}}{3}$.

Chọn B

$S = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \right|$

Chọn B

Ta có ${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$.

Vì $f\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \left[ {a\,;\,0} \right]\,,\,f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,b} \right]$ nên:

${S_D} = \int\limits_a^0 {\left( { - f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Chọn C

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} =$ $\int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$ $= - \int\limits_a^c {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f(x){\rm{d}}x}$.

Chọn C

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx$.

Chọn C

Ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f(x)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Chọn D

$$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{dx = }}\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{dx}} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{dx}}$$

Nhìn hình ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ nên $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{dx}} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{dx}}$; hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ nên $\int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{dx}} = - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{dx}}$

Vậy $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{ dx }} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{ dx}}$

Chọn A

Ta có:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$$= - \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - a + b$.

Chọn D

Ta có $S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x}$$= \int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x}$ $= - \int\limits_{ - 3}^1 {\,f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$= - a + b$.

Chọn D

Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:

$\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - 2 - \left( { - \sqrt {\left| x \right|} } \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - \sqrt {\left| x \right|} - {x^2} + 2} \right){\rm{d}}x}$ ( vì $x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow - \sqrt {\left| x \right|} > {x^2} - 2$).

Chọn A

Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^2 {2024xdx = 3036}$

Chọn A

Diện tích thiết diện là: $S(x) = 3x.\left( {3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3} - 6x$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} - 6x} \right)dx = 156}$

Chọn C

Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:

$\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx}$.

Chọn B

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{8x}}{\rm{d}}x} .$

Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx}$.

Chọn D

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left. {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}$

Chọn B

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\pi }}{3}$.

Chọn A

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi } (\pi + 1).$